高考数学一轮复习（新高考版）第3章 强化训练3 导数中的综合问题

强化训练3导数中的综合问题

立基础保分练

1.（2020•秦皇岛模拟）如图是函数），=_/5）的导数y=/（x）的图象，则下面判断正确的是（）

A.在（一3,1）上，危）是增函数

B.当x=l时，>U）取得极大值

C.在（4,5）上，兀6是增函数

D.当％=2时，贝外取得极小值

答案C

解析根据题意，依次分析选项：对于A,在（一3,一|）上，/'（x）V0,为减函数，错误;

2）上，/（x）>o,yu）为增函数，x=1不是人工）的极大值点，错误；对于c,

对于B,

在（4,5）上，/。）>0,火x）为增函数，正确；对于D,在（一|,2J±,f。）>0,%）为增函数,

在（2,4）上，f（x）<0,«x）为减函数,则当x=2时,小）取得极大值,D错误.

2.已知函数危尸/必+斗疗+以+或〃，b,c,1£2的单调递增区间是（一3』），则（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.a<c<b

答案C

解析由题意可得/'。）=加+以+°,则/（x）>0的解集为（一3,1）,即/（x）=〃（x+3）（x—

1）=0,“<0,可得〃=2a,e=—3a,b<a<c.

3.已知实数x,y满足21+2上2），+2、'，则（）

A.x>yB.x=y

C.A<yD.x,），的大小不确定

答案C

解析设.a）=2/+2，，

所以，⑺=2+2%】2>0,

所以函数/⑺在R上单调递增，

由题意得./U）勺U），所以x<y.

4.已知函数儿0=/一3『+2,对于任意的打，%2£[-1.11»都有|/Ui）一/（X2）|W/〃，则实数"?

的最小值为（）

A.0B.2C.4D.6

答案c

解析对于任意Xi,X2£[—1,1]都有贝乃)一«X2)|wm,即/(x)max—/U)minwffl,

f(A)=3A2-6X=3A(X-2).

当X£(—I,O)时，/u)>o,yu)单调递增；当x£(o,i)时，/(x)〈o,yu)单调递减；

:.当X=0时，_/U)max=/(0)=2,

Vy(-l)=-l-3+2=-2,贝1)=1一3+2=0,

•*./(A')min一一2,

:・m2yu)max—«r)min=4,即m的最小值为4.

5.(多选)如果函数y=/u)的导函数y=f。)的图象如图所示，则以下关于函数)，=凡丫)的判断

正确的是()

A.在区间(2,4)内单调递减

B.在区间(2,3)内单调递增

C.x=-3是极小值点

D.x=4是极大值点

答案BD

解析A项，函数)，=/U)在区间(2,4)内，(幻>(),则函数人文)在区间(2,4)上单调递增，故A

不正确；

B项，函数)，=/U)在区间(2,3)内的导数，(x)>0,

则函数段)在区间(2,3)上单调递增,故B正确；

C项，由图象知当工=一3时，函数/取得极小值，但是函数y=/(x)没有取得极小值，故

C错误;

D项，当x=4时，f。)=0,

当2VxV4时，/(A-)>(),函数_y=/(x)为增函数，

当.04时，

f(x)V0,函数y=/U)为减函数，

则x=4是函数儿r)的极大有点，故D正确.

6.(多选)已知函数凡6=/-2?一4工一7,其导函数为f(x),下列命题中真命题的为()

A.段)的单调递减区间是与2)

B.«r)的极小值是一15

C.当〃>2时，对任意的文>2且恒有人幻>/(〃)+/(a)(x-〃)

D.函数J(x)有且只有一个零点

答案BCD

解析^x)=^-2.r-4x-7,

其导函数为f(X)=3AT—4x—4.

