吉林省长春市经开区2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷（含解析）

长春经开区2025-2026学年度第一学期期末质量调研九年级数学试卷

本试卷包括四道大题，共24小题，共6页.全卷满分120分,考试时间为120分钟.

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.计算（2立尸所得的结果是（）

A.2B.4C.6D.8

2.袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋

子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.至少有一个黑球B.至少有一个白球C.至少有两个黑球D.至少有两个白球

3.一元二次方程d=9的解为（）

A.X]=x2=3B.玉=-3,x2=3

C.百=/=^3D.X1=-x/5,&=△

4.在比例尺为1:40000的地图上，量得两地的距离是15cm,则两地间的实际距离是（）

A.60000mB.6000mC.6(X)niD.60()km

5.如图，VABC中，/C=90。，ZABC=30°,点。在CB延长线上,且=连接AO,则tan/DAC的

值为（）

A.1+6B.2+6C.3D.

二、多项选择题（每小题3分，共9分）

6.下列式子中，不是最简二次根式的有（）

1

A.73B.C.7300D.

7.我们规定：若一个三角形中的某一个内角是另一个内角的2倍,那么我们把这个三角形叫作“7-三角形下列

各组数据中，能作为一个“7-三角形”三边长的一组有（）

A.1,2,3B.1,1,75C.1,2,GD.1,2,旧

8.如图，在V/WC中，AB=AC,4=90。，正方形MNPQ的顶点M、N均在边8C上，顶点P、。分别在边人C、

AB上，VA8C的面积为18.则下列语句中，正确的有（）

三、填空题（每小题3分，共18分）

9.请任意写出一个能使病而有意义的阳值：.

10.从1到9的连续自然数中任取一个，是偶数的概率是—.

II.已知一元二次方程f-6x+c=0有一个根为2,则另一个根为.

12.cos60。的值等于.

13.如图，在平行四边形/WC。中，点E、尸分别为边AD和对角线入C上的点，EF//AB.若。月=!次，EF=5,

4

则AB的长为.

4

14.如图，在平面直角坐标系中，点P（/〃,6）在第二象限内.若。尸与x轴负半轴的夹角。的正切值为则/”的值

为.

四、解答题（本大题10小题，共78分）

15.已知甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，榕榕分别从甲、乙两袋

中各抽出一张号码牌.每张号码牌被抽出的机会相等，请借助列表或树状图，求她抽出两张号码牌上数字乘积为3

的倍数的概率.

16.解一元二次方程：x2-3入+5=0.

17.判断而x廊的值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程.

18.如图，矩形A8c。中，点上化边AC上，连接AF工DE于点、F,AI3=24,A0=15,BE=8.

(1)求证：4AFD也DCE.

(2)求A"的长.

19.一家小超市1月份的利润是50000元，3月份的利润达到60500元，求这两个月的利润平均月增长的百分率.

20.有长度分别为3、5、6、9的四条线段，不采用树状图与列表的方法，求任取其中三条线段能构成三角形的概

率，并加以说明.

21.如图，小李在森林公园瞭望塔的点A处，测算塔下方的一棵树的高度.观测到点A处到地面的距离44为20米，

树顶C处的俯角为44。，塔底8到这棵树的距离为12米.求这棵树的高度.(结果精确到0.1米)(参考数据：

sin440=0.69,cos44°=0.72,Um44c=0.97)

22.如图，正方形ABC。的边长为6,点E在CD边上，连接AE,/D4E=30。，点例为AE的中点，线段PQ过

点M交AD、BC于点、P、Q,PQA.AE,求PM、"Q的长.

23.【问题探究】如图①，VA8C中，点。、E分别为边8C、A8的中点，若ND4C=40°,ND48=70。，AD=3,

求AC的长.

【方法拓展】如图②，V/WC中，点D为BC边上的一点，—=1,若ND4C=120。，ZD/AB=30°,AO=3,求

AC的长.

