第21-22章（一元二次方程和二次函数）易错知识点填空题 强化练-2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习

第21-22章（一元二次方程和二次函数）易错知识点填空题

强化练2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习

1.将二次函数y二/的图象平移，使它经过点（2,0）,则平移后所得图象对应的函数解析式可以是

（写出一种情况即可）.

2.在二次函数），=f-2x-3中，当x=—1时，），的值是.

3.若关于x的方程（〃?+2）--2+6x—9=O是一元二次方程，则小的值是.

4.。是方程/+彳_1=0的一人根，则代数式_2"_2a+2025的值是.

5.一元二次方程（x+D*+3）=9的一般形式是.

6.如图，抛物线），=/+版+。与x轴只有一个交点，并与平行于工轴的直线/交于A,B茯点,直线

/与），轴相交于点M.若48=6,则0W的长为.

7.如图，某运动员推铅球,铅球行进高度）＜单位:m）与水平距离x（单位:m）之间的关系是y=-x,+x+6,

则此运动员将铅球推出的距离是.

8.如图，点E是正方形A/3CO的边A5上的一个动点，八4=6,连接CE,将线段CE绕点E逆时针

旋转90。得到所，连接/O,EO—EFD面积的最小值为.

9.如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为），=-3/+2,现要对这座古桥进行加固，

须临时安装一些垂直.于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为0.3m,但最边缘的支撑杆到桥

洞底部的的距离可以不大于0.3m,即图中APW0.3m,82so.3m,则最多可安装支撑杆条.

10.已知抛物线），=数2-4_¥+2的对称轴为直线x=2.

（1）”的值为.

（2）若抛物线），=奴2一人+2向下平移左仅＞0）个单位长度后，在-1＜尤＜4范围内与X轴只有一个

交点，则攵的取值范围是.

11.已知二次函数y=f—4X（-1KX«〃?+1）,当x=-l时，函数取得最大值；当x=2时，函数取得

最小值，则，"的取值范围是.

12.二次函数》=。/+法+。的函数值y自变量x之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是

（填“向上”或“向下》当工=5时，y=.

X........-1014........

y........4-1-4-1........

13.如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8,14,

15,16,17,24）.若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225,则这6个数的和为.

日一二三四五六

14.关于大的一元二次方程“疗-3x-4=4x+3有实数根，则〃?的取值范围是.

15.已知方程/一2公5=（）的两根分别为毛，吃，贝的值为.

16.如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形

是全等的，如果大正方形ABC。的面积是小正方形16”面积的25倍，那么芸=.

AD

17.实数a,b,c满足〃+c-l=O.。一〃。一1=°.

（1）当6=2时，贝lj〃=；

（2）实数。的取值范围是.

18.“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”这是我国占

代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释.对于一些特殊的方程，我们给出定义：若

两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为''相伴方程”，已知关于x的一元二次方程f-4x+c=0

和一元一次方程2x-6=0为“相伴方程”，则c的值为.

19.设公，它是关于”的方程人2一2人一〃7=0的两根，且2玉1占=0,则，〃的值是.

20.已知。，夕是一元二次方程Y+工一3=0的两根，求〃-40尸+3的值为

21.关于x的一元二次方程（〃?—3）f+x+＞一&〃+]5=0的常数项是0,则用的值为.

22.如图，已知抛物线），=-炉+2"3与丁轴交于点C,点P在抛物线上，点。的坐标为（0,1）,且以CO

为底的△PC。是等腰三角形，则点。的坐标为.

23.二次函数），=加+法+c（a/”为常数，且"K0）经过（1,。）,（.30）,一次函数y=|4x+c经过（孙0）,

一次函数y=M|x+c经过（刍,0）.己知一5＜玉＜-4,〃?〈当v〃?+l，iKx^fi+i,其中"?，〃为整数，则

"什〃的值为.

参考答案

1.y=x2-4（答案不唯一）.

【分析】二次函数图象平移时，二次项系数不变（本题中二次函数），=/的二次项系数为1,平移后

仍为1）可设平移后函数的解析式（以简单的上下平移为例，设为），=/+〃），再将点（2,0）代入求

解参数.

【详解】解：设平移后所得图象对应的函数解析式为y=

因为平移后的图象经过点（2,0）,代入y=f+A得：

O=22+k

解得：k=-4

所以，平移后所得图象对应的函数解析式可以是y=f-4（答案不唯一）.

故答案为：y-x2-4（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握“二次函数平移时二次项系数不变”的性质，

通过设平移后的解析式，代入已知点坐标求解参数.

2.0

【解析】略

3.2

【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义.根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程叫一元二次方程进行解答即可.

【详解】解：依题意可得〃?+2工0,nr-2=2,

解得〃?=2,

故答案为：2.

4.2023

【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方

程的解，以及考查了整体代入思想.

先根据一元二次方程解的定义得到/+4=1,再把-2/—24+2025变形为-2（/+幻+2025,然后利

用整体代入的方法计算.

