吉林省吉林市某中学2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题（解析版）

2025-2026学年度上学期吉林市第九中学期末考试

初二数学试卷

一、单选题（共18分）

1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代

表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，•个平面图形沿某条直线对折，直线两旁的

部分能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；

B、是釉对称图形，不符合题意；

C、是轴对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不符合题意；

故选：A.

2.“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为

0.0000000004m,数据0.0000（X）0004用科学记数法表示为（）

A.4xl0-11B.4xlO-10C.4x10^D.0.4xlO-9

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为axKT,其中1＜忖＜10,〃由原数左边起

第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案.

【详解】解：0.0000000004=4x10

故选B.

【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1数，熟练掌握表示方法是解题关键.

3.下列运算正确的是()

A(。)=。产B././=/c.[~2a2)3=-6a(yD.a^a4=a2

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幕相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于各国式分别乘方

的积；同底数塞相除，底数不变，指数相减；熟记运算法则是解题关键.

【详解】解：A.(〃3)4="2,故本选项正确；

B.a2-a3=a5»故本选项不正确；

C.(-2a2)3=(-2)3(a2)3=-8a6,故本选项不正确：

D.故本选项不正确.

故选：A.

4.若五二2在实数范围内有意义，则工的取值范围是()

A.x>2B.x>2C.x<2D.x/2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查二次根式有意乂的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进行

求解即可.

【详解】解：:J口在实数范围内有意义，

：.x-2>0,

/.x>2.

故选B.

r—3〃

5.已知关于x的方程一一-2=——解为正数，则女的取值范围是()

x-\\-x

1221

A.ZwlB.攵工一C.k>—且％#1D.—且Aw—

3333

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合

分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围.

先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解X关于A的表达式，再根据”解为正数“和“分母不

为列不等式，最终确定左的取值范围.

v—3%

【详解】解：•••方程—一一2二——，

x-i1-x

又,,・1=一（工-1）,

-3k-3k3k

一\-x-（x-1）x-\，

xAk

・•・原方程化为一一一2二——.

x-\x-}

七、A开x-2（x-l）3k

左边11合并：-----------=----,

x-\x-\

两边同时乘以（工一1）得：2—x=3k,

解得x=2-3Z.

由xwl,得2—3女工1,即女工」.

3

2

又1•解为正数，，工=？—？/:〉。，即2>3Z,k<~.

3

综上，k<—且Aw—.

33

故选：D.

6.如图，C,E是直线/两侧的点，以点。为圆心，CE的长为半径画弧交直线/于A,8两点，再分别以

点A,B为圆心，大于;的长为半径画弧，两弧交于点。，连接C4,CB,CQ,则下列结论不一定正确

的是（）

A.CA=CBB.CO_L直线/

C.点C,。关于直线/对称D.点A,B关于直线CO对称

【答案】C

【解析】

【分析］根据主耍考查了尺规作图一一作已知角的平分线，等腰三角形的性质.根据作法得：CA=CB,

CZ）平分NACB,再根据等腰二角形的性质可得CI）_L直线/.且平分直线/,即可.

【详解】解：根据作法得：CA=CB,CD平分NACB,故A选项正确，不符合题意；

・・・COJ•直线/，且平分直线/,故B选项正确，不符合题意；

・••点A,3关于直线CO对称，故D选项正确，不符合题意；

根据作法无法得到点C,。关于直线/对称，故C选项错误，符合题意；

故选:C

二、填空题（共15分）

7.因式分解：X2-12X=.

【答案】x（x-12）

【解析】

【分析】本题考查了因式分解，直接用提公因式法进行因式分解，即可作答.

【详解】解：一丫2-1"=五（.丫-12）

故答案为：12）.

8.已知（工+4乂1—9）二%2+侬一36,则力的值为.

【答案】-5

【解析】

【分析】等式左边根据多项式的乘法法则计算，合并后对比两功系数即得答案.

【详解】解：:（x+4）（x—9）=尤2—9x+4x—36=r一5x—36,（i+4）（x—9^=+ivx—36,

x2-5x-36=x2+tnx—36，；・〃?=-5.