2

令(©=0，解得x=-g,x=2,

当/'(x)>0,即xV-1或x>2时，函数单调递增，

当/'(x)VO,即一号<rV2时，函数单调递减；

故当x=2时，函数有极小值，极小值为寅2)=-15,

当x=-1时，函数有极大值，极大值为/(一§<(),

故函数只有一个零点，A错误，BD正确；

当。>2时，对任意的心>2且恒有(a)(x—〃)，即"t)—A。)一3)*—〃)=

x3+2«3—2A2—2cr—3a2x+4«x>0在x>2,a>2且x^a上至成立，

设g(x)=/)一穴。)一/(。)(工一〃),

g'(x)=3A2-4x—3«2+46/.

令人(x)=g‘(x),h'(x)=6x—4,

?

令/?'(X)>0,X>y

・・・g'(x)在(2,+8)上单调递增，又因为/3)=0,所以当2<xv。时，/*)<0,当心2时，

g'(幻>0,所以g(x)在(2,。)上单调递成，在(a,+8)上单调递增，又工六〃，所以g(x)>g(a)

=0,所以恒有犬幻次/)+/(a)-(x-a).故C正确.

7.已知函数人励二。2—。)。，在区间［1,2］上单调递增，则。的取值范围是.

答案(一8,3］

解析/'(幻二4+级一。)^>。在区间［1⑵上恒成立，则f+2x-a20在区间［1,2］上恒成立，

即〃W(1+2x)min=12+2=3,

所以。的取值范围是(一8,3］.

8.设x=。是函数_/U)=3cos工+sinx的一个极值点，则cos29+sin2/9=.

解析因为函数4v）=3cosx+sinX,

所以/'（x）=-3sinx+cosx,

因为x=0是函数y（x）=3cosx+sinx的一个极值点,

所以/'（。）=-3sin6+cos，=0,tan

cos26>_1_9

所以cos2^+siir^=cos26/+sin26>=1+tan2e~W-

9.若直线y=2x+匕是曲线y=〃lnx的切线，且〃>0,则实数的最小值是

答案一2

解析)，=2aln工的导数为)/==

由于直线y=2x+力是曲线y=2a\nx的切线，

设切点为(〃?，〃)，则那=2,・•・/"=〃，

又2/〃+b=2alnm,

，b=2Hna—2a(a>0),b'=2(lna+l)—2=21na,

当时，b'>0,函数〃=2alna-2〃3>0)单调递增，

当OCaVI时，b1<0,

函数〃=2«lna-2。(。>0)单调递减，

，a=l为极小值点，也为最小值点，

・・・b的最小值为21nl-2=-2.

10.若函数ax的极值为I,则实数a的值为.

答案1

解析由已知可得/U)=er—d.

当oWO时，对任意的工£L/(x)>0,此时函数/(x)在R上单调递增，函数人大)无极值;

当。>0时，令f(x)<0,可得xvlna,此时函数,*x)单调递减.

令/'(x)>0,可得x>lna,此时函数/(x)单调递增.

所以函数凡0=廿一ar的极小值为y(lna)=eln</—alna=a—a\na=I,

令g(a)=a—a\na,则a>0且g⑴=1,

g'(a)=Tna.

当。<4<1时，g'(a)>(),函数g(4)单调递增；

当。>1时，g'3)v0,函数g(a)单调递减.

所以g(a)Wg(l)=l,

由于g(a)=a—4In〃=1,所以a=l.

11.已知函数yU)=*—氏2+2X+C,x=2是«I)的一个极值点.

(1)求JU)的单调递增区间；

7

(2)若当［1,3］时，./U)—『京恒成立，求实数。的取值范围.

解(\)f(x)=jr-2^+2.

•・3=2是儿i)的一个极值点，

・・・x=2是方程F—26:+2=0的一个根，

3

解得1)二5.

令/'(x)>0,则JV2—3x+2>0,解得rd或x>2.

，函数y=/U)的单调递增区间为(一8,1),(2,十8).

(2).・•当x£(l,2)时，f(A)<0,x£(2,3)时，f(x)>0,

・•JU)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增.

2

•M2)是於)在区间［1,3］上的最小值，且42)=尹a

2

若当［1,3］时，要使«()—a',恒成立，

22?

