高一数学期末复习讲义：指数运算与指数函数（解析版）

第五讲指数运算与指数函数

【知识梳理】

一、指数与指数嘉的运算

1.根式

（1）〃次方根的概念与性质

概念一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中〃>1,〃eN*.

①当〃是奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.这

n时，。的〃次方根用符号y[a表示.

次②当〃是偶数时，正数。的〃次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数4

方

性质的正的〃次方根用符号右表示，负的n次方根用符号-爪表示.干的〃次方根

根

与负的〃次方根可以合并写成土标（a>0）.负数没有偶次方根.

③0的任何次方根都为。，记作照二0.

（2）根式的概念与性质

概念式子板叫做根式，这里〃叫做根指数，々叫做被开方数.

①丽且〃EN).

根

式②当〃为奇数时，标=。.

性质

-1—..[a.a>0

③当〃为偶数时，'<lan=\a\=\

[-a,a<0

2.实数指数塞

（1）分数指数累

①我们规定正数的正分数指数冢的意义是。7=丘（。>0,叽〃£N：Ib7>l）.

于是，在条件且AA1下，根式都可以写成分数指数哥的形式.

」I

②正数的负分数指数基的意义与负整数指数基的意义相仿，我们规定Q"==3>0,〃2,，7£N*,且

〃>1).

@0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数哥没有意义.

(2)实数指数累

对于任意实数几S,均有下面的运算性质：

rsr+sr5rsrrr

®aa=a(a>09rts€R)；@(a)=a(a>0,r,seR)；@(ab)=ab(a>0,b>0,reR).

二、指数函数的图象与性质

1.指数函数的概念

一般地，函数y=/(Q>0,且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

【注】指数函数歹=优(。〉0,且QH1)的结构特征：

(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量X；(3)系数:优的系数是L

2.指数函数>=。'(。〉0,且的图象与性质

0<a<la>\

定义域R

值域(0,小)

奇偶性非奇非偶函数

对称性函数歹=。-、与y=管的图象关于匕轴对称

过定点过定点(0,1),即x=0时，y=l

图象y=a\J

---------?-H.

单调性在R上是减函数在R上是增函数

当x<0时，>>1；当x>0时，

函数值的变化情况当x>0时，y>h当x<0时，0<^<1

0<”1

底数对图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中

0<c<d<\<a<b.

①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小;

②在歹轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变正

即无论在），粕的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.

题型01指数幕的运算

【解题思路】利用指数器的运算性质化简求值的方法：进行指数塞的运算时，一般化负指数为正指数，化

根式为分数指数森，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序.

【例1】已知2,=3,2,=5,则2?吗的值（）

L45r-一

A.9+-75B.-C.6\/5D.9石

【答案】D

【分析】根据指数的运算性质即可求得.

【详解】因为2、3,21=5,所以22'+；=22、.2；=（2,）2・（2））；=32乂/=975.

故选：D.

【例2】计算：

⑴阕、2*号）:2*（匹

,082

（2）2^-log32.log494-lg2+—.

logs10

【答案】（1）0

⑵3

【分析】（1）（2）按指对数的运算律计算.

【变式1-1］若x+/=3,则，L：+3=()

x3+x-y+2

【答案】A

【分析】将x+xT=3两边平方得/+<2=7代入所求的式子可得答案.

【详解】将x+J=3两边平方，得X2+/+2=9,即/+1二7，

X2+X-2+3X2+X-2+37+31

所以丁+/++『)(/+-(

2-(x-1)+2-3x7-1>22-

故选：A.

【变式1-2】已知”+加=7,则«_，=（）

A.加B.±75C.3D.±3

【答案】B

【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解.

【详解】由=。+十一2=5,可得±石.

故迄B.

【变式1・3】求值或化简

（1）计算：0.064：+】|、_（2（j+0.「2;

（2）化简（用分数指数基表示）：从「心gw〉。）

a^b2-yjab

【答案】（1）99.9

191

⑵户户

【分析】（1）利用分数指数寻运算法则计算出答案；

（2）将根式化为分数指数幕，再进行计算即可.