故答案为：-5.

【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法的运算法则是解题

关键.

9.当犬=时，分式二■士的值为0.

x+2

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式值为0分子为0,分母不为。直接求解即可得到答案：

【详解】解：•・•分式二—^4的值为。，

x+2

x2-4=0»x+2工0,

:.x=2,

故答案为：2.

10.已知工=夜—1，)，=&+1,则代数式元2+),2+冷,的值等于.

【答案】7

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，首先把代数式f+)，+盯整理可得：原式=(x+),)2—马，，

再把工=血-1，)，=&+1代入整理后的代数式进行计算即可♦

【详解】解：V+V+g，

=x2+y2+2xy-xy

=(x+»F，

当上二>J2—1，y—>/2+1时，

原式=(x+y)~~x)^>

=(V2-1+V2+1)2-(V2-1)(72+1)

=(2闾，(南-再

=8-(2-1)

=8-1

=7.

故答案为：7.

11.如图，在三角形纸片中，A3=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点8的直线折叠这个三角形，使点

。落在A8边上的点石处，折痕为8。，则△AEO的周长为一cm.

B

【答案】7

【解析】

【分析】本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键,先根据折叠

的性质可得BE=3C,=CQ,再求出AE的长，然后求出VADE的周长=AC+AE,即可得出答案.

【详解】解：由折叠的性质得：BE=BC=6cm,DE=DC,

AE=AB-BE=AB-BC=S-6=2（cm）f

_\^ARD周长=A。+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=5+2=7（cm）,

故答案为：7.

三、解答题（共87分）

12.计算：（一1）2年+-（7C-1）°+|-2|

【答案】3

【解析】

【分析】此题考查了有理数的乘方，负整数指数幕，零指数幕和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法

则.

首先计算有理数的乘方，负整数指数鼎，零指数辕和绝对值，然后计算加减.

riY1

【详解】解：（-1）2025+--（71-1）°+|-2|

=-1+3-1+2

=3.

13.计算：（2x+l『—（2x+l）（2x—l）.

【答案】4x+2

【解析】

【分析［本题主要考查了完全平方公式和平方差公式.先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类

项，即可求解.

【详解】解：（2工+1）2-（2"+1）（2工一1）

=4x+2

r5

14.解分式方程：--一1二一一.

X-1X~

【答案】x=2

【解析】

【分析】本题主要考查了解分式方程.把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解.

X3

【详解】解:-一一1=--

x-1x2-l

去分母得：X(X+1)-(X2-1)=3,

解得：x=2,

检验：当x=2时，d一I#。,

・•・原方程的解为x=2.

.।2。，ci~—4。+4,

15.先化简，再求值：---1+-------------，其中a=l.

1〃+2,a+2

【答案】—,-1

a-2

【解析】

【分析】本题可先对括号内的式子进行化简，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，最后

将〃的值代入化简后的式子求值.本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解以及分式的

乘除法运算.热练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键.

'2aa~-S+4

【详解】解:

<6/4-24+2

_{2aa+2](a-2)?

\a+2a+2)a+2

_2〃-1/+2)a+2

a+2-*(a*

2a—a—2a+2

---------------x-----------

4+2(6Z—2)~7

a2ai2

--------x------------

a+2(Q-2)~

a-2

I1

当〃=1时，原式=

a-21-2

16.如图（1）、（2）分别是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中部分小正方形涂黑，请你用

两种不同的方法,分别在两个图中再涂黑两个空白的小正方形，使它（涂黑部分）成为轴对称图形.

图⑴图⑵

【答案】作图见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，准确分析作图是解题的关键.

根据轴对称图形的性质先确定一个对称轴，再找出阴影部分的图形的关键点的对称点，画出图形即可.

【详解】解：如图所示，即为所仕图形:

图（I）图（2）

17.完全平方公式（。±））2=/±24力+。2经过适当的变形，可以解决很多数学问题.

