黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025-2026学年高一年级上册期中考试数学试题（解析版）

黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025-2026学年高一上学期期中考试

数学试题

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区

域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章〜第三章第2节.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合,B<2.4.6：则.川8=()

A.{2}B.(2,4)C.[2,4,5,6；D/124,5,6}

【答案】D

【解析】

【分析】利用并集的定义可得出集合LB.

【详解】因为/=口,2,4,5；,B=2,4.6；,则力U8={1.2,4.5,6；.

故选：D.

2.已知/(3x+l)=4工+3,则/(-2)=()

A.-5B.-IC.1D.7

【答案】B

【解析】

【分析】利用配凑法求函数解析式，再代入求解即可.

454545

【详解】由题意，得〃3工+1|=不3工+1|+?,则+故/(-2)=彳*(-2)+,=-1.

•rJJJJ

故选：B.

3.函数/("=J2.\+8+-二昼的定义域是()

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A.[-4,4)U(4,+Q0)B.L

C|-4,4)U(4,+oo)D.IT+“

【答案】C

【解析】

【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解.

【详解】对于〃“二后仔+十）,

X*—16

有仁2X+巾8N0。‘解得J且"4,

则Z|-v|的定义域为（-4,4）u（4,+00）.

故选：C.

4.若。，b,ceR,o</><0,则下列不等式正确的是()

A.-<7B.a:<b2C.o(c：+1)</>(c2+1)D.a2<ab

ab

【答案】C

【解析】

【分析】已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确.

【详解】若。，方，R,fl</><0,

,Aab\1

由。方>0,则一得1<一，A选项错误；

由。〈分（0,有14>|“，则〉》/，B选项错误；

由°C<0,C、I>O,有。++,c选项正确;

由。有/>ab，D选项错误

故选：C.

5.已知函数/("是R上的偶函数，当i<0时，/(x)=2.r2-A-l,则当x>0时，/("=()

A.2x*+x-1B.-21'+I-1C.2X'-xfID.-2x*-x-1

【答案】A

【解析】

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【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可.

【详解】因为函数/(小为偶函数，所以=

当I>0时，-x<O,/(-x)=2(-x)2-(-x)-l=2x2+x-l,

所以当x>0时，=

故选:A.

6,下列各组中的函数/(."和g("是表示同一个函数的是()

A./(x)=>//,g(x)=VP"B./(x)=1，g(x)=Y

C./(x)=x+3,g("=：__D./(M={,g(”=W

x-31-x,xvu

【答案】D

【解析】

【分析】根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同即可得解.

【详解】对于A,/(.r)=77=|x|,g(x)=V?=.r,所以两函数不是同一个函数，故A借误；

对于B,=1的定义域为R,如主)=/的定义域为(-8,0)1)(0,+8),

所以两函数不是同一个函数，故B错误：

X?-9

对于C,/(x)=x+3的定义域为R,g(.r|=--二的定义域为(-8,3)u|3.♦工

x-3

所以两函数不同一个函数，故C错误；

c/ill]x,x20

对于D,可知两个函数的定义域均为R,且g”=k=<n,

所以两函数是同一个函数，故D正确.

故选：D.

7.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸

>iOOOv，/、

多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N其中4(m)为安全距

离，,|m§1为车速.当安全距离4取40根时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为()

A.110B.116C.119D.122

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【答案】B

【解析】

【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.

详解】由题知

lOOOvlOOOv1000,10001000…

1一。.4八。.6"4-0.4八0.6"40-。加+30.6-2小.4相g+0.6-86

40

当且仅当0.4箕=—,即i=IO时取“="，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116.

V

故选:B.

8.已知函数/(.”是定义域为R的偶函数，且在(8.0］上单调递减，则不等式/(K+1)>.〃2X)的解集

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数性质及区间单调性可得卜+1>|2主，两边平方求解集.

【详解】依题意，得/(力在［0,+8)上为增函数，且/(”为倡函数，

所以/(x+l)>.〃2K),即川"1|)>川2力

所以,+1>|2］，两边平方得卜+『>|2］「解得一：<工<1.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9,下列选项中，。是4的必要不充分条件的是()

A.p：I$K?：I<IB.p：X>-l,</：X2>1

C.p：&=x,q：x>0D.〃*0.9:N=T

【答案】AC

【解析】

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【分析】根据各项条件间的推出美系，结合充分、必要性定义即可得答案.

【详解】A,因为工<1能推出》41,而工41不能推出工<1,所以。是q的必要不充分条件，正确；

B,因为x>-l不能推出一>1，如工=0；同时1>1不能推出x>-1,如x=-2,即充分性与必要性

都不成立，所以。是9的既不充分也不必要条件，错误；

c,因为j不能推出x>o,如1=0,即充分性不成立；x>o可以推出犷=j,即必要性成立，

正确：

D,因为N=-x等价于i40,所以P是q的充要条件，错误.