23

【详解】(1)0.064。2-?+0.r=(0.4)^

4J

3

=0.4+1——+100=99.9

2

b\!a3-y/abb・a3b6

(2)

3215

a\lb-yfaba，

题型02识别指数(型)函数图象及定点问题

【解题思路】处理指数函数图象问题的3个策略：

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(°』)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0,求

出对应的歹的值，即可得函数图象所过的定点.

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).

(3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势.

【例3】已知函数y=/T-l(q＞0,awl)的图象恒过定点尸，则点尸的坐标是.

【答案】(1,0)

【分析】根据指数函数的性质，令工-1=0,即可求解.

【详解】由函数y=a，"-1(。＞0,aH1),令x-l=0，可得x=l,贝ijy=a°-l,

所以点/＞的坐标为(L0).

故答案为：(1,0).

【例4】在同一直角坐标系中，函数/(x)=，，g(x)=/(x20)的部分图象可能是()

【答案】C

【分析】根据指数函数与幕函数的图象性质逐项判断即可.

【详解】对于A和B，指数函数〃x)=a*过定点(0,1),且递增,则。>1,所以基函数g(x)=x“递增，且增

加的越来越快，故A不符合，B不符合；

对于C和D,指数函数〃x)="过定点(0J),且递减，则所以幕函数g(x)=L递增，且增加的

越来越慢，故C符合，D不符合.

故选：C.

【变式2-1】已知函数/(x)=a"2—3("0且"1)的图象恒过定点4若点4在一次函数？=蛆-〃的

I2

图象上，其中实数〃?，〃满足则一+一的最小值为.

mn

【答案】机圆4

【分析】根据指数函数的性质可得定点A的眼标，从而可得m+g=i,再利用基本不等式即可得，+2的最

2mn

小值.

【详解】函数/(尤)="+2-3">0且21)的图象恒过定点4则力(-2,-2),

又点力在一次函数丁=心-〃的图象上，所以-2=-2加-〃，故加+2=1,

2

乂〃？>0,〃>0,

12(12V〃)，〃2〃，3、l-ii2ni.

所以—I—=1—H--mH--=1H---H+1>2+2/——=4,

mn\ffJ〃八2J2mn\2mn

当且仅当」-=也，即机=L〃=1时等号成立，即2的最小值为4.

2rnn2mn

故答案为：4.

【变式2-2】已知函数/(x)=(x-a)(x-6)("6)的图象如下图所示，则g(x)=，-6的图象可能是()

【分析】由二次函数性质即可得。＞1＞方＞0,再由指数函数性质及图象即可判断得出结果.

［详解】根据函数/（X）=（X）（工一力）（。＞6）的图象可知a＞1＞6＞0,

再由指数函数图象及性质可知，g（x）=a'-8为单调递增，可排除AB,

且与V轴交点为（0,1-6）,乂1〉6＞0,所以即交于》轴正半轴上，排除D,可知C正确;

故选：C

【变式2-3】已知。＞0且awl,〃x）=a（"号与g（x）=£的图象可以是（）

【分析】分类讨论判断出/（工）图像性质及g（x）图像性质即可得.

【详解】对/（"=/»,该函数过定点（0,1）,且〃x）＞0恒成立,

对乃（X）=x"，该函数过定点（0,0）,

若对/(4)=/"»,«-1<(),则("l)x在R上单调递减,

又。<“<1,故/(X)在R上单调递增，

若0>1，对/(力=/心,则("1)X在R上单调递增，

又”>1,故/(X)在R上单调递增，

故排除AB;

对g(x),由〃>0且awl,故g(x)在定义域内单调递增，

故排除C.

故选：D.

题型03根据指数型函数图象求参数

【例5】(多选)困数/(x)=a"*内图象如图所不，其中。/为常数，则卜处结论止确的是()

A.a>\B.b>0C.0<a<\D.b<0

【答案】AD

【分析】根据/(x)的单调性确定。>1，由〃0)=以嗔(。,1)确定b<0.

【详解】=由图知/(X)为减函数，故所以。>1,故A正确C错误;

a

由图知/(O)=〃c(O,l),所以6c0,故B错误D正确.