例如：若〃+b=3,ah=\,求/十〃的值.

解：a+b=3,ab=1,

.\(a+b)2=9,2ab=2,

:.a2+2ab+b2=9

a2+b2=7

根据上面的解题思路与方法，解次卜.列问题：

（1）若%+），=8,x2+y2=40,则工y的值为:

(2)若加十。=6,ab=4,求(24一〃)2的值；

【答案】(1)

12(2)

4

【解析】

【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值.

(1)将x+)，=8,丁+产=40代入完全平方公式，即可得型的值：

(2)由%+b=6,ab=4,可得4/+力L结合完全平方公武，即可得—的值.

【小问1详解】

解：・.・x+y=8,

・・.任+»=82=64,

/.x2+2xy+y2=64,

2

VX+/=40,

・•・40+2❷，=64,

xy=\2t

故答案为：12.

【小问2详解】

解：•••2。+人=6,

・・・伽+〃)2=62=36,

・•・4/+43〃=36,

**ab=A，

J4Q2+4X4+〃=36

••-4/+〃=20，

(2a-bf=4a2-4ab+b2

=20-4x4

=4

A(2«-Z?)2的值为4.

31_m

18.已知关于％的分式方程:2~3x-\~6x-2

（1）当机=4时，解该分式方程;

（2）若该分式方程无解，求，〃的值.

【答案】（1）x=\

（2）m=-2

【解析】

【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键：

（1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可；

（2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可.

【小问1详解】

314

解：当〃?=4时，--------=-------，

23x-]6.V-2

去分母，得：3（3x-l）-2=4,

解得冗=1；

检验，当x=l时，6x—2工0,

・•・方程的解为x=l；

【小问2详解】

3Im

解：---------=------,

23x-\6x-2

去分母，得：3（3工-1）-2="，

•・•分式方程无解，

・•.分式方程有增根，

6.r—2=0,

1

X=-9

3

把£=；代入3（3工-1）-2=机，得：m=-2；

故）n=-2.

19.如图，在四边形A3CO中，AD//BC,E为C。的中点，连接AE、BE,延长AE交的延长线于点

F.

D

（1）求证：△DAE^ACFE；

（2）若AB=8C+4O,求证：BELAF.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据AD〃BC可知/ADC=NECF,再根据E是CD的中点可求出△ADEg/XFCE；

（2）由（1）知△ADE^^FCE,得到AE=EF,AD=CF,由于AB=BC+AD,等量代换得至ljAB=BC+CF,

即AB=BF,证得△ABE0Z\FBE,即可得到结论.

【详解】证明：（1）'：AD//BC（己知），

・・・NADC=/EC广（两直线平行，内错角相等），

•”是CO的中点（已知），

：.DE=EC（中点的定义）.

•・•在△A力石与△FCE中,

ZADC=ZECF

DE=EC,

ZAED=ZCEF

^ADE^AFCE（ASA）；

（2）由（1）知△人OEg△尸CE,

：.AE=EF,AD=CF,

，：AB=BC+AD,

：.AB=BC+CF.

即AB=BF,

在AABE与AFBE中,

AB=BF

<AE=EF,

BE=BE

:.△ABEgMBE(SSS),

：./AEB=7FER=90°,

：,BEA.AF.

【点睛】主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质.

20.“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中

包括“百日书历”和“二五手环”.若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本

“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元.

（1）请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？

（2）由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5。元，“二五手环”的售价

降低0元.经测算，学校花5400元购进“百口书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少

20C,求出。的值.

【答案】（1）每本“百日书历”的售价为10元，每个“二五手环”的售价为2元；

（2）a=0.2

【解析】

【分析】本题考查了二元•次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键.

（1）设每本“百日书历”的售价为x元，每个“二五手环”的售价为），元，根据“购买3本“百日书历”

和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元”建立二元一次

方程组，求解即可得出答案；

（2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为（2-。）元，再根据“学校花5400元购

进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少20（）”建立分式方程求解即可得出答案.