故选：AC

io.已知函数/("={,,.，则下列关于函数/3的结论正确的是()

A./(/(-1))=!B.若则H的值是或石

C./(“的值域为(F.4)D.的解集为(-I)

【答案】AC

【解析】

【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及/〈工〈Z进行计算即可得；对C：

分别求出当X4-1时，-1<.1<2时，.〃工|的取值范围即可得：对口：分x4・l及解不等式即可

得.

【详解】对A：因为=+2=则/(/(一==故A正确；

对B：当x«・l时，"2=3,解得.1=1(舍去)，

当时，X:=3,解得x=J5或…・JT(舍去)，故B错误；

对C：当X4-1时，/(H的取值范围是(YOj],

当时，〃工|的取值范围是[0,4|,

因此/(”的值域为故C正确;

对D：当x4・l时，x+2<I,解得

当时，I2<1,解得,

所以/(avl的解集为(70,-12(-1,11；故D错误

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故选：AC.

11.已知有限数集/中的元素均为实数，且对任意。是€,4,都有。则卜.列结论正确的是（）

A.4中最大的元素不超过1

B.A中最小的元素可以小于一1

C.若集合力中只有一个元素，则/={0〔或$=1

D.若集合A中有两个元素，则/二|05

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,设工为数集4中最大的元素，可知/也是数集A的元素，由-4I,解不等式即可判断;

对于B,设『为数集4中最小的元素，可知/和「都是数集4的元素，则:3.，解不等式即可判断；

对于C,设。为数集4中唯一的元素，可知不也是数集4的元素，则/二°,解方程即可求解；

对于D,举出♦=；1』也满足条件即可判断.

【详解】对于A,设工为数集/中最大的元素，根据数集/的定义可知/也是数集4的元素，

则『41,解得：04工41,所以数集A中最大的元素不超过1，故A正确;

对于B,设1为数集片中最小的元素，根据数集/的定义可知/和V都是数集4的元素,

y2“y(y-i)2O

则'，即，解得-14,『40或卜21,

y3>y

所以数集/中最小的元素不小于-1,故B不正确;

对于C,设。为数集A中唯一的元素，根据数集A的定义可知/也是数集A的元素

，则/解得：。=U或。=1,则/=；。；或八1,故C正确；

对于D,设集合A中有两个元素分别为。〃工方1,

当。=0时，o・b€』，b:EA,由于5H0,所以r=人解得/>=1或/>=0（舍去），此时/=|0』；

当。=-],/>=1时，abeA,a:eA,h：wA,所以集合A中有两个元素，则彳=；-覃：也满足条件,

故D不正确;

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故选：AC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.命题P："McR,J・I〉1Q”的否定是.

【答案】Vi€R，J2-J<1(|

【解析】

【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题直接得结果.

[详解】”的否定是R,

故答案为：Vi€R,i:-I<10

13.不等式'垣20的解集为.

x-l

【答案】j-2|kj(xxX)l]

【解析】

【分析】根据分式不等式的解法求解即可.

【详解】当而5=0,即x=・2时，不等式叵Zzo成立;

x-l

当J—2>0时,由"2*Oo*>2ox>].

x-l(x-l>0

综上所述，不等式，三220的解集为；-2|0".1旬11.

x-1

故答案为"-2|u：x主刈.

----------x4-]

14.已知g("=X-T-是(-8,+8)上的单调增函数，则实数。的取值范围是—

|3-3a|x+l,x>-I

【答案】y.l；

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数〃的不等式组，由此可解得实数〃的取值范围.

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-------x4-]

【详解】因为函数g(x)=，X-T,"是(-8,+8)上的单调增函数，

13-3a|x+l,x＞-1

函数g(x)=--、在(YO,-1]上为增函数，则-。＜0,可得。＞0，

函数g(x)=(3-3a)x+l在(-l,4oo)上为增函数，则3・3。＞0,可得avl,

根据分段函数的单调性可得+4-(3-3aI+1=3。-2,解得。,

综上所述，实数。的取值范围是

故答案为：31}

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.若集合4=|止1"41：,8="帆一54.142析川.

(1)若加二0,求4U8；

(2)当』fl8=d时，求实数机的取值范围.

【答案】(1)3-54x4”

(2)；团04加S4；

【解析】

【分析】(1)由条件可得8=1-54x41；,根据并集运算定义求解；

(2)由条件可得4cB,结合集合包含关系列不等式求结论.

【小问1详解】

因为8=；K帆一54x42加♦11,w=0

.•.8二；止54,又4=3-14x41；

・・"uB=；x|-54x41].

【小问2详解】

•・・.4nB=J,：.AcB,

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zn-5<2m+1

w-5<-1

2/n+l>l

AO<w<4,

・•・实数，〃的取值范围为|304团4

,，、x

⑹已知函数小）=工

（1）判断/（小的奇偶性并用定义进行证明;

（2）用定义证明/（制在区间（•L1）上单调递减.

【答案】（1）/（“是奇函数，证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可;

（2）令I,4w（T]l,且。＜L',做差判断/bJ■八I：）的正负来确定函数单调性.