故选：AD

【例6】(多选)函数,存在实数〃〉使得/(〃，)=/(〃)>/(，・)，则下列关系式中成立的是

A.5'"+5"=2B.5"'+5'>2C.5'+5”>2D.5r>2

【答案】AB

【分析】作出函数图象,得也力关系,对每个选项逐•判断

【详解】作出函数/(x)=p-l|的图象如图所示:

存在实数m>r>〃使得/(〃。=/(«)>/(/•),

由图可知：5OT-1=1-5W>即5阳+5"=2,A正确;

丁函数》=5、在A上为增函数，则5'">5">5">0，

.♦.5'"+5'>5小+5"=2，B正确;

5'—5"<5"'+5"=2，C错误:

5r<5M<5M+5rt=2rD错误.

故选：AB.

【变式3“】函数/(x)=(d“-"2的大致图像如图，则实数”，上的取值只可能是()

B.«>0.0</)<1

C.«<0,/j>1D.«<0,0</)<1

【答案】C

【分析】根据函数y=e°x-b的单调性和与x轴的交点结合指数函数的性质可求解.

【详解】若"0,歹=十一方为增函数，

且If+8,yf+8,/(x)->+8,与图象不符,

若。<0,y=e"—b为减函数,

且二->+8,)，->一仇/(工)->〃，与图象相符，所以〃<0,

当，*)=0时,e“=b，

结合图象可知，此时x<0,所">0，则e">e°=l，所以力>1,

故选:C.

【变式3-2】设。，b,c,d都是不等于1的正数，函数y=a*j=Z/,y=c\y=d*在同一直角坐标系中的

图象如图所示，则a,b,c,d的大小关系是()

A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.C<d<a<bD.d<c<b<a

【答案】B

【分析】先根据指数函数的单调性，确定“，b,c,d与1的关系，再由工=1时，函数值的大小判断.

【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，

当底数大于0且小于1时，指数函数是定义域上的减函数，

所以c，d大于1，4，力大于0且小于I，

由图知：c'>d'，即c>d，b}<a',即

所以匕<c.

故选：B

【变式3-3]已知a〉0且。"，j\x)=x2-a\当xe(-1,1)时均有/(x)<g,则实数。的取值范围是()

A.0,-ju[2,+8)B.g1[u(L4]

C.—,1U(l,2]D.(0.D[4,+<»)

【答案】C

【分析】由题意只需优对一切XW(Tl)恒成立，作出与尸"的图象，数形结合即可求

解.

【详解】只需对一切xw(-l,l)恒成立，作出)，=——9与歹="的图象如下：

当Q<“<1时，，a}>12--,解得

22

故选：C

题型04求指数（型）函数的值域

【解题思路】（1）指数函数y=/（Q>0且。。1）的值域为（0,十8）；

（2）求形如y=a","的函数的值域，先求/（X）的值域，然后结合歹=优（。>0且得性质确定

歹⑺的值域；

（3）求形如y=的值域，转化为先求，=优（〃>0且〃工1）的值域，再将/的取值范围代入函数

歹二/«）中.

【例7】若函数/（x）=2'+3,x«2,3］,,则函数/（x）的值域为.

【答案】［7,11］

【分析】根据指数函数的单调性求解即可.

【详解】因为函数/"）=2,+3在［2,3］上是增函数，

所以/（、L=/（2）=22+3=7,小）2=/（3）=213=11，

故/（'）的值域为［7,11］.

故答案为：[7,11].

【例8】函数/(幻=2——4'+1的最大值为.

【答案】5

【分析】利用换元法，结合指数函数与二次函数的性质即可得解.

【详解】因为/(外=2--4，+1=4x2、一(2'『+1,

令Z=2l贝卜>0，/(x)=/(/)=4r-/2+l=-(/-2)2+5<5,

当1=2,即x=l时，/(x)取得最大值5.

故答案为：5.

【变式7函数y=W的值域是.

【答案】

【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案.