图①图②

24.我们规定；若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上(不与端点重介)，且这条线段截得的小三角形与原

三角形相似，相似比为则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线

⑴等边三角形的“半似位线''的条数为条.

(2)一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是.

(3)若一个三角形的三边长之比为1:2:石，则这个三角形的“半似位线”的条数为条.

(4)如图，在VA3C中，?B90?,43=40,AC=30.点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度，沿A8向终

点〃运动；在点尸出发的同时，点。从点A出发，以每秒。个单位长度的速度，沿折线AC-C8向终点A运动.设

运动时间为/秒.

①用含r的代数式表示PB的长为.

②当P0为VA8C的“半似位线”时，直接写出〃的值.

参考答案

I.D

解：(2s/2)2=22x(x/2)2=4x2=8.

故选：D.

2.A

A、是必然事件，故本选项符合题意；

B、是随机事件，故本选项不符合题意;

C、是随机事件，故本选项不符合题意;

D、是随机事件，故本选项不符合题意,

故选：A.

3.B

解：%2=9,

x=±3,

耳=3,X2=-3.

故选：B.

4.B

解：设两地间的实际距离是xcm,

/.15:x=l:40000,

/.x=600000,

J6(XXXX)cm=6(XX)m,

，两地间的实际距离为6000m,

故选：B.

5.A

解：在，A8C中，ZC=90°,ZABC=30°,

，AB=2AC,

设AC=x,P'lJAB=2x,BC=y)AB2-AC2=y/3x，

2

/.BD=x,则C£>=6C+6D=石x+.i=(\/5+l)x,

・DC(G+l)xi-

••(anZD>4C=—=--------^-=V3+1，

ACx

故选：A.

6.BCD

解：A.G为最简二次根式；

B.£被开方数;含分母，故不是最简二次根式；

C.国可简化为loG，故不是最简二次根式；

D.)大分母中含有根号,故不是最简二次根式；

yJOO

故选：BCD.

7.BC

解：A、1+2=3,不能构成三角形，不符合题意；

B、『+12=(夜丫，该三角形为等腰直角三角形，三个角分别是90。,45。,45。的直角三角形，其中，90。+45。=2,符

合“T-三角形”的定义，符合题意；

C.12+(V3)2=22,该三角形为直角三角形，最小的角的正弦为:，则最小的角为30。，

则三个角分别是30,60,90,其中60。+30。=2,符合三角形”的定义，符合题意.

D.12+22=(X/5)\是直角三角形，但是不满足某一个内角是另一人内角的2倍，不符合题意；

故选：BC.

8.ABD

解:VAB=AC,Z4=90°,

.-.ZB=/C=45°,

正方形MNPQ,

：.QPMN,QMIBCtPN工BC,

BM。和△PNC是等腰直角三角形，

：.QP=MN=QM=BM=PN=NC,

:.BC=RM+MN+NC=3PN,故B选项符合题意；

,:QPMN,

:0(收心.(2,

■,ABBC针

AB=3AQ,

ABQ=2AQt故A选项符合题意；

又QP//MN,

.•.ZAQP=N4=45。，ZAPQ=NC=450,

•工AQP和AMQB是等腰直角三角形，QP=QM=&AQ,

:一AQPs-MQB,

.AQAQAQy/2

"QM=~QP=y/2AQ=^2,

二."J也［一,，

SMQtI2J2

・•・SHQM=2SAPQ,故C选项不符合题意;

••UqHQM~—？qAPQ.则SPNC=SHQM=2S

S正方形心陀=2sBMQ=4s八Qp,

=

SABCSAQP+SBQM+SpNC+S正方形MVpQ=18,

即/S,1Vpe+2sNPC+25NPC=18,

解得Syy=4,故D选项符合题意.

9.2（答案不唯一）

解：要使不有意义，需满足3-〃?NO,

解得〃”3.

因此,任意取〃?《3的一个值即可，例如〃?=2.

故答案为：2（答案不唯一）.

