广东省多校2025-2026学年高二年级上册高中阶段联考（12月）数学试题（解析版）

广东省多校2025-2026学年高二上学期

高中阶段联考（12月）数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合

题目要求的.

1.直线工+），=0的倾斜角为（）

A.45°B.60C.90cD.135,

【答案】D

【解析】直线x+y=o,即＞=一工，直线的斜率为一1，

则直线的倾斜角为135°.

故选：D.

2.若VA08的三个顶点坐标分别为A（4,o）,5（0,-2）,0（0,0）,则V408外接圆的

圆心坐标为（）

A.（2,-1）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（-2,1）

【答案】A

【解析】由题得VAQ8是直角三角形，且NAO8=90.

所以VA08的外接圆的圆心就是线段A8的中点，

4+00-2

由中点坐标公式得x=----=2,y=----=-1.

22

故选：A.

3.已知直线ax+2y+l=0,/2：（3-a）x-y+a=0,则条件"。二1''是"乙的

（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D,既不必要也不充分条件

【答案】B

【解析】若/1~1~/2，则（3-4）x（-］）二-1,解得4=1或。=2.

故a=1是4_L的充分不必要条件.

故选：B.

4.为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得

分（10分制）的频数分布表如表：

得分345678910

频数31063922

设得分的中位数为〃%,众数为m0,平均数为X,则()

A.mc=mu=xB.me=m^<x

C.me<<xD.〃?()<me<x

【答案】D

【解析】由图知，众数是"%=5：中位数是第15个数与第16个数的平均值,

由图知将数据从大到小排第15个数是5,第16个数是6,

所以中位数是帆,二*=5.5；

2

平均数是x='X(2X3+3X4+10X54-6X6+3X7+2X8+2X9+2X10)»6；

<tne<x.

故选：D.

5.已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2,则该圆锥的体

积为()

A.4兀B.6兀C.8兀D.10兀

【答案】C

【解析】设圆柱、圆锥的底面半径为「，高为2,贝［4兀/•=.x2m"J'+4,

2

所以/・=26，故圆锥的体积为《x2x兀乂(2JJ)2=8兀.

3

故选：C.

6.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+8)上单调递减的是()

11

A./(A)=c'B.f(x)=In|x|

C./(x)=x~2D./(x)=sin|x|

【解析】对于A,由，=|用在(0,+8)上递增，y=e'在定义域上递增，故y=eM在

(0,+8)上递增，故A不满足题意；

对于B,由，=|x|在(0,+。。)上递增，y=lnf在定义域上递增,故/(x)=ln|x|在

(0,+8)上单调递增函数，故B不满足题意；

对于C,/*）二r2为偶函数，由哥函数的性质知/（幻=工-2在（0,+8）上递减，故C满

足题意；

对于D,》=忖11%|为偶函数，在（0,+8）上为周期函数，故D不满足题意.

故选：C.

7.如图，在直三棱柱A3C—AAG中，已知A8_LAC,。为CG的中点，A8=AC=A4,

561020

【答案】C

【解析】以人为原点，A8，AC，AA的方向分别为4Az轴的正方向，建立如图所

示的空间直角坐标系，设45=2,则A（0,0,0）,4（20,2）,A（0,0,2）,£＞（0,2,1）,

uuuu

所以明=（2,0,2）,4。=（0,2,-1）,设A%A。所成的角为e,

川Q卜外4。|2M

则cos0=\---n---r=-7=——7==-----

1AMM2夜x近10

8.已知VA3C内角A,从。所对的边分别为小b,c,若cos（A-8）-cos（A+6）=（,

且"咚则VA8C的外接圆的面积为（）

A.—B.兀C.2兀D.4兀

2

【答案】B

3

【解析】由cos(A-B)—cos(A+8)=一,

4

33

得cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsin8=一，所以sinAsin8=—.

48

又因为"=1，结合正弦定理，一=〃一=2R(其中A为VA8C的外接圆的半径)，

2sinAsinB

所以ab=4R2sinAsin8=3A?=3,解得R?=i,

则7ABe的外接圆的面积为兀A?=兀.

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设函数/(x)=2sin2x+-,则下列结论错误的是()

\3)

A.f(x)的最小正周期为加

TT

B.的图象关于直线x对称

6

C./(大)的一个零点为人二-5

6

D./(x)的最大值为1

【答案】BD

【解析】由周期公式知丁='=兀，A正确；

2

因为/(T]=2sin2x—+—=2sin1-二百不是最谊,所以直线工二色不是函数

6

的对称轴，B错误;

//\

因为d71

=2sin2x--十=2sin0=0,所以x二-乙是函数f(x)的零点，C

6

正确；

由正弦函数的值域可知，/(X)的最大值为2,D错误.