31-13.2+1

【详解】由题意可知，函数j，=i+—

3'-23、-2y-2

1<-；或1>o,则1+土■<：或1+1

由丁>0，31-2>-2>1,

r-2y-2D乙乙y-2

i

即函数值域为70,彳|51，+8

2).

1

故答案为:y’5

I、Jr?+2-3

(1J的值域为，单调递增区间为.

【答案】[L3](开闭均可)

【分析】先求出函数的定义域，进而求出，_,+2l+3的范围，再根据指数函数的值域即可求出函数的值域,

根据复合函数的单调性和指数函数的单调性求出函数的单调增区间即可.

【详解】令一/+2》+32()，解得-14x43,

所以函数7=g的定义域为卜L3],

则工+2工+3=-(x-1)?+4巨0,4|,

所以，-『+2.1+340,2卜

即函数歹=（£|口尔的值域为冏；

令t=\l-x2+2x4-3,xe［-l,3］，

令〃=-/+2»+3,其在［T1）上是增函数，在［1,3］上是减函数，

而函数，=4在定义域内为增函数，

所以函数/=1一/+2》+3在卜1#上是增函数，在［1,3］上是减函数,

因为函数y=（gj是减函数,

所以函数y=_L］的单调递增区间为［1,3］.

12J

故答案为：［；/］；［1,3］（开闭均可）.

【变式4-3】已知函数/（x）=2-八2-，则/（x）的最大值是.

【答案】16

【分析】求出/=-V+2t+3的范羽，根据复合函数的单调性求解.

【详解】由/。）=2-1+2，+3,ffnz=-x2+2.r+3=-（x-l）2+4<4，

因为y=2'单调递增，所以y=2'424,则“幻的最大值是16.

故答案为：16

题型05指数（型）函数的单调性问题

【解题思路】关于指数型函数y=/（幻伍>（）,且。工1）的单调性由两点决定，一是底数。〉1还是0<〃<1；

二是/（》）的单调性.它由两个函数y=。"，〃=/（工）复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题

【例9】（多选）下列函数中满足“对任意玉,/€（。，+8），都有一/的是（）

A.=B-/（》）=（；）C./（x）=lgxD./'（X）=x

【答案】ACD

【分析】根据函数的单调性确定正确答案.

【详解】因为对任意为,超6（0，+8），都有）>0,

‘aX\-f>>

所以/（X）在（0,+co）上单调递增，

A：根据反比例函数性质可知/（"=，在（0,+8）上单调递增，符合题意；

X

B：根据指数函数的性质可知，/（x）=（gj在（0,+司上单调递减，不符合题意；

C根据对数函数的性质可知/（x）=lgx在（0,+“）上单调递增，符合题意：

D：根据一次函数的性质可知，/。）=、在（0,+8）上单调递增，符合题意.

故选：ACD.

IXX2-4X-5

（的严格递减区间为.

【答案】［2,+8）

【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解.

【详解】由题意指数函数），=［［］在定义域内严格单调递减,

/1\r-4v-5

若要函数歹关于X严格单调递减，只需公》2一叙_5关于X严格单调递增即可,

而二次函数对称轴为x=2,且开口向上,

二8Ji

故它的严格单调递增区间为［2,+OC）,即函数y二的严格递减区间为［2,+00）.

故答案为：［2,+8）.

【变式5-1］（多选）下列函数中，在区间（1,2）上为增函数的是（）

x+l

A.y=2B.y=log2(x-l)

c.y=x\x-2\D.y=lanx

【答案】AB

【分析】根据指数函数的单调性可判断选项A：根据图象的变换及对数函数的单调性可判断选项B:先去绝

对值，再根据二次函数的单调性可判断选项C：根据正切函数的单调性可判断选项D.

【详解】对于选项A：因为函数在(1,2)上单调递增，且y=2川=2x2",

所以歹=23在区间(1,2)上单调递增，故选项A正确；

对于选项B：因为函数y=log2(x-l)的图象是由函数y=log/的图象向右平移1个单位得到的，而函数

y=log2X在(0,+e)I:单调递增；所以函数y=噢2(x-1)在(1,2)上单调递增，故选项B正确；

对于选项C：当xw(l,2)时，"#-2|=X(27)=-(X-1)2+L

由二次函数的单调性可得：函数)=x|x-2|在(1,2)上单调递减，故选项C正确：

对于选项D：由正切函数的性质可知函数N=tanx在(0,、>(5，狂)上单调递增.