10.-

9

解：从I到9的自然数中，偶数包括2,4,6,8,共4个，总数为9个,

因此任取一个数是偶数的概率为］4.

4

故答案为：

11.4

解；设方程的另一个根为，〃，

由根与系数的关系可得〃?+2=6,

m=4,

・•・方程的另一个根为4,

故答案为:4.

12.-##0.5

2

解：根据特殊角的三角函数值可知，

cos60。的值为

故答案为g.

13.—

4

解：-：DE=^-EAt

4

JAD=AE+DE=-AE

4f

.AD5

••瓦一K'

•••四边形A8CQ是平行四边形，

：.CDAB,

•/EF//AB^

EFCD,

/.ADCs.AEF,

.DCAD_5

••百一至一“

EF=5,

.DC_5

••---=—，

54

・•・DC=­

4t

•・•四边形ABC。是平行四边形，

25

/.AB=CD=—.

4

25

故答案为：v-

4

14.

解：过点P作小_Lx轴,

.,.-4/77=3x6,

/.-4m=18,

故答案为：.

解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下,

共有9种等可能结果，其中乘积为3的倍数有5种：(1,6)、(2,6)、(3,6)、(3,7)、(3,8),

・••抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率为.

16.无实数根

解：在一元二次方程V-3x+5=0中，。=1,〃=-3,。=5,

/.A=(-3)2-4xlx5=-ll<0,

・••方程无实数根.

17.在24和25之间,见解析

解：715x740=7600,

24?=576,252=625,

24<>/600<25,

/.24<V15X740<25.

18.(1)见解析

72

(2)AF=—

J

(1)记明：•・•四边形48CD是矩形，

・•・ZADC=ZC=90°,

，ZADF+NCDE=4CDE+NCED=90°,

JZADF=NDEC,

♦：AFA.DE,

・•・ZAFD=ZC=90°,

，AFD^>DCEx

(2)解：根据题意，AQ=4C=15M8=。。=24,

；・CE=BC—BE=15-8=7,

・••DE=>]CD2+CE2=>/242+72=25，

:，AFD^DCE,

.AFADAF15

..----=-----,UHJn-----=—,

CDDE2425

72

解得，AF=].

19.10%

解：设这两个月的利润平均月增长的百分率是x,

根据题意得：50000(l+x)2=60500,

解得：玉=0.1=10%“2=-2.1(不合题意，舍去).

答：这两个月的利润平均月增长的百分率是10%.

20.1

解：从长度分别为3,5,6,9的四条线段中任取三条，共有(3,5,6)、(3,5,9)、(3,6,9)、(5,6,

9)四种等可能结果，

其中能组成三角形的有(3,5,6)、(5,6,9)两种等可能结果，

所以能组成三角形的概率;二5

21.8.4米

如图，作于E,则四边形初。。为矩形,

Bn

在Rt.AEC中，tanNACE=——，

EC

则AE=£C・【anZACE=12x0.97=11.64,

CD=8E=A5-AE=8.36a8.4米，

答：这棵树的高度约为8.4米.

