角平分线的性质（第一课时）同步分层练习-2025-2026学年湘教版八年级数学上册

湘教版数学八年级上册5.4角平分线的性质第一课时同步分层练习

一、夯实基础

1.如图，在RtZiABC中，ZC=90°,AD是角平分线，若AB=10,CD=3,则△ABD的面

积是（）

2.如图，0P平分乙MON,P410N于点4点Q是射线0M上一个动点，若24=3,则PQ的最小值

为（）

A.V3B.2C.3D.2^3

3.如图，在四边形ABCD中，AD/7BC,ZC=90°,AB=AD=3,CD=2,则点D到边AB的距离

A.3B.2C.5D.Z

4.如图，△ABC中，4。=90。,4。平分乙84。,48=7.5,。0=4,则△ABD的面积是

5.如图，在纸上画有〃。氏将两把自尺按图示摆放，自.尺边缘的交点P在44。8的平分线上，则

()

A.di与d2一定相等B.由与d2一定不相等

c./i与，2一定相等D.A与％一定小相等

6.如图，点G在48的延长线上，乙GBC,MAC的平分线相交于点F,连接CF.若乙A98=40。，则

4BCF的度数为()

A.40°B.50°C.55°D.60°

7.如图，点P是平分线OC上一点，PEJ.04,PF1OB,垂足分别是E和F,若PE=6,则

PF=.

8.如图，在△4BC中，4c=90。，4。是4C48的平分线，DE148于E,且DE=3cm,BD=

Scm,则BC=.cm.

9.如图，△ABC中，BO是△88c的角平分线，DE工BC于点E,AB=5,DE=2,则的面积

是

力。平分BE是高线.ZLP.AC=i°.AERC=20°,求N./1OC的度

数.

二、能力提升

11.如图，80为匕48c的角平分线，OE1BC于点E,48=5,DE2,则△力80的面积是（）

A.5B.7C.7.5D.10

12.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作ODJ_BC,垂足为D,且OD=

4.若△ABC的面积是34,则△ABC的周长为（）

13.如图，OP平分N/OB,PCJL。A于点C,点D在。B上，若PC=3,OD=6,则△POO的面积为

A.6B.9C.12D.18

14.如图，己知NBAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,LOE和/包4C,垂足分别为

E、F,AB=I1,AC=5,则BE的长()

15.如图，在△八BC中，ZC=90°,ZB=30°,若BC=6,AD平分NCAB,则D到AB的距离为

()

A.2B.2.5C.3D.3.5

16.如图，在AABC中,AQ=PQ,PR=PS,PR148于R,PS1AC^S,则下列三个结论:

@AS=AR^@QP||AR；③ABPR三△QSP,其中正确的结论是（）

A.①②③B.①②C.②③D.①③

17.如图，BO、C。分别平分乙"C,4AC8,且00，8C于点0,△48C的周长为24cm,0D=

3cm,则△力8c的面积为.

18.如图，在RtZkABC中，乙4=90。，点D在边力B上，DE1BC,垂足为点E,AD=DE,4B=

32°,则4BCD的度数为.

19.如图，四边形ABCD中，CD=CB,AC平分/DAB,CF_LAB于点F,CE_LAD的延长线于点

E.

(2)若AD=2,AB=4,求AF的长.

20.如图，在△48C中，40是它的角平分线，AB=9,AC=6,BC=10.

BDC

（1）求△480与△409的面积之比;

（2）求CO的长.

三、拓展创新

21.如图，AB||CD,8P和PC分别平分乙ABC和乙。C8,两线相交于点P,过P点的直线EF分别与射

线B4射线CO相交于点E,F.

【问题引入】（1）若EF1AB,求证：PE=PF.

【探索研究】（2）若将（1）中“EF去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

【拓展应用】（3）若BC=7+m,CF=5+m,求BE的长.

22.综合与实践：

问题情境：已知0M是々40B的平分线，P是射线0M上的一点，点C,D分别在射线。408上，连

接PC,PD.

