角平分线的性质二 （学案）-2025湘科版八年级数学上册

第5章直角三角形

5.4角平分线的性质（2）

►学习目标与重难点

学习目标：

1.理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关

键要素，运用定理解决”判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。

2.通过分析例题中的条件关联，提升从复杂图形中提炼核心关系的逻辑推理能力。

3.体会几何定理在简化证明、解决实际位置问题中的价值，增强用数学知识解决几何问题的意识。

学习重点：

角平分线性质定理与逆定理的实际应用，能利用“距离相等”与“角平分线”的互逆关系解决问题。

学习难点：

从综合条件（如面枳相等、中点、垂直）中提炼出“点到角两边的距离关系”，港确区分性质定理与

逆定理的适用场景。

►学习过程

一、复习回顾

【回顾】角平分线的性质定理和它的逆定理是什么？

二、探究新知

探究：角平分线的性质及逆定理的应用

教材第179页

【说一说】如图，在aABC中，D,E,F分别是BC,AB,AC边上的点.若BE=CF,S△BDE=SACDF，

则点D在NBAC的平分线上吗？

B

DC

【思考】如图，已知EF_LCD于点E,EF_LAB于点F,MN_LAC于点N,M是EF的中点.需要添加

•个什么条件，就可使CM,AM分别为/ACD和NCAB的平分线呢？

三、例题精讲

例2如图，在aABC的外角NCAD的平分线上任取一点P,作PE_LDB,PF1AC,垂足分别为点E,

F.试探索BE+PF与PB的大小关系.

【做一做】任意作一个△ABC,在AABC内部找一点P,使其到三边的距离相等.

四、课堂练习

【知识技能类作业】

必做题

1.三角形中到三条边距离相等的点是（）

A.三条边的垂直平分线的交点B.三条中线的交点

C.三条高的交点D.三条角平分线的交点

2.乙4。8的平分线上一点P到0A的距离为5,Q是射线。8上任一点，则（）

A.PQ>5B.PQ>5C.PQ<5D.PQ<5

3.如图1,这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其

侧面结构示意图.现量得托板长48=10cm,支撑板顶端的C恰好是托板4B的中点，托板48可绕

点C转动，支撑板CD可绕点D转动.当CD1AB,且射线DB恰好是NCDE的平分线时，此时点B

到直线DE的距离是（）

A

B

4-----------E

图I图2

A.3cmB.5cmC.6cmD.10cm

选做题

4.如图，一个加油站恰好位于两条公路m,九所夹角的平分线上，若加油站到公路？n的距离是80m,

则它到公路n的距离是m.

5.如图，在△ABGf,8。平分乙力8C,ADLBD,△8C0的面积为45,△力DC的面积为20,则4

48。的面积等工

6.如图，OC是4力。8内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD1OA,PE1OB.下列条件：

①乙4。。=乙8。。；@PD=PE；③0。=0邑⑥乙DPO=CEPO,其中能判定OC是4/OB的平分

线的有.（填序号）

【综合拓展类作业】

7.如图，在ANBC中，4D是角平分线，E,尸分别为4C,48上的点，且NAEO+N/FO=180°.DE与

DF有何数量关系？请说明理由.

HDC

五、课堂小结

这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？

六、作业布置

1.如图，直线％/2,%表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距

离相等，则可供选择的地址有（）

A.1处B.2处C.3处D.4处

2.东湖高新区为打造成“向往之城”,正建设一批精品口袋公园.如图所示,是一个F在修建的

口袋公园.要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路4B、4c的距离相等，且使得Su.=

SABCH，则凉亭H是（）

A.乙艮4c的角平分线与AC边上中线的交点

B.乙b4c的角平分线与边上中线的交点

C.乙4BC的角平分线与力C边上中线的交点

D.448c的角平分线与BC边上中线的交点

3.如图，在△HBC中，ZC=90°,BD平分NA8C交AC于点尸，作DE14C,垂足为E,连接AD,若

LBAD=90°,AD=4,AC=7,则EF的长为（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

4.如图，4。是AABC的角平分线，ZC=90°,CO=1cm,点P是48上一动点.