【详解】解：。是方程/+..|=0的一个根，

，/+〃-I=0,即〃2+〃=1,

/.-2a2-2a+2025=-2（a2+a）+2025=-2xl+2025=2023.

故答案为；2023.

5.x2+4x-6=0

【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进

而合并同类项求出即可.

【详解】解：(x+l)(x+3)=9

X2+4X+3=9>

整理得：x2+4x-6=0.

2

故答案为：x+4A-6=0.

6.9

【详解】设A(N，〃7)，8%，〃?)，则内，工2是方程f+/u+C=〃?的两个根，

2

x}+x2=-b,xtx2=c-m.Q(x-x2)=(%+.q『-4x,x,,,=AB=6,

」.36—b2—4(c-m).

抛物线V=W+法+c与x轴只有一个交点，

・•・方程f+云+c=()有两个相等的实数根，

△=//-4c=0,.，.4”？=36,

解得〃?=9,即OM的长为9.

7.3m

【解析】略

。27

O.--

2

【分析】本题考查的是二次函数的应用、正方形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质

是解题关键，过点尸作「HJ.3A交加延长线于点儿先证,,设BE=HF=a,用含。

的式子表示S.FD，再根据二次函数性质求最值即可.

【详解】解：过点尸作FH_L朋交班延长线于点儿

.-.ZH=90°

在正方形ABCD中，AB=AD=BC=CD=6,ZB=NBA。=ZDAH=90°,

.­.ZZ/+ZZ/AD=180°,

:.HFAO,

二•四边形43是直角梯形，

ZCEF=90°,

/BEC=90°-AHEF=/EFH,

vZH=Z5=90°,CE=EF,

M.CBEaEHF(AAS),

/.BC=EH=6,BE=HF,

设BE=HF=a,

EH=BC=AB=6,

BE=AH=a,

S.EFD=S怫形HADF+S正方形ABC。EFH~S梯形上水血

=—a2-+18

2

1z代27

=5(4-3)+y

9。，

27

也>面积的最小值为耳，

77

故答案为：y

9.14

【分析】本题考查二次函数的应用，关健是利用数形结合的思想解答.

令y=0,求出X的值，然后结合实际情况得出结论.

【详解】解：令），=0,则一#+2=0,

解得x=2或x=—2,

J43=4,

•・•相邻支撑杆之间的距离为0.3m,AP<0.3m,BQW0.3m,

・••在》轴右侧x=0.15,0.45,0.75,1.05,1.35,1.651.95，共7条，

同理在）'轴左侧最多安装7条，

，最多可安装支撑杆14条，

故答案为；14.

10.12<k<l

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键.

（1）由题意可知-高=2,求出〃的值即可；

（2）由题意可知平移后函数解析式为），=/-4x+2-3然后通过二次函数的平移，二次函数的性

质即可求解.

【详解】（1）由题意可知-二二2,

2a

解得a=l，

故答案为：1:

（2）由题意可知平移后函数解析式为），=/-4工+2-3

当顶点在x轴上时，（-4『-4xlx（2—&）=0,

解得左=-2,即需向上平移2个单位长度，不符合条件；

由于抛物线关于,1=2对称，

・•・抛物线在0cx<4内对称，

若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与x轴交点只能在-IvxKO，

故当x=0时，y=2-k<^,解得女22,

当x=T时，），=（-l）2-4x（T）+2f=7f>0,解得AV7,

・•・左的取值范围是2Wk<7,

故答案为：2<k<l.

11.1</n<4

【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，

m+l>2

先配方可得抛物线的性质，再根据题意得-1+用+1<2,求出解集即可.

【详解】解：•••二次函数），=/-4x=（x-2尸-4,

・•・抛物线开口向上，对称轴是x=2,当x=2时，有最小值，离对称轴越远函数值越大.

V-\<x<m+\,当x=—1时，函数取最大值，当x=2时，函数取最小值，

m+\>2

:-1+〃?+1<2，

解得14屋4.

故答案为；

12.向上4

【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关

键.依据题意，根据抛物线的对称性，4=0、x=4时的函数值相等，然后列式计算即可得解.

【详解】解：由题意得，：x=0、x=4时的函数值都是T相等，

,此函数图象的对称轴为直线”=与=2,即直线X=2.

又当x<2时，随工的增大而减小，

二抛物线开口向上.

抛物线的对称轴是直线x=2,

.•.当x=T时与当x=5时的函数值相等.

.•当x=-l时，y=4,

二当x=5时，y=4.

故答案为：向上，4.

13.100

【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16,以及利用最大数与

最小数的积为225,求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可.

【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16,设最小数为：尤则最

大数为(x+16),根据题意得出：x(x+16)=225,

解得：占=9,占=-25(不合题意舍去)，

故最小的数为：9,

中间一行的数字分别为：15,16,17,18,

最大的数为：25,

故这6个数的和为:9+15+16+17+18+25=100.