(1)初步探究:如图I,当PC_L04,P010B时，PC与PD的数量关系是

(2)深入探究:如图2,点C,D分别在射线。4,08上运动，且N40B=90。，当/CPO=90。

时，PC与尸0在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由;

(3)拓展应用：如图3,如果点C在射线。力上运动，且乙4。8=90。，当乙CPO=90。时，点D

落在了射线。8的反向延长线上，若点P到。8的距离为3,。0=1,求。C的长(直接写出答案).

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：过点。作。E_LA8于E,如图所示:

vLC=90°,是角平分线，

:.DE=DC=3,

•••△ABD的面积是：力8•DE=；X10x3=15,

故答案为：B.

【分析】过点。作。E14B十E,根据角平分线性质得到OE=OC=3,利用三角形面积公式解答即

可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解:如图,

过点P作P81OM于B,

,：OP平分乙MON,PA1ON,PA=3,

；,PB=PA=3,

・・.PQ的最小值为3.

故选：C.

【分析】

根据角平分线的性质和垂线段最短的性质.角平分线上的点到角两边的距离相等，所以过点P作

PB_LOM于B,则PB=PA=3,又因为垂线段最短，所以PQ的最小值就是PB的长度，即3.

3.【答案】B

【解•析】【解答】解：・・・AD〃BC,

/.ZADB=ZDBC,

VAB=AD,

AZABD=ZADB,

AZABD=ZDBC,

ZC=90°,

・••点D到边AB的距离=DC=2.

故答案为：B.

【分析】首先根据平行线的性质，得出NADB=NDBC,再根据等腰三角形的性质得出

ZABD=ZADB,进而得出NABD=NDBC,再根据角平分线的性质定理可得出点D到边AB的距

离=DC=2.

4.【答案】15

【解析】【解答】解：过点D作DE_LAB十点E,如图，

•・・.4。平分484(;，乙。=90°,.\ED=CD=4,

•，・SAABD=乙乙-DE=x7.5x4=15:

故答案为：15.

【分析】过点D作DE_LAB于点E,如图，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出

DE=CDM,然后根据三角形面积公式列式计算可得答案.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：如图所示，过点P分别作。4。8的垂线，垂足分别为E、F

dcm

丁点P在乙408的平分线上，

APE=PF,

由平行线间间距相等可知d〔=P8,d2=PE，

.'•di=dz，

由于21和，2的长度未知，故二者不一定相等，

故选：A,

【分析】过点P分别作0408的垂线，垂足分别为E、F,根据角平分线性质可得PE=PF,再根据

平行线性质即可求出答案.

6.【答案】B

【辞析】【解答】解：作FZ_LAE于Z,尸丫_1。8于丫，/I〃_L48于W,如图所示：

BWG

・・・.4F平分4B4C,FZ14E,FW1AB,

：,FZ=FW,

同理F丫=FW,

：.FY=FZ,FZLAE,FY1CB,

・"产平分NZ”,

：.LFCZ=乙FCY,

•；UFB=40°,

:•乙FBG—乙FAB=40°,

又〈乙GBC,484c的平分线相交于点F,

：,2z.FBG-2Z.FAB=80°,

：.LCBG-Z-CAB=80°,

：.LACB=80°,

：,LZCY=100°,

：.LBCF=50°.

故答案为：B.

【分析】本题先根据角平分线的性质得到FZ=FY,继而根据角平分线的判定定理得到，FCZ=

4FCY,然后进行角度计算，即可得答案。

7.【答案】6

【解析】【解答】解：・・・OC平分4108,且PEJLO4PF上OB，

：・PF=PE=6,

故答案为：6.

【分析】根据角平分线性质即可求出答案.

8.【答案】8

【解析】【解答】解：：“。是4乙4B的平分线，ZC=90°,DELAB,DE=3cm,

/.CD=DE=3cm,

;BO=5cm,

:,BC=BD+CD=5cm+3cm=8cm,

故答案为：8.

【分析】本题根据角平分线的性质可得CD=DE=3cm,根据BC=BD+CD代入即可求出庆?长.