【小问1详解】

解：设每本“百日书历”的售价为x元，每个“二五手环”的售价为）'元，

3x+4y=38

根据题意，得〈

4_r+3y=46

x=10

解得：

y=2

答：每本“百日书历”的售价为10元，每个“二五手环”的售价为2元;

【小问2详解】

降价后，书历单价为（10-5。）元,手环单价为（2-。）元,

54001440

根据题意，得

\0-5a~2-a~200,

解得：〃=0.2,经检验.〃=0.2是分式方程的解，

答：。的值为0.2.

21.第一步：阅读材料，掌握知识.

要把多项式卬九+々叶〃帆+为2因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出。，把它的后两项分成

组，并提出6,从而得丽+m+Zvn+加=a(/n+〃)+6(m+〃)，这时,由于。(〃?+〃)+/?(加+〃)中又

有公因式(〃?+〃)，于是可提公因式(〃，+〃)，从而得到(加+冷(a+b),因此有

cun+an+bm+加=(+anj+(加2+而)=a+〃)+Z?(/〃+〃)=(〃2+，。(〃+〃)，这种因式分解的方

法叫做分组分解法.

第二步：理解知识，尝试填空.

(1)ab-ac+b1-bc=(ab-ac)+^b2-Z?c)=i7(Z?-c)+/?(Z?-c)=.

第三步：应用知识，解决问题.

(2)因式分解：

①in2+5n-mn-5m=•

®x2-2x+\-y2=.

第四步：提炼思想，拓展应用.

(3)已知三角形的三边长分别是。、b、C,且满足/+2//+02=%(4+°),试判断这个三角形的形状，

并说明理由.

【答案】⑴(a+〃)(b-c)；⑵①("一祖〃2-5)：©(x+y-l)(x-y-l)；(3)这个三角形为等边三

角形，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查因式分解，热练掌握分组分解法是解题的关键：

(1)利用分组分解法进行因式分解即可；

(2)①0利用分组分解法进行因式分解即可.

(3)将等式右边的式子移到等式左边，利用分组分解法进行因式分解后，进行判断即司;

【详解】解：(1)ab-ac+b2-be=[ab-ac)+(b1-bc^=a[b-c^+b(b-c)=(6/+Z?)(Z?-c)；

故答案为：(a+Z?)仅一c)；

（2）Q：nr4-5/?—mn—5m

=(/九2—/%〃)—(5〃z—5/2)

=（AH-n）（m-5）；

故答案为：（加一〃）（〃?一5）

②上2-21+1-丁2

=(x-l)2-y2

=(x+y-l)(x-y-l);

故答案为：(x+y-l/x-y-l)

(3)这个三角形为等边三角形.理由如下:

*/a2+2〃4-c2=+c)

・•・a2+2b2+c2-2ah-2/?c=0

・•・(a2-lab+/?2)+(/?2-2bc+?)=()

A[a-b\+(/?-c)2=0

，〃一〃二0且/?一c=0

・•・〃=。且。=c

：,a=b=c

・•・这个三角形是等边三角形.

22.如图，VA4C是边长为12cm等边三角形，点P,Q分别从顶点A3同时出发，点尸沿射线A3运

动，点。沿折线BC—C4运动，且它们的速度都为lcm/s,当点。到达点A时，点2随之停止运动，连

接PQ,PC,设点尸的运动时间为Ms）.

(1)当点。在线段8c上运动时，〃。的长为(cm),6P的K为(cm)(用含r的式了表

示).

(2)当P。与VABC的一条边垂直时，求/的值.

(3)当点。从点。运动到点A的过程中，连接P2,直接写出P。中点。经过的路径长.

【答案】(1)f；(12-r)；

(2)，=4s或，=8s或r=16s；

(3)6cm.

【解析】

【分析】(1)结合题意''点尸沿射线A3运动，点Q沿折线5C-C4运动，且它们的速度都为1

cm/s”，即可获得答案;

(2)分三种情形讨论：当PQ_L8c时，当时和当尸。_LAC时，分别求解即可；

(3)设