(1)连接。P,求0P的最小值；

(2)若乙8=30。，求AAOB的面积.

答案解析

课堂练习;

1.【答案】D

【解析】解：三角形中到三条边距离相等的点是三条角平分线的交点,

故选：D

2.【答案】B

【解析】解：如图，过点P作PE_L08于E,

：.PD=PE=5,

•・・Q是。8上任一点，

：,PQ>PE,

:,PQ>5.

故选：B.

3.【答案】B

【解析】解：过点B作8FJLDE,垂足为点F,

,・<是4B的中点,AB=10cm,

BC==5cm,

CDLAB,BF1DE,射线D8是“DE的平分线,

:・BC=BF=5cm,

故选：B.

4.【答案】80.

【解析】解：•・•加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，且加油站到公路m的距离是

80m,

・•・加油站到公路m和公路n的距离是相等的，即它到公路八的距离是807n.

故答案为：80.

5.【答案】25.

【解析】解：延长4。交BC于E,如下图,

•••8。平分乙ABC,40垂直于BD,

J.z-ABD=Z.EBD,LADB=Z.EDB=90°,

在和AEBD中，

Z-ABD=LEBD

BD=BD,

Z.ADB=乙EDB

：.△ABDmEBD(ASA),

：.AD=ED,

=S^EBD，S^CDE=S^ACD=2°,

,*•^^ABD=S^EBD~S^BCD—S4CDE=45—20=25.

故答案为：25.

6.【答案】①②③④.

【解析】解：・・240。=乙8。。，・・・OC是乙408的平分线，故①正确;

VPD1OA,PELOB,PD=PE

・・・。。是乙/1。8的平分线，故②正确；

VPD1OA,PE工OB，

:.乙ODP=乙OEP=90°

*：OD=OE,OP=OP

:,RtAODP三Rt△OEP(HL)

••.△OOP=Z.EOP

・・・。。是乙4。8的平分线，故③正确；

■:PD1OA,PELOB,

:.乙ODP=乙OEP=90°

•:乙DPO=CEPO,OP=0P

：.Rt△ODP三At△OEP(AAS')

：.Z-DOP=Z-EOP

・・・0C是乙4。8的平分线，故④正确;

故答案为：①②③④.

7.【答案】解：DE=DF.

理由：如图，过点。作0M_LAB于点M,DNJ.AC于点N.

RDC

••T0平分乙

/.DM=DN.

•••^AED+Z.AFD=180°,^AED+乙NED=180°,

Z.AFD=乙NED.

在△FMD和AEND中，

4MFD=乙NED,

"MD=/END=90。，

(DM=DN,

FMDEND(AAS),

DE=DF.

作业布置：

1.【答案】D

【解析】解：•・•中转站要到三条公路的距离都相等，

・••货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点,

而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，

如图，

・•・货物中转站可以供选择的地址有4处.

故答案为：D.

2.【答案】A

【解析】解：如图:

•••力。平分48AC,点H在AD上,

・••点H到A8、AC的距离相等，

•・・8E是4C边上的中线，

:・S&ABE=S&BCE，^hAHE=S.HE，

••S&ABE-SAAHE=S&BCE~S&CHE'

:*S^ABH=S^cBH'

・•・凉亭H是484C的角平分线与/IC边上中线的交点,

故答案为：A.

3.【答案】A

【解析】解：如图，作DH_LBC交8c的延长线于点H,连接CD,

・"H=90°,

•：Z-BAD=90°,

：,DAJLBA,

•・・BO*F分々48C,且041DH1BC,

：,HD=AD=4,

「DEIAC,LACB=90°,

：.DE||BC,乙DEC=LH,

：.Z-EDC=乙HCD,

在AEOC,和△HC•。中，

乙DEC=乙H

(EDC=^HCD,

CD=DC

：,LEDC三△