9.【答案】5

A

【解析】【解答】解:

过点。作0F_L4B于点F,

•••80是△48c的角平分线，DELBC,

DF=0E,

AB=5,DE=2,

.•・DF=DE=2,

•••△ABD的面积=鼻8-DF=1x5x2=5>

故答案为：S.

【分析】过点。作。F_L48于点F,根据8。是△4BC的角平分线，DELBC,得。尸=DE,根据△

4£。的面积=鼻8-DF求解即可.

乙

10.【答案】解：・・・40平分Z84C,8E是高线，且乙1MC=5O。

LBAD=LCAD=^BAC=25°

*：LBEA=90°

：.LABE=180°-乙BAC-乙BEA=40°

：,LADC=乙ABE+乙EBC4-/.BAD=85°

・••乙40C的度数为85。

【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质.解题的关键

在于明确角度之间的数量关系，根据己知条件利用三角形内角和求出相关处的度数，再利用三角形

外角性质定理求出NADC.

11.【答案】A

【解析】【解答】解：过点D作DF_LAB,垂足为F,如图：

•••BO为NA8C的角平分线，DELBC于点E,

：-DF=DE=2,

，△48。的面积DF=1X5X2=5:

故答案为：Ao

【分析】本题做出辅助线后，由角平分线的性质得DF=DE=2,然后以AB为底、DF为高即可列

式求出△的面积.

12.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•点O为△ABC的两条角平分线的交点，

・••点O到^ABC各边的距离相等，

而OD_LBC,OD=4,

・••点O到^ABC各边的距离为4,

VSAABC=SAAOB+SABOC+SAAOC>

.*.lxABx4+ixACx4+ixBCx4=34,

/.AB+AC+BC=17,

即AABC的周长为17.

故答案为：C.

【分析】利用角平分线的性质得到点0到4ABC各边的距离为4,利用三角形面积公式及^ABC的

面积可求出△ABC的周长.

13.【答案】B

【解析】【解答】解：过点P作PE10B于E,如图所示，

TOP平分乙A08,PC1OA,PE1OB,

:・PE=PC=3,

11

••SAPOD—jODP£=^x6x3=9»

故答案为：B.

【分析】过点P作PE_L08于E,先根据角平分线的性质得到PE=PC=3,再利用三角形的面积公式

求解即可.

14.【答案】C

【解析］【解答】解：如图，连接CD,BD,

TAD是/BAC的平分线，DE_LAB,DF1AC,

ADF=DE,ZF=ZDEB=90°,ZADF=ZADE,

AAE=AF,

•・・DG是BC的垂直平分线，

ACD=BD,

在RsCDF和RiARDF,中.

(CD=BD

^DF=DE'

RtACDF丝RtABDE(HL),

ABE=CF,

.•・AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,

VAB=1I,AC=5,

•••8E=，(ll-5)=3,

故答案为：c.

【分析】连接CD,BD,根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD,DF=DE,

继而可得AF=AE,证得Rt△CDF三R£△8。瓦则可得BE=CF,继而求得答案.

15.【答案】A

【解析】【解答】解：过D点作0Em45于E,

VAD平分Z.CAB.DE1AB/C=90°,

•••DC=DE,

•••Z-B=30","=90',

BC=何IC=6,/.CAD=-^LBAC=30°

乙

AC=2^3,

•••CD=2,

DE=2,

即D到AB的距离为2.

故选:A.

【分析】作DEJ_AB于E,根据角平分线的性质得到DC=DE,根据直角三角形的性质求出DE,得

到答案.

16.【答案】B

【解析】【解答】解：PR=PS,PR工AB,PS1AC,

•••AP平分48AC,

:.LRAP=/.SAP,

在A4RP与△ASP中,

ZRAP=/SAP

乙ARP=4力SP,

PR=PS

ARP三ZMSP(44S),

•••AS=AR,

・•・结论正确，

②•：AQ=PQ,

•••Z-QAP=Z.QPA,

vZ-QAP=乙RAP,

•••LRAP=Z.QPA,

•••QPIIAR,

，结论正确，

③在△BPR与AQSP中，只有条件PR=PS,乙PSQ=々PRB不能判断三角形全等；

综上可得，正确的结论是①②，

故答案为：B.

