第28章《锐角三角函数》小结练习-2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十八章锐角三角函数

小结

知识结构关系

锐

角

三

角

函

数「｛定义:由1［角三角形中的已知元索，求出其余未知元族的过程）

功•之间的关■:®

角、的角问题；方向京、坡角同越）

核心要点回顾

核心要点一锐知三角函数的定义

1.如图28-X-1,在中，乙B=90°,BC=2AB,则cosA的值为)

IS28-X-2

2.如图28-X-2所示，在Rt△48c中，LC=90°,AD是BC边上的中线,BD%AD=2遍，则tan"/W的值

是()

A.2B.\[2

C.V3D.V5

3.如图28-X-3,在网格中，每个小正方形的边长均为I,点A,B,0都在格点上，则N/10B的正弦值

是—.

4.i+W：COS245°+tan30°sin60°=

5.在AABC中，乙C=90°,tan力=3，则cosB=___.

3

6.如图28-X-4,A,B,C是。0上的三点，若aOBC是等边三角形，则cosA=

核心要点三解直角三角形

7.如图28・X-5,在AABC中,4B=3祗4C=60。,若sinB=1则AC的长为()

A.2B.4C.2V3O.W5

8.如图28-X-6,在四边形ABCD中/B=4D=90)AB=3,BC=2,tanA=(求CD的长.

图28-X-6

核心要点四解直角三角形的应用

9.（2025天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图28-X-7①）.

某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A,E,C依次在同一条水平直线上,CD_LAC,EF_LAC,且

CD=EF=L7m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°,在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为

31%CE=32m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数，参考数据：1

tan22°«0.4,tan31°«0.6).

图28-X-7

10.（2024青海）如图28-X-8,某种摄像头识别到最远点A的俯角a是17。，识别到最近点B的俯角p是

45。，该摄像头安装在距地面5m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB（结果取整数，参考数

据：sinl7°«0.29,cosl7°®0.96,tanl7°«0.31).

DB

图28-X-8

11.（2024海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部

最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图

28-X-9所示.

航行记录

记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60。方向上的A处.

记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45。方向上的B处.

记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到.匕午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡

C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15。方向.

请你根据以上信息解决下列问题：

（I）填空:4PAB=°,ZAPC=°,AB=海里；

（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区?请计算说明.

（参考数据:V2«1.41,73«1.73,V6«2.45）

P

图28-X-9

综合素养提升

12.（2025威海）问题提出

已知Na,zp都是锐角，tana=ptan/?=/求”+邛的度数.

问题解决

⑴如图28-X-10,小亮同学在由边长为1的小正方形组成的网格中画出NBAD和NCAD,请你按照这

个思路求Na+/p的度数;（点A,B,C,D都在格点上）

策略迁移

（2）已知都是锐角，tana=|,tan/?=|,则z_a+4S=°;

（3）已知lNa/0/。都是锐角，tana=J,tan/?=：,"+"=z■仇求tanO的值.

（泥示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）

备用图

图28-X-10

综合与实践

1.（2024湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，汜录如下:

活动项目测量校园中树AB的高度

活动方案“测角仪”方案“平面镜”方案

AA

凸

方案示意

图

DBDEB

图28-ZH-1国28-ZH-2

1.选取与树底B位于同一水平地面的1.选取与树底B位于同一水平地面的E处；

D处；2.测量E,B两点间的距离；

2.测量D,B两点间的距离；3.在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退

实施过程

3.站在D处，用测角仪测量从眼睛C至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；

处看树顶A的仰角乙ACF;4.测量E,D两点间的距离；

4.测量C到地面的高度CD.5.测量C到地面的高度CD.

1.DB=1()m;1.EB=l()m;

测量数据2.ZACF=32.5°;2.ED=2m;

3.CD=1.6m.3.CD=1.6in.

1.图28-ZH-l上所有点均在同一平面1.图28-ZH-2上所有点均在同一平面内；

内；2.AB,CD均与地面垂直；

备注

2.AB.CD均与地面垂直；3.把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得

3参.考数据:tan32.5%0.64.ZCED=ZAEB.

请你从以上两种方案中住羊二和计算树AB的高度.