因为0<1<¥<2<兀，所以选项D错误.

2

故选：AB.

【变式5-2】已知函数/(x)=2"H(awR)为偶函数，则函数y=，(x)的增区间为()

A.(-1收)B.(0,+旬

C.D.(一%0)

【答案】B

【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.

【详解】因为函数/(x)=2il(a€R)为偶函数，所以犷+。1=少+4,解得"0，

所以函数/("=27;J"即其增区间为(0,+8).

>2,x0

故选：B.

【变式5-3】函数/(X)=3#F的单调递增区间为()

A.(0,+8)B.。,+8)C.RD.(-<»,1)

【答案】B

【分析】根据题意，由复合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.

【详解】令〃=x(x-2)=x」-2x,则〃=#2一2》单调递减,

xw(l,+8),〃=，_2工单调递增，且y=3"在R上单调递增，

由复合函数的单调性可知，函数/(x)=3#“)的单调递增区间为(1,+8).

故选:B

题型06比较指数式的大小

【解题思路】比较累的大小的3种类型及方法：

(1)对于底数相同但指数不同的两个幕的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.

(2)对于底数不同，指数相同的两个森的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断，

(3)对于底数不同且指数不同的幕的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较.

【例11]已知〃=1产，b=M，c=2"，则。，b,C的大小关系为()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【分析】利用指数函数、暴函数单调性即可比较大小.

【详解】中题可知，a=]p3<]0，〃=6=5』，C=2L2>2>

(I、6/7\6

则/。6=51=125,?>2%=2’=128.

\/\/

因为y=l在(0,+8)上单调递增，且⑵<125<128,所以4<b<c.

故选：A.

【例12]已知函数g(x)是定义域为R的偶函数，且在(-8,0)上单调递减，若a=g(2)b=g(2O,

c=g(-l)，则〃，b,c的大小关系为().

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<a<cD.h<c<a

【答案】A

【分析】结合函数奇偶性、单调性，以及指数函数单调性来比较大小;

【详解】由题意知函数g(x)为定义域为R的偶函数，且在(一⑼上单调递减,则g(-x)=g(x)，且在(0,十。)

上单调递增，所以c=g(-l)=g(l)，

因为1<2*<2*，

所以g(l)<g(2")<g(2)即c<b<a；

故选：A

【变式6・1］已知4=0.32,b=2°1，C=3"2,则。，b,c的大小关系是()

A.h<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】B

【分析】根据指数函数、制函数单调性分析判断.

【详解】因为7=03在R内单调递减，WlJ0<0.32<0,3y=b即

且『二2、在R内单调递增，则2°<2°」<2%1<〃<2°2；

且丁二/在(0,+的内单调递增，2°2<3%即2°2<C；

综上所述：a<b<c.

故选：B.

【变式6-2】已知函数/(x)是定义域为R的偶函数，且在(-8,0］上单调递减，设g(x)=/"+l),若a=g(-兀),

6=g(2。，c=g(-l),则a,c的大小关系为()

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性及单调性判断.

【详解】•••函数/(x)是定义域为R的偶函数，.•・/(-x)=/(x),

〃=g(一兀)=/(一九+］)，h=S(2-1)=|］=tc=g(T)=/(0)，

•.•函数/(x)在(一8,0］上单调递减，-兀+1<-5<0,

・•・/(一兀+1)>即C<b<a.

故选：A.

【变式6-3］（多选）已知函数/*）是定义在R上的奇函数，且对任意的再,/£（-8,0］（司工勺），总有

（再一七）［/（再）一/（%）］＜0,则下列结论正确的是（）

A./（3°」）＞/（20J）B./（0.7,4）＜/（0.715）

C./（3.507）＜/（0.6,2）D./（0.802）＞/（0.04°4）

【答案】BC

【分析】先确定函数"X）的单调性，利用寤函数单调性即可判断AD,利用指数函数的单调性判断B,利用

“1”比较大小可判断C.