【分析】①由题意，用角角边可得△//?尸三△4SP,然后由全等三角形的对应边相等可求解；

②由等边对等角和等量代换可得NR4P=4QPA,然后根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”

可求解：

③由题意，用一边一角对应相等不能判断两个三角形全等.

17.【答案】36cm2

【解析】【解答】解：连接04作。于点E,作。FJL4C于点F,

•・・。8,0。分别平分448。和乙；4。8,0D1BC,

：.0E=OF=0D=3（cm）,

•・h4BC的周长是24cm,OD1BC于D,且。。=3cm,

•,SQABC=2xA8x0E+xBCx0D+②xACxOF=x（48+BC+AC）x3=之x24x3=

36（cm2）,

故答案为：36cm2.

【分析】连接。4,作0E14B于点巴作。Fl4c于点心根据角平分线上的点到角的两边的距离相

等可得点。到AB,4GBe的距离都相等（即。£=。0=。9），从而可得到△ABC的面积等于周长的一

半乘以3,代入求出即可.

18.【答案】29°

【解析】【解答】解：・・"4=90°,乙B=32°,

.•・乙力。8=90°—32°=58°；

:乙4=90。，DE1BC.AD=DE,

・"0平分〃CB,

，乙BCD=^ACB=29°;

故答案为：29。.

［分析］

先由角平分线的判定定理可得CD平分乙4C8,再由直角三角形两锐角互余可得乙4c8,再利用角平

分线的概念即可.

19.【答案】（1）证明：・.・AC平分NDAB,CF±AB,CE1AD,

ACE=CF

在RtACDE和RtACBF中，｛黑;黑

.%Rt△CDE三Rt△CBF(HL)

AZADC=ZCBF

VZCBF+ZB=180°

AZADC+ZB=180o

(2)解：在RSAEC和RSAFC中，｛：：："

ARtAAEC^RtAAFC(HL)

AAF=AE=AD+DE=2+DE

VRtACDE^RtACBF

ADE=BF

AAF=AB-BF=4-DE

A2AF=6

AAF=3

【解析】【分析】(1)根据角平分线性质可得CE二CF,根据全等三角形判定定理可得内△CDE=

CBF,则NADONCBF,再根据角之间的关系即可求出答案.

(2)根据全等三角形判定定理可得RSAECgRJAFC(HL),则AF=AE=AD+DE=2+DE,再根据

全等三角形性质可得DE=BF,再根据边之间的关系即可求出答案.

20.【答案】(1)解：如图，过点。作。ElAB于点E,作。F1AC于点F,

•・,在△48C中，/D是它的角平分线,

:.DE=DF,

*：AB=9,AC=6,

1Q9

'S&ABD-*AB・DE="DE=WDF,S^ACD~.DF-3DF,

S&ABD_却)_3,

S"CD3DF2

・•・AABD与44CD的面积之比为3:2.

(2)解：如图，过点。作DEJ.48于点E,作OF14C于点凡过点4作AG1BC于点G,

由（1）已得：S^BD=^DF,S^ACD=3DF,

：・S&ABC-S“BD+S^ACD—竽D凡

,:BC=10,AG1BC,

,»SAABC=28c•4G—524G>

・・・学0/=54G,

.DF_2

••而

又TSXACD=^CDAG=3DF，

【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式.

(1)过点。作0E148,作。9JL力C,利用角平分线的性质(角平分线上的点到角两边的距离相等)

可得OE=DF,再根据三角形的面积公式可得S-BD=^OF，S„ACD=3DF,因此求得面积比为3：2；

(2)过点。作OfJ.71B,作。FJ./C,过点/作/G_L8C,先根据等面积法将△的面积表示为

竽OF或5AG,建立量关系可得器寺，再根据SMB=%D・AG=30/，代入第=|，解得CO=

(1)解：如图，过点。作OE_LAB于点E,作OF14c于点兄

：.DE=DF,

V.4F=9,AC=6,

1QQ1

•・SMBD=•DE=^DE=^DF,S^ACD=^AC-DF=3DF,

.\S^ABD_炎尸_3

s^-3DF-T

△480与44co的面积之比为3:2.