只需<2)>/+1即尹公〃2+?，

解得0<。<1.

・•・实数a的取值范围为(0.1).

12.已知函数凡v)=T加—x/nx+〃(a,Z?£R),g(x)=/(x).

⑴判断函数产g(x)的单调性；

(2)若x£(0,e］(e%2.718…)，判断是否存在实数小使函数g(x)的最小值为2?若存在,求出

〃的值；若不存在，请说明理由.

解(1)由直外二3加一xlnx+A,

知g［x)=f(x)=ax—Inx—1,A>0,

当。WO时，g'(x)vO,即g(x)在(0,+8)上单调递减，

当a>0时，在(0,J)上，g'(x)<0,在弓，+8)上，/(戏>0,

所以g(x)在(0,力上单调递减，在弓，+8)上单调递增.

(2)当aWO时，g(x)在(0,e］上单调递减,

所以g(x)min=g(e)=e4—2W—2.

故不存在最小值2.

当(XaW：时，g(x)在(0,e］上单调递减，

V(I

所以g(.r)min=g(e)=ea-1-Ine=2,

4

所以不符合题意，舍去.

V

当。士时，。弓<0,在(0,3)上((©<°，函数g(x)单调递减；在J，e上g'(x)>0,函数g(x)

单调递增，由此g(x)min=H=l一1一In5=2,

所以In4=2.解得fl=e2,

故当。=1时，函数g（x）的最小值为2.

盟技能提升练

13.某企业拟建造一个容器（不计厚度，长度单位：米），该容器的底部为圆柱形，高为/,底

面半径为八上部为半径为广的半球形，按照设计要求容器的体积为苧兀立方米.假设该容器

的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每

平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时,，半径「的值为（）

B.cqB.cqC.cqC.D.2

答案C

解析由题意知V=7t/2/4-jx|nr3=7[/2/4-17ir3=^7i,

282，

a~Tn~3nr28228-2?

故1=~~=37-3r='

由/>0可知Ky[\4.

।282,356

:.建造费用>=（2口/+八//3+]义4兀/义4=6兀心一3产+1lnr=~~^-\-7nr（0<r<yl~\4）,

«.）,..567r147ro3-4）

则），'=147rr--=-----p-----.

当re（0,葩）时，y<0,广£（葩，汨）时，V>0.

・・・当「=也时，该容器的建造费用最小.

14.设定义在R上的函数/U）的导函数为/（幻，若（A）<2,/0）=2021,则不等式

ey（x）>2e'+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为（）

A.（0,+8）B.（2019,+8）

C.（一8,0）D.（一8,0）U（2019,+«>）

答案C

解析设g（%）=eU（x）—2],

所以g'。）=8伏幻+/（»—2],

因为46+/。）<2,

所以屋（力=力汉。+"（力-2]<0,

所以外x）在R上单调递减，

且g（0）=lX伏0）—2]=2（）19,

又因为ey（A-）>2eA+2019等价于g（x）>2019,

所以原不等式的解集为(一8,0).

立拓展冲刺练

15.某数学兴趣小组对形如46=丁+<谭+法+，的某三次函数的性质进行研究，得出如下四

个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是()

A.函数段)的图象过点(2/)

B.函数凡I)在x=0处有极值

C.函数«r)的单调递减区间为。2]

D.函数段)的图象关于点(1,0)对称

答案D

解析对于A选项，./(2)=8+4a+2A+c=1；

对于B选项，/'(x)=3f+2or+/?,f(0)=6=0；

对于C选项，由单调递减区间可得/(())=力=0,/'(2)=12+4〃+力=0,因为有且仅有一个

选项错误，所以B,C正确；

所以。=-3,b=0.对于D选项，函数段)的图象关于点(1,0)对称,则有火l+x)+/(l—力=0,

可赋值得到：当x=0时，2/(1)=0,当x=\时，川2)+10)=0,即可得到8+4a+2〃+c+c

=0,解得c=2,与a+b+c=0解得c=3,显然c有两个取值，故D错误，A