【详解】由（$-吃）［/（$）-/伍）］＜0可知，函数"X）在（3,0］上单调递减，

又函数/（x）是定义在R上的奇函数，所以/。）在R上单调递减，

因为y=x0」为（0,+8）上的增函数，故逑＞2%故故A错误：

因为尸0.7、为减函数，所以0”＞。”，故/（074）＜/（075）,故B正确；

因为3.5°7＞3.5°=1，（）.6"＜（）.6。=1，所以3.5°7＞（）62,所以/（3.5巧＜/（0.小），故C正确：

由丁=x。2在（0,+00）上是增函数，所以0.8。2＞［（0.04）2产=o.oo］62,所以

/（0.8°2）＜/（0.04°4）,故D错误.

故选：BC

题型07解不等式

【解题思路】指数不等式的求解策略：（1）形如的不等式：可借助y的单调性求解.如果的

值不确定，需分和。＞i两种情况讨论.

（2）形如"〉人的不等式：注意将力化为以。为底的指数嘉的形式，再借助的单调性求解.

【例13］“3、＞1”是“x〉l”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合充分、必要性定义判断关系.

【详解】当3、＞1，可得x＞0,故“3*＞1”是“x＞l”的必要不充分条件.

故选：A

【例14】已知指数函数/(x)="(a>0且。工1),经过点(2,4).

⑴求/(》)的解析式及/(-5)的值；

(2)若/(2x-5)</(-3x),求x的取值范围.

【答案】(l)/(x)—2'，/(一5)=]；

⑵(-8,1).

【分析】(1)由指数函数所过点求解析式，再求对应函数值即匕；

(2)根据指数函数的单调性求解集.

【详解】(1)指数函数“X)经过点(2,4),则片=4且。>0,得。=2,

故f(x)=21则/(一5)=2-5=].

(2)因为/(2x-5)</(-3x),即221<23，

又函数/")=2、在R上是增函数，有-3x>2x-5,解得x<l，

所以；v取值范围为(-8,1).

【变式7・1】已知函数/⑴为R上的奇函数，当x<0时，/(x)=2'-l,则/(x)«O的解集为()

8

A.(』-3Mo,3)B.[-3,3]

C.(--3]平,3]D.[-3,0)U(0,3]

【答案】C

【分析】利用函数奇偶性及其部分解析式，求出函数/(x)的解析式画出其图象即可求得不等式/(x)V0的

解集.

【详解】根据题意可知，当x>0时，-x<0,

利用函数奇偶性可得/(f-)=2-x-：=-/(x)，即/⑴=-2-'+>0,

88

2r--,x<0

即f(x)=,0,x=0,画出函数〃x)的图象如下图所示:

—2-td—,x>0

8

.厂3

由图象可知/(x)«0的解集为(-8,-3.0,3工

故选：C

【变式7-2】已知函数/(x)="i的图像经过(2,g),其中。>0且awl

(1)求实数。的值

⑵若〃/+2川>同，求实数X的取值范围

【答案】⑴;

(2)(-8,0]U[5,+8)

【分析】(1)将点代入函数/(X)却可求得结果；

(2)根据指数函数的单调性并结合一元二次不等式的解集公式求得结果.

【详解】(1)将点(2《卜弋入函数解析式/(力=4~,得

(2)由(I)知函数/(X)单调递减，

..a.+2X+I>、a，/-34+1‘

:.x2+2x+\<2/一3x+l，

A2-5x>0»解得x25或xKO,

则实数r的取值范围(_m,0]U[5,+s).

【变式7-3】已知函数/(x)=cX-eL则不等式匕上的解集为.

e

(V5-11

【答案】In三」,+8

\2/

【分析】根据函数的单调性化简不等式，根据对数函数以及二次不等式的性质，可得答案.

【详解】由于/(xbe'-eL显然在定义域上f(x)为增函数,

则占—-”>一1，«2'+炉一1>0且」>0，可得炉>正二1,

2

所以x>ln近二1，故不等式的解集为(in与•,+8.