故选：BD.

10.已知三棱锥A—BCD,E,F,G,”分别是AB,BC,CD,D4的中点，下列说法正确

的是()

A.E,F,G,”四点共面

B.BD〃平面EFGH

C.设M是EG和"7的交点，。是空间任意一点，则0M=g(0A+0B+0C+。。)

D.若EG=FH,则4C/BD

【答案】ABD

【解析】由题意可知，如图所示：

同理，F(j=；BD.所以EH=FG，

所以EH=FG,EH〃FG、

所以四边形瓦CH是平行四边形，

故E,F,G,〃四点共面，故A正确；

对于B,由A知，BD=2EH，则BD〃EH，即BD//EH

又80a平面EFG”，EHu平面EFGH,

所以30//平面EFG”，故B正确；

对于C,因为M为EG的中点，瓦G分别为CO的中点，

所以OM=g(OE+OG)=；(OA+O3+OC+Or)).故C错误；

对于D,由A知，四边形EFG//平行四边形，

因EG=FH,

所以四边形瓦6,是矩形，

所以七尸，

所以EHEF=O,

EH=AH-AE=^AD-AB^=^BD,即3O=2E”；

EF=BF-BE=^BC-BA)=^AC^即AC=2E/；

所以A(j•BD=2EH•2EF=4EH•EF=0，

所以AC_L8。，即4C1B。，故D正确.

故选：ABD.

11.如图，已知过原点。的直线与函数），=3'的图象交于A8两点，设A8的横坐标分别

为王,々，分别过A8作x轴的平行线与函数），=（百厂的图象交于C。两点.若3C//y

B.x>=log32

C.BD=2ACD.BC=2

【答案】ACD

【解析】设A（x，3%）,B（孙39）,lAB-.y=kx（k>0）,

由题意可知:C》国,3巧），（何”=3。吟，

3=33'2-X,=—

则有<3"二仇n<X)=>Xj=log32,x2=21og32,A正确；B错误；

x22X]=x

3=3217

BD=xD-x2=2X2-x2=x2=2log32,AC=x2-xA=xi=log32,BD=2AC,C正

确；BC=3^-3X,=32k>fo2-3,O8i2=4-2=2,D正确;

故选：ACD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图是一个古典概型的样本空间。和事件A和B其中〃(0=24,〃(A)=12,

〃（3）=8,〃（AD3）=16,则。（A8）=P（AB）=.

【解析】「(/叫、=n勒(AB)=刀（4）+刀⑻-〃（AJ叽12+8-16_1

〃（Q）~24-6

〃⑼一〃（AU8）_24-16_1

n（Q）"24-3,

故答案为：—；—.

63

13.过点P(2,0)有一条直线/,它夹在两条直线4：2工一)，-2=0与/2：工+y+3=0之间

的线段恰被点P平分，则直线/的方程为.

【答案】4x-y-8=0

【解析】设A(5,yJ,双马,％)，

X+x,=4

•••尸为A3中点，・•・〈’八,

E+）'2=°

x2=47]2xt-yt-2=0

'J（4f）+（f）+3=。'

〔以二f

玉=34-0

解得（x-2）,即/:4x-），_8=0.

y=43-2

故答案为：4x-)，-8=0.

14.已知4(0,2),点尸在直线x+y+2=0上，点。在圆C：V+),2-4x—2)，=0上，则

\P^+\PQ\的最小值是________.

【答案】2逐

【解析】。：/十9一4“一2)，=0可转化为：(x-2)2+(y-l)2=5,则圆心为C(2,l),半径

为r=6.

设4关于直线x+y+2=0的时称点B的坐标为(4力)，则：

a2+b,八

2z2[:.a=-^b=-2B(-4,-2)

a

...|%|+|的最小值是忸C|一厂=J(2+4)2+(1+2)2-75=275,

故答案为：2石

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文宗说明，证明过程或演算步骤.

15.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题的概率都是0.6,若每位

面试者都有三次机会，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第三次为止.

用丫表示答对题目，用N表示没有答对的题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立

的，那么：

(1)在图的树状图中填写样本点，并写出样本空间；

(2)求李明最终通过面试的概率.

解：(1)由题意，样本空间为C={Y,NY,NNY,NNN\.

样木点的填写如图所示，

第一次第二次第三次样本点

(丫)

■(NY)

-(NNY)

-(NNN)

(2)可知李明未通过面试的概率为。(可可”=(1-0.6)3=0.064,

所以李明通过面试的概率为1-P1NNN)=1-0.064=0.936.

16.为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100

件，并分析其质量指标值经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所

示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示.