22.PM=2,MQ=4G-2

解：在正方形ABCO中，ZD=90",ZDAE=30°,AD=AB=BC=CD=6,

JAE=2DE,

VAD2+DE2=AE2^

I.62+DE2=（2DE）2,

ADE=2x/3（负值舍去），4E=4x/3,

•・•点M为AE的中点,

••・AM-EM=LAE=2J5,

2

PQLAE,

/.ZAA/P=90°,且NP4M=30。，

，AP=2PM

Pi^+AM^AP2

JPM2+AM2=（2P/W）2,

AM=6PM=25/3,

:,PM=2,AP=2PM=4,

：,DP=AD-AP=6-4=2,则/»=MQ=2,

如图所示，连接P£AQ,EQ,

Q

B

，ZD=NPME=90°,PE=PE、PD=PM,

RtPDE^RtPME(HL),

，DE=ME=26,

/.CE=CD-DE=()-2>/3，

•・•点M为AE的中点，PQ±AEt

，尸。是线段AE的垂直平分线，则AQ=£Q,

设。0=x,则4。=AC-CQ=6—x,

在RJABQ中，AQ2=AB2+Z?(22=62+(6-A)2,

在RhCEQ中，EQ2=CE2+CQ2=(6-+x2,

VAQ2=EQ\

・•・62+(6-X)2=(6-2^)2+X2,

解得，X=2Q+2,

JAQ2=62+(6-2>/3-2)2=64-16x/3,

在心一AMQ中,

MQ=^AQ2-AM

=164-16百-12

V52-16V3

=^(4^3)2-2X2X4X/3+22

=J(4后-2)

=4>/3-2；

/.PM=2,MQ=4石-2.

23.问题探究：4C=6；方法拓展：AC=9

解：问题探究。、£分别为边3C、45的中点

:.DE//AC,DE=-AC

:.ZDAC=ZADE=40°

NDAB=70。

ZAED=1SO°-ADAB-ZADE=70°

:.^DAE=ZAED=1Q°

AD=DE=3(cm)

AC=2DE=6(cm)

方法拓展：如图，过A作BE〃AC,交A。延长线于E,

A

vBE//AC,

oC

/.ZE=ZZ^C=120°,

-ZDAB=30°,

/.ZABE=30°,

AE=BE，

-BE//AC,

BEMCAD,

•BD-DE=BE=—1

C5-7D-7C-2

：.AC=2BE,AD=2DE

AD=3(cm),

3

/.DE=—(cm),

2

39

/.BE=AE=—+3=—(cm),

22

/.AC=9(cm).

24.(1)3条

⑵1：3

(3)4条

(4)①40-57；②丁或4或丁或12

44

(1)解：如图，在等边VA3C中，取各边中点力，E,F,连接OE,EF,DF.

•・•点、D，尸分别是A5,AC的中点，

ADF；/BC,DF=-BC,

2

DF1

A^ADF^>^ABC,相似比为芸=：,

・•・。尸是等边VABC三角形的“半似位线”.

同理可得OE,砂是等边V48c三角形的“半似位线”.

・••等功三角形的“半似位线''的条数为3条.

故答案为：3.

(2)解：如图，。£是VA3C的“半似位线”，

：­/\ADE^/\ABC,且相似比为

.・•工邛L

SABC4

.S-=1

・・qq,

。四边形8CE。J

・•・一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是1:3.

故答案为：1:3.

(3)解：:一个三角形的三边长之比为1：2:石，

，如图，不妨设=BC=2k,AC=45k(k>0)

A

取各边的中点DE,F,连接OE,EF,DF,

/.DF//AC,DF=-AC,

2

r)pI

:.△BDFS^BAC、且相似比为

AC2

/.DF是\ABC的“半似位线”，

同理可得，DE,Er是V/WC的“半似位线”.

如图，若G”是V4BC的“半似位线”，且HBGsABC,

BHBG1

则(II——=—=-

ABBC2

ABH=-AB=-k,BG=LBC=Lx2k=k,

2222

此时8G=4?,点G与点A重合，

不符合“半似位线”的定义，即GH不是V48c的“半似位线”.

如图，若MN是VA8C的“半似位线”，且△AMNs^ABC,

AMAN\

贝rllllj——=—=-

ABAC2

/.AN=-AC=-x>j5k=—k,

222

止匕时点N不在边A4上，

不符合“半似位线”的定义，即MN不是VABC的“半似位线”.

如图，若尸Q是VA8C的“半似位线”，且工QPCS-A/C,

则工史,

BCAC2

QC=-AC=-xy/5k=—k,

符合“半似位线”的定义，即PQ是VA6C的“半似位线”.

综上所述，这个三角形的“半似位线''的条数为4条.

故答案为:4.

(4)解：①当运动/秒时，AP=5t,

/.Pi3=AI3-AP=4O-5t.

故答案为：40-5/.

②;在RtZXABC中，AA=40,6