2.（2025山西）项目学习

项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏

墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底.从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙

呈圆形.综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.

项

11

景物的测量与计算

主

题

驱

动如何测量内栏墙闱成泉池的直径.

问

题

活

动

利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算.

内

容

图28-ZH-3①为该景点俯视图的示意图，A,D是正八边形中一组平行边的中点，BC为

圆的直径，图中点A,B,C,D在同一条直线上.

图②为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E,F,外栏墙AE

与DF均与水立地面垂直，且AE=DF.BE,CF均表示步道的宽,BE=CF„图中各点都在同

方案说

活一竖直平面内.

明

动

过

程

他视国的示常图测址方案示意图

①②

图28-ZH-3

数据测在点A处测得点B和点C的偏角分别为.乙DAB=37°,^DAC=8.5。,4。=26米.图中墙

的厚度均忽略不计.

计算

交

流

展

示

请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：：sin8.5,M）.

15,cos8.5°«0.99,tan8.5°«0.15,sin37°®0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75).

图28-ZH-4

知识结构关系

G/A的邻边b

7

NA的对边_a

NA的邻边一了

③豺原⑤V5⑥&⑦V2

©1⑨博⑩(⑪V3⑫/+b2=C2

⑬4A+NB=90。

乙A的4Ab..LA&A的bAa

⑪sinA.^^u?,---=一,tan力=--------

稀AC=b

⑮已知两直角边

⑯己知斜边和一锐角

⑰已知一直角边和一锐角

1.D2.A

5.：6.V2

7.B8.-

5

9.解:如图，延长DF与AB相交于点G.

由题意，得四边形GAEF和四边形FECD都是矩形，4GDB=22°,^GFB=31°xDGB=90°,

•••AG=EF=CD=1.7m,DF=CE=32m.

在RtAFGB中，tan/G尸8=器:.GF=

Or【ansi

在RfDGB中3"。8=冷-3=^,

•.GF+DF=GD,

.32=-^-

tan31*tan220'

32xtan22*xtan31*32x0.4：＜0.6

GB=------：-------—x-----------=38.4(m),

tan31°-tan2200.6-C.4

.•.AB=AG+GB=1.7+38.4=40(m).

答：世纪钟建筑AB的高度约为40m.

10.解:如图,

4

根据题意，得CEHAD,

••/A=a=l7°/CBD=p=45°.

在RtAACD中，•••tan力=R

At)

AD«X16.1(771).

在RfBCD中，

•••昨盛=5科

.•.AB=AD-BD=16.1-5=11.1-1l(m).

答：最远点与最近点之间的距离AB约是Um.

11.解:⑴如图，过点P作PD1AC于点D,则△APD,aBPD^CPD都是直角三角形.

由题意可知:ZAPD=6O°.ZBPD=45°,ZCPD=15°,

.­.ZPAB=3O°,ZAPC=ZAPD+^CPD=6O°+15°=75°.

由题意可知渔船每小时航行1()海里，渔船从A处航行至B处所用时间为30分钟,

二力8=10、2=5(海里).

60

故答案为30,75,5.

(2)在RtABPD>t>,vzBPD=450,.-.rPBD=450=zBPD,

••.BD=PD.

在RIAAPD中,•.4APD-6(r,

Atanz.APD=—=V3,cosz.APD

PDAP2

••.AD=V3PD,AP=2PD.

,.AB=AD-BD,

.*.5=V3PD-PD,

...PO=吟D海里，

••.AP=2PD=5(国+1户13.65(海里).在AAPC+,VZA=30°,^APC=75°,

.--ZC=180°-zA-zAPC=75°,

/.ZC=ZAPC,

•••AC=AP=13.65海里.

加图，设上午9时渔船航行至E处,则AE=10海里，

.•.CE=AC-AE=3.65海里<5海里，

该渔船会进入“海况异常''区.

12.解:⑴如图①，连接BC.

由勾股定理，得AB=

BC=Vs,AC=VioI

I

：♦AB2+BC2=AC2,|

I

*«

.-.ZABC=9O0,S

.­•ZBAC=45°,

.,.za+zp=45°.

(2)90

(3)如图②/a=NEDH/叩NHDF,

在RtADGF•f,tane=tanzGDF=—=