质量指标值[100.110)[110,120)[120J30)1130,140)[140J50)

频数2030301010

（1）求频率分布直方图中。的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数

大小（同•组中的数据用该组区间的中间值作代表）；

（2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在

［120,130）和［130,140）两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析,求这2件产

品均来自同一组的概率.

解：（1）由题意（2。+。.02+0.03+0.04）x10=1,解得。=0.005,

甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：

105x0.2+115x0.3+125x0.3+135x0.1+145x0.1=121,

乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：

105x0.05+115x0.4+125x0.3+135x0.2+145x0.05=123,

所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小.

（2）从乙企业生产的产品质量指标值在［120,130）和［130,140）两组中抽取5件产品，

则应在［120,130）中抽取5x———=3件，记这三件产品为出b,c,

0.03+0.02

在［130,140）中抽取5—3=2件-，记这两件产品为1,2,

则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，

抽到的组合可能为:{a9b\,{a,c},{a,1},{a,2},\b,c},1},\b,2},{c,1},{c,2},{1,2},

共10种可能，

这2件产品均来自同一组的可能情况为：{。力},{。,。},也,。},{1,2},共4种可能，

4

故所求为一二0.4.

10

17.已知圆。过圆0广9+,，2-2工=0与圆。”/+/2-4丁=（）的交点，且圆。的圆

心在直线/：2x-y=0上.

（1）求圆C的方程；

（2）过圆C外一点P（白,3）向圆C引两条切线切点为A、B,求经过两切点的直线方

程；

（3）求直线4：2〃a一2），-2/〃+1=0（〃2£1＜）被圆。截得的弦长最小时的方程.

解：（1）由题可设圆C的方程为：X2+/-2X+2（X2+/-4＞'）=0（/1^-1）,

12/1、

整理得（1+A）X2+（1+A）y2-2x-4Ay=0（2^-1）,其圆心C

1+几1+4,

22/

因为圆心在直线2工一），=0上，所以-----------=0,解得:2=1,

1+A1+4

所以圆。的方程为：x2-iy2-x-2y=0.

（2）由于过圆。外一点向圆。引两条切线切点为A、B,则A、B是以PC为

直径的圆与圆。的交点，则经过A、8两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程；

由于叫』＞'I川，所以以PC为直径的圆的方程为：卜-果•号（―，

整理得：rr-2A-4y^=0,即以PC为直径的圆的方程为Y+y2-2x-4y+?=0,

++44

x2+y2-x-25'=0

联立｛n,△，15八，则4x+8y-15=0,

x+y~-2x-4y+-=0

所以经过A、B两切点的直线方程为4x+8y-15=0.

（3）由直线/［：2"火一2），一2〃7+1=0（根£R）可得：2/7z（x-l）-2y+l=0,

令「I二八’解得《1，则直线4过定点“旧）,

-2y+l=0j=—2

则当CM_L《时，直线/”27nL2），-2m+l=0（mwR）被圆C截得的弦长最小，

1-1

由于％=#=-1，所以勺=1，即〃7=1，

5T

则直线4的方程为：2x—2），—1=0.

18.如图，正四棱柱A8CQ-44GA中，4A=2AB=4,点E在CG上且

C、E=3EC.

%---------TIG

•:\'：\E

夕c

力L——当

(1)证明：AiC±BD；

(2)求直线A。与平面A.QE所成角的正弦值.

(1)证明：如图，以。为原点，DA,DC,OR所在直线分别为x,九z轴建立空

间直角坐标系，

x

则4(2,0,4),C(0,2,0),D(0,0,0),4(2,2,0),

则AC=(-2,2,Y),OB=(2,2,0),

所以ACO8=(-2)x2+2x2+(-4)x0=0,

所以ACJLQ3,即

(2)解：由GE=3EC可得£(0,2,1),

DA.=(2,0,4),OE=(0,2,1),

设平面\DE的法向量为〃=(%,y,4),

[LI•DA,=2x,+4z.=0

则〈，取4:2,解得不二—4,>,=-1,

[jLi-DE=2必+Z[=0

则〃—(-4,-1,2),

又4。=(-2,2,7),

设直线AC与平面ADE所成角为o,

.|AC-A|18-2-81V14

则sin0=cosAC,/7=\——7j--=-U=---T==-------,

个"|AC|HV2TX2V642

所以直线\C与平面A}DE所成角的正弦值为巫.

42

19.已知函数y=/(x)为R上的奇函数.当OWxWl时，f(x)=ax2+3x+c(小c为常

数)，/(1)=>.

(1)当时，求函数y=2"*)的值域；

(2)若函数y=/(x)的图象关于点(1』)