2I2J

故答案为:1与”.

题型08根据值域(最值)求参数

【例15］已知/(x)=J+M(a>o且〃/1)是偶函数.

(1)求〃?的值.

⑵若〃x)在［05上的最大值比最小值大求〃的值.

【答案】(1)0

⑵洌.

【分析1(1)根据题意，由偶函数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果：

(2)根据题意，由指数函数的单调性，分。>1与0<“<1讨论，即可得到结果.

【详解】(1)若/(x)为偶函数，则/(-x)=/(x)恒成立，

所以+而，即X?-勿“二r+如,恒成立，解得用=().

故用的值为0.

(2)由(1)可得且401).

当心1时，/(x)在(0,+力)上单调递增，『⑴一/⑼"—1=；，解得。=去

当0<avl时，/(X)在(O,+m)上单调递减，|/(1)-/(0)|=1-«=1,解得a=1.

乙乙

故4的值为T或［

【例161函数…:2(o0且E-U)的值域是-9，则实数”()

11)3

A.3B.—C.3或§D.§或$

【答案】C

【分析】由指数函数的性质分别对0<”1和a>1的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案.

【详解】函数)，=42(a>0且"1,7X1)的值域为[总1],

又由指数函数的单调性可知，

当。<a<l时，函数y=a，-2在上单调递减，值域是["2,。।一21

0<a<1fO<6T<1

1

所以有=即《a=­解得。=g;

3

a-,-2=l“T=3

当a>l时，函数片优-2在卜I』上单调递增，值域是[小-2,。-2]

a>1a>1

所以有|〃7-2=-』，即1。"=?，解得。=3.

33

a'-2=\a=3

综上所述，。=,或”=3.

3

故选：C.

【变式8-1】已知/(x)=2m>1)的值域为Q,Qqg,+8),则a的取值范围是()

a-1

x+——2,x>—

x2

A.(1,2)B.(2,3)C.D.[£,2)

【答案】D

【分析】先求出分段函数在各个范围内的值域，再根据条件即可求出结果.

【详解】因为时，/(x)=x+--2,又a>l,所以x+N—222〃一2,当且仅当工=且，即犬=&>，

2xxx2

时取等号，

乂当时，f(x)=(a-\)x,乂。q[内)，则°<。一1<1，得到1<"2,

所以时,/“)=(〃一之伍一1)5，故有2右一223」I.(4一1)‘Ng,解得a2亍,所以彳£4<2'

故选：D.

【变式8-2】已知函数/3=("一3(；，+左，xe[—l,0].

(1明=一1时,求/(》)的值域;

⑵若/(X)的最小值为4,求〃的值.

【答案】(1)［2,14］

⑵£=-3

【分析】(1)设/=(；］可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得；

(2)设/=《)可将原函数转化为二次函数，对人的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得.

【详解】(1)由题意得，/")=一2d

令t=-,令［1,3］,g(/)=/一2七+,

k3/

当上=-1时,g(f)="+2~i,代［1,3］,g«)在［1,3］上单调递增,

故g(x)min=g(l)=2,g(4L=g(3)=14,

故晨冷的值域为［2,14］；

(2)由(1)得g(/)=「-"z+A,/e［l,3］,对称轴/="

①当〃<1时,g⑴在［1,3］上单调递增,

g(x)min=g(l)=i=4,解得％=-3；

②当14"3时,g(。在［1,修上单调递减，在饮,3］上单调递增，

gOOmin=g(〃)=4_"2=4无解,舍去;

③当加>3时,g(f)在［1,3］上单调递减,

g(x)min=g(3)=9-5〃=4,解得上=1，舍去：

综上所述，k=—3.

【变式8-3】设函数/(力=六2'-八(攵+2)2--是定义域为R的偶函数.

(1)求实数〃的值；

⑵若g（x）=22x+2-2，-网史，且g（x）在[1,+8）上的最小值为2,求实数〃?的值.

X

【答案】

⑵吁《・

【分析】（1）根据偶函数得到/（-x）=/&）,化简得到'（2'+2一，）（-1-6=0,解得答案.