(2)解：如图，过点。作。E_LA8于点E,作OF_LAC于点凡过点4作47_L8C于点G,

由（1）已得：S^ABD=|。凡SMCC=30F,

•・,SAABC=SAABD+^^ACD=竽。凡

•:BC=10,AG1BC,

^BC-AG=5AG,

，方。尸=5AG,

.DF_2

••荷=孑

又•••SMCD=3COAG=3OF,

6DF「2A

-'-CD=6X4

~AG=3=-

2L【答案】证明：(1)作PM_LBC于M,如图.

V.45||CD,EF1AB,

：.EF1CD,

*：BP^PC^\^^Z.ABC^\Z.DCB,PM上BC,

：-PE=PM,PM=PF,

：.PE=PF.

(2)成立，

方法一：过点P作GH_L4B于G,交CO于H,如图.

则PGJLAB,

V.4F||CD,

则P”1CD,

由(1)得：PG=PH,

在APGE和尸中，

«PGE=乙PHF

PG=PH,

Z.GPE=乙HPF

A△PGE三△PH尸(ASA),

：.PE=PF.

方法二：延长BP交CO于点M,

：.LABC+乙BCD=180°,乙EBP=乙FMP,

〈BP平分乙48C,

:,乙EBP=4CBP乙ABC,

同理，乙BCP一;乙BCD,

工(CBP+乙BCP=^(^ABC+乙BCD)=90。，

:•乙BPC=180°-QCBP+乙BCP)=90°,

・••乙CPM=180°-(BPC=90°=(BPC,

•・PP平分功C8,

J.LBCP=々MCP,

・••乙CBP=乙CMP,

：.BC=MC,

：.BP=MP,

在ABEP^^MFP中,

Z.BPE=乙FPM

BP=PM,

乙EBP=乙FMP

△BPE=△MPF(ASA),

：.PE=PF.

(3)•:ABPE"MPF,

:.PE=PF,

：.BC=CM=CF+FM=CF+BE,

BC=7+m>CF=5+m,

1.7+m=5+m+BE,

：.BE=2.

【解析】【分析】(1)作PM1BC于M,由IB||CD,EF1AB可得EF1CD,由角平分线的性质定理

可求解；

(2)方法一：过点P作GH_L4B于G,交CD于H,则PG14B,PH1CD,由(1)得：PG=P”,

结合己知，用角边角可证^PGE三△PHF,由全等三角形的对应边相等可得PE=PF；

方法二：延长交C0于点M,由平行线的性质得出乙48C+NBCO=180。，乙EBP=£FMP,由角平

分线的定义可得乙CPM=180°-乙BPC=90°=乙8PC,再根据等腰三角形三线合一可得BP=MP,

用角边角可证4BPE三ZiMPF,由全等三角形的对应边相等可；

(3)由方法二(2)△BPE三4MP/7可得出PE=PF,再根据线段的和差8c=CM=CF+FM=CF+

BE即可求解.

22.【答案】(1)POPD

(2)解：还成立，理由如下：过点P作PEL04,PF1OB,垂足分别为E,F,

•「OM平分4A08,乙PEC=乙PFD=90°,

：-PE=PF

*：LAOB=90°,

：.LEPF=360°-乙DEO一^AOB-乙DFO=90°,

■:乙CPD=90°

：.LCPD-乙EPD=乙EPF-乙EPD,

^LCPE=乙DPF,

在△CPE■不口△OP尸中，

Z.CPE=4DPF

PE=PF,

【£PEC=乙PFD

：.^CPE=^DPF(ASA),

：.PC=PD；

(3)OC的长为7

【解析】【解答】解：(1)〈OM是乙力。8的平分线，PC1OA,PD1OB,

：.PC=PD,

故答案为：PC=PD；

(3)过点P作PE_LO4PF1OB,垂足分别为E,F,