【小问1详解】

是奇函数，证明如下:

X

由J-1，0,得/(')=k1的定义域为"

x*-1

对于H"Xil：,都有7E：XXtl},

-X

且〃7）=

(-X)2-1x2-1

所以/（•"是奇函数.

【小问2详解】

证明：任取.），々《（-1,1},且4,

X,

则川（）-〃工）二

阳-I4-1

大；4♦壬_8々（七一'）十七一*（X|±+l）（x?-xj

（X：叫（只叫（―广

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因为-1<人<【：<|,所以0<册0+1<2,上一用>0,xf<I,石<1,

(x.x,+l)(x,-x.)Ao〜i

因此，1IM.n>0,即〃$)>/(三)，

所以函数/(工)在区间(1,1)上单调递减.

17.已知函数/(幻=『+2工一”：+4〃.

(1)若对YxwR,〃x)2-I恒成立，求实数。的取值范围；

(2)解关于x的不等式:fix)>3,

【答案】

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)分析可知"WR,J•2i•/♦I。・12。恒成立，由A40可得出关于。的不等式，解之

即可;

(2)将所求不等式变形为对］-。、a-3的大小关系进行分类讨论，结

合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.

【小问1详解】

对VxwR,/(R2-I恒成立，即J♦h•』♦I。・12。恒成立，

所以A=4-4|-/+44+l|40,

整理得。：・4。40,解得04。44,所以实数。的取值范围是［。耳.

【小问2详解】

/(.V(>3,Up,v'+2i*l>a-4ij*4,

即行+1『-(。-2『>0,即

当—3="。，即a=2时，原不等式即为(x+l『>0,解得XH-1；

当a-3>l-a,即a>2时，解原不等式得x<I-。或x>。-3；

当。即。<2时，解原不等式得x<〃-3或x>l-a.

综上，当。=2时，原不等式的解集为(-8,-l)U(-l,+8)；

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当〃>2时，原不等式的解集为「8,1〃）U（"3,+咐；

当。<2时，原不等式的解集为（-8,4-3|U（1-0,+OD）.

18.已知函数/（"=/+bx+c与X轴的两个交点为（2,01,（3,0|.

（1）求儿C的值;

⑵在［（）』上，函数/口）的图象总在一次函数「hr的图象的上方，求实数，〃的取值范围;

（3）设当工w［］/+2］（/€R）时，函数/（.”的最小值为幺”），求浦”的解析式.

【答案】(1)6=-5,C=6

(2)(一/.(〃

1

2

115

(3)g(^)=</<-

4L2

r-5/+6J|

【解析】

【分析】（1）2,3为方程J•狂・1二Q的两根，由韦达定理求〃，。的值;

⑵问题等价于r・516>♦所在［。』上恒成立，转化为函数J=J-7】+6在［o、l］上的最小值:

（3）讨论区间与对称轴的关系，结合二次函数的单调性，即可求得二次函数在闭区间上的最小值.

【小问1详解】

2,3为方程J•后♦二（）的两杈,

由根与系数的关系可得2+3=",2x3=。，

所以力=-5,c=6

【小问2详解】

由（1）可知，工+6且满足YOSxVl,.r：・5x+6>2i+M恒成立，

等价于加<(x'-7x+6),0<V<1,

9in।n

函数lJ-71+6的对称轴为工=g,开口向上，所以在［0.1］上单调递减.

所以工=1时，1有最小值0,

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所以卅<0,实数机的取值范围为(-8,0).

【小问3详解】

/lx)=.r-5.v>6,函数的对称轴为工=；,开口向上,

若1+2W，即则/(“在W+2］上单调递减,

g(k/(xL=〃，+2)=U+2)'-5H+2)+6=1T；

;

若fg,则/⑶在卜J+2]上单调递增，gl7l=/(-v)min=/|/|=/-5/+6;

若+g|Ji</<-,

.22

则/(H在上先减后增，g(r|=/U|B)O=f

「115

所以，g("=•彳

4LL

l:-5/+6J2|

19.问题：已知。、b、均为正实数，且,+?♦1=1,求证：a+/>+c>9.

abc

+二牛3平+斗仁闾♦&小3+2+2+2=9

证明：，+b+C=(0+/>+c)—+-当且仅

\abc)[ab)Uc)[bc)

当。=b=c=3时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：

149

(1)已知。、b、均为正实数，且a+b+c=l,求一+；+一的最小值；

abc

2J

(2)已知。、b、八F均为正实数，且0-4=1,求证：a2-62<(.r-v)2；

ab'

(3)求r=技。-G5的最小值，并求出使得r取得最小值时的值.

【答案】(1)36

(2)证明见解析(3)当，=4时，r取最小值型

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【解析】

149149

【分析】（1）将代数式一+：+-与G+8+C相乘，展开后利用基本不等式可求得一+：+一的最小值;

abcabc

（2）将代数式与1相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立；

trb'