故答案为：100.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规程以及一元二次方程的解法，根据已知得

出最大数与最小数的差为16是解题关键.

14.m2-2且/〃工0

4

【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，首先将方程化为一般形式，进一步利用根判别

式求解即可.解题的美健是掌握；式子△-反-4女是一元二次方程皿2+6+。=。(々#。)根的判别式，

△>00方程有两个不等的实数根；4=0。方程有两个相等的实数根；A<0o方程无实数根.

【详舟军】解；Ehnix~—3x—4—4A+3W：mx2—7A--7-0»

••・关于X的一元二次方程〃m2-7x-7=0有实数根，

:.(一7)2一4/«X(—7)20且加工0,

解得：ifi之—且m工0,

4

即/〃的取值范围是〃?之二且0.

4

7

故答案为：，〃2-:且〃7工0.

4

15.-2

【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键.根据根与系

数之间的关系，得到％+4=2,占占=-5,将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代

入法进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：办।巧=2,玉七=5,

工(5+1)(-^+1)=X1X2+N+9+1

=-5+2+1

=-2；

故答案为：-2.

16.-

3

【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，全等三角形的性质，设。匹=AF'=x,EF=a,

则AE=Ab+=x+a,可得S正方形.”=EF2=/,由勾股定理可得AD-=AE2+DE2=炉+(x+a)?,

则S正方形,me=A。?=X24-(X+a)',进而可得』+(x+〃)"=25a2,解得x=3a,据此可得答案•

【详解】解：设。石=4b=月EF=a,^\AE=AF+EF=x+a,

•q—pp1—〃2

在RtA/AED中，由勾股定理得AD2=AE2+DE2=x2+(x+a)2,即S正方形机。=AD~=x2+(x+a)2,

•••大正方形ABC。的面积是小正方形EFGH面积的25倍，

:.x2+(x+a)2=25a2,

x2+x2+2ax+a2=25a2>

2+小-1却=(),

:.(x+4a)(x-3a)=0,

解得％=3。或入-=4a(舍去)，

:・DE=&i,AE=4a

.AE4a4

••—―,

DE3a3

4

故答案为：f.

17.-1a<-

4

【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关犍是根据式子特点，构造一元二次方程:

(1)把6=2代入两个式子，进行求解即可；

(2)根据"c—1=0,。一历一1=0,得到〃+c=l,〃c=a—1,得至lj〃,c为一元二次方程/7+。一1=0

的两个根，根据根的判别式，列出不等式求出。的范围即可.

【详解】解：(1)把〃=2代人人+。-1=0,〃一次」1=0,得：

2+c-l=0,a-2c-l=0,

:.(?=-1»

：.a=2c+\=2x[-\)+\=-l；

故答案为：-I；

(2)***Z?+c—1=0,t?—be-1=0,

b+c=\,bc=a-\,

・•・Ac可以看作是一元二次方程V-x+。-1=0的两个根，

AA=(-1)2-4(A-1)>0,

解得：二；

4

故答案为：u<—.

4

18.3

【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出x=3,再结合题

意得出x=3是一元二次方程f-4x+c=0的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运

用是解此题的关键.

【详解】解：解方程2x—6=0可得：x=3,

•・•关于x的一元二次方程f-4x+c=0和一元一次方程2x-6=0为“相伴方程”，

，x=3是一元二次方程X2-4K+C=0的解，

:.32-4X3+C=0,

c=3,

故答案为；3.

19.8

【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得

内+占=±义=2,结合2为+々=。，推出％=-2,代入无2一2工-〃7=0得到关于〃?的方程，解方程

■I

即可.

【详解】解：毛，々是关于x的方程f-2x-m=0的两根，

-(-2)

芭+与=；，=2,

2X(+x2=0,

/.X)=0-2=-2,

将x=-2代入X2-2x—〃?=0，得：(-2)--2X(-2)-A«=0,

解得〃=?8,

故答案为：8.

20.100

【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程

bc

加+阮+。=0(白工())的两个实数根玉，々和系数a，b,C,有如下关系：X1+X,=--，可不=一，

a'a

由题意得出6?+。—3=0，。+力=-1,从而得出a、a=3,求出a6=T0a+57,整体代入计算即可

得出答案.

【详解】解：:。、夕是一元二次方程V+x—3=0的两根，

•**a2+cr-3=0♦a+/3=-\,

:.a2=3-a,

cd'=a(-a+3)=-a2+3a=a-3+3a=4a-3,

=(4a-3)2

=16a2-24a+9

=16(3-a)-24a+9

=48-16«-24cr+9

=")a+57,

:.，_40夕+3

=-40a-40/74-574-3

=T0(夕+夕)+60

=40+60

=100.

故答案为：100.

21.5

【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一般式，根据一元二次方程的常数为0可得〃一必〃+]5=0,

可得加的值，再根据二次项系数不等于0