（2）确定冢%）=（2'-2-"『一2"2。27）卜2,设/=2'—2-,，得到），=『一2〃"+2,讨论〃

根据二次函数性质得到答案.

【详解】（1）/㈤是定义域为R的偶函数，则〃-x）=/（x），

BP-x\rx-（k+2）2X]=x[2x-（k+2）2"x],即x（2、+）一+2）（2、+）=0,

即耳2'+2-'）（-1-彳）=0恒成立，故左二一1.

（2）g（x）=22x+r2x-2小（2'-2-x）=（2、一2',）'-2m（2r-2^）+2,

令7-Z3因为函数。=2，、q=-2、均为口,+oo）上的增函数，

故函数Z=2'—2-x在口,+8）上为增函数，由故ZN2「2T=3,

2

所以歹=/一2〃"+2,函数y=J-2〃?/+2图象的对称轴为，=〃[,

①当加>|■时，^min=nr-2nr+2=2,解得m=（）（舍去）；

②当时，函数歹=/一2/而+2在g,+8）上为增函数，

933

则为in=[-3/〃+2=2，解得〃？=[<5，合乎题意,

综二所述：〃[=1.

4

题型09恒成立问题

【解题思路】（1）若/（》）〉0在集合A中恒成立,即集合A是不等式/（%）>0的解集的子集，可以先求解集,

再由子集的含义求解参数的值（或范围）；

（2）转化为函数值域问题，即已知函数/（X）的值域为卜〃,〃],

则f（X）*恒成立=>〃>焉®，即机百；/。曰恒成立=>/⑴的骨，即2.

【例17】已知函数/（力=2024丁+金，且正数也了满足，（x）+/（y-l）=2,若7+7>。+24a恒成立，

则实数。的取值范围是.

【答案】(一25,1)

【分析】根据函数的性质确定若/(x)+/(y)=2时则x+p=O,据此得出x+y=l,根据“1”的技巧，利用均

值不等式求出最小值，转化为不等式/+24〃<25得解.

\AX+1)

【详解】因为/(幻+八一公三2024/+-^—+-2024X3+———=•——+—=—

-)2x+\I2-x+\2x+\2'+1

、)

所以，若〃x)+/(y)=2成立，则/(—x)=/(y),

2'+］2x(2r+1_］)2

又=2024/+——=2024.T+—-------L=2024.-———+2，

\，2X+12x+\2x+\

7

而丁=2024//=-亍二］在R上单调递增，所以/(X)在R上单调递增，

由/(r)=/(y),则只能T=N,因此f(x)+/(y)=2当且仅当一工二卜时成立：

又已知/(力+/(/-1)=2,所以<+y—1=0,即x+y=l,

所以L竺=(x+，,+"］=17J>17+2716=25,

xyy)xy

当且仅当4x=y时，即x=Ly=±时等号成立，所以=25,

5■55y

要使一+—>/+24a恒成立，只需满足/+24〃<25，解得-25<“vl,

xy

故实数。的取值范围是(-25,1).

故答案为：(-25,1)

【例18］已知函数y="(。>0且。工1)在［1,2］上的最大值与最小值之积等于8,设函数/(x)=S

⑴求。的值，并证明g(x)=/(x)-；为奇函数；

(2)若不等式/(x)+/(1-x)<1对Tx€R恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】(1)〃=2；证明见解析

⑵(3-2&,+8)

【分析】(1)根据题意，利用指数函数的单调性，得到〃x/=8,得出/(x)=&,再由函数奇偶性的定

义和判定方法，即可求解；

2r

(2)根据题意，化简得到/(“)+/(1一.=1+『\,，利用基本不等式，求得/(x)+/(l-x)的最大值,

r

结合题意，即可求得实数〃?的取值范围.

【详解】(1)解：当"1时，函数尸。,在[1,2]上单调递增：

当时，函数y=在[1,2]二单调递减,

所以函数歹="丫在[1,2]上的最大值与最小值之积等于=8,解得。=2,

可得〃上岛2V12X-1

‘则履'"""一52'+12