江苏省南京市某中学2024-2025学年高一年级下册6月期末考试数学试题（解析版）

2024-2025学年度第二学期期末考试试卷

高一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知向量丽=（〉），"（73）,则济（所叫二（）

A.8D.10C.12D.16

【答案】B

【解析】

【分析】由平面向量线性运算与数量积的坐标表示，可得答案.

【详解】由题意可得初一万=（3,Y）,故沆•（成一元）=2x3+（-l）x（T）=10.

故选：B.

2.珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类

非物质文化遗产名录.算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下

面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（）

A,21

B.-D.-

55

【答案】C

【解析】

【分析】计算古典概型概率即可.

【详解】总共14颗算珠，其中上珠4颗，故从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概

率为

故选：C

3.为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成

绩：（单位：分）78,70,72,86,79,80,81,84,56,83,则这10人成绩的第80百分位数是（）

A.83B.83.5C.84D.70

［黄］B

【解析】

【分析】根据百分位数的定义计算即可.

【详解】将10个数据从小到大排列得,56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,

QQ1QA

10x80%=8,故其第80百分位数是空”=83.5,

故选：B.

4.已知复数z满足(l—i)z=-2i,则三()

A1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，得到z=言，结合复数的运算法则，即可求解.

/、-2i-2i(l+i)

【详解】由复数z满足(l-j)z=-2i,可得z=「=<=所以，=i+i.

故选：B.

5.如图，P为平行四边形A8CZ)所在平面外一点，E为4。的中点，F为PC上一点,当A4//平面

1

D.-

°I2

【答案】D

【解析】

ppAGAGAF1

【分析】由线面平行的性质定理得到Q4//Q,故不1==，转化为求=="^=不即可•

FCGCGCBC2

P

F

【详解】//5

三5

连接AC交BE千G，连接AG，

因为E4//平面£所，PAcz平面PAC,平面PACn平面BEF=FG,

PFAG

所以PA〃卜'G,所以

FCGC

又AO//8C,E为AD中点,

AGAE1

所以

GCBC2

PF1

所以不二=二・

FC2

故选：D.

6.与宜线x-)=4=0和圆(x+iy+()」iy=2都相切的半径最小的圆的方程是()

A.(x+l)2+(y+l)2=2B.(x+l)2+(y+l)2=4

C.(x-l)2+(y+l)2=2D.(x-l)-+(y-l)~=4

【答案】C

【解析】

【分析】作出图形，由圆心C作直线/的垂线段CE,则以0E为直径的圆。即为所求圆，另作一圆进行说

明理由，再根据图形特征求出圆。的圆心和半径即得方程.

【详解】

如图，过圆(x+lf+(y-l)2=2的圆心C(-1,D作直线/：/一9-4=0的垂线CE,垂足为E，

则以0E为直径的圆。(设其半径为，)即为所求圆.理由如下：

另作一个圆尸，与圆C相切，与直线/切于点G,设其半径为/,

由图知1cmG|>|CG|>|CE|,即应+2/>0+2『，即f/，即圆。是符合要求的最小圆.

I-1-1-41

由点C（一1,1）到直线/：久一）=4=0的距离为|CE|=^—-y=―-=3及，则一3G凡人,

2

v—1

设点。（x,y）,由CO_L/可得，工—=-l,即〉二一工①,

x+1

\x-y-4\

由点。（尤y）到直线/:x-y-4=0的距离等于丘可得=5/2(2),

联立①②可解得，x=3或x=l,由图知仅x=l符合题意,

即得ZXL-1),故所求圆的方程为（x-l『+（y+l）2=2.

故选：C.

7.若实数。、b、c使得函数/卜）=丁+依2+〃/+。的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率

则〃、b、C的一种可能取值依次为（)

a=-2。二2

A.b=-\B.b=0

c=2c=-2

7

a=——

2a=-\

」bJ

C.bD.

22

c--\7

~2

【答案】C

【解^5]

【分析】分析可知0<,<1,e3=1,e2>1,设/（」）=（4_2（<_e2）（_—«3），求出〃、b、c的范围,

即可得出合适的选项.

【详解】由题意可知，6=1,/>1，

设/(力=(工-6])(1-02)(工一%)=/一(6+/+%)'+(「备+6%+e3e\)X~e]e2e3

2+eexee

-(q+<?24-l)x+(e©2\^2)~\2=9+加+"+c,

a=_(q+e2+1)<-2

所以，、/?=4+0+，62>1，且a+c=-Z?—1,故满足条件的为C选项.

c=-eie2<0

故选：C.

8.如图，在四边形A6CD中，AB工BC,AO_LOC若，|而|=a,|而卜〃，则而•丽等于（）

B.afC.a2+bzD.a^lr

【答案】A

【解析】

【分析1由对角线向量定理直接求解.

【详解】如图所示，由对角线向量定理得

/加=（A-+比2）-（履+加=（从一哥+/一酒

22

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.如图，/）为平行四边形A8CO所在平面外一点，。为R4的中点，。为AC与8。的交点，下列说法正

确的是（）

A.。。〃平面PC。B.PC〃平面30。

C.AQ〃平面PCDD.CD〃平面PAB

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据线线平行证明线面平行，进而判断各选项.

【详解】因为0为平行四边形A5c。对角线的交点，所以。为AC的中点,

又。为Q4的中点，所以OQ〃PC,

又PCu平面PCD,。。0平面PC。，所以0。〃平面PCD,A选项正确；

同理。Qu平面8。。，PC<z平面B。。，所以PC7/B。。，B选项正确；

由四边形A8CO为平行四边形，所以A8〃CO,A5u平面P4B，CD<Z平面RV?,故CD〃平面

故D正确；

又AQ与平面PC。相交于点故C错误；

故选：ABD.

10.下列关于向量说法正确的是（）

A.向最A月的长度和向量丽的长度相等

B.若向量A方与向量《5,满足|亚卜|已斗，且A方与而同向，则通〉历

―.1一2__

C.已知平面上四点O,A,8,C,且OB=—OA+—OC,则A,B,C三点共线

33

D.向量A启与向量比是共线向量，则点4伐C,。必在同一条直线上

【答案】AC

【解析】

—1—2—

【分析】根据向量的概念可以判断A、B、D,由。〃一耳。4十鼻。。得不§=2配，进而判断C.

JJ

【详解】对于A,向量4分与向量画是互为相反向量，所以A选项正确；

对于B,向量不能比较大小，故B错误；

___1___7___1___1___2___2___i___2___

对于C,若痂=一方+—诙，即一痂一一OA=-OC一一OB,所以一通=—前，

33333333

即通=2型，且其月,肥有公共点，所以A,8,C三点共线，故C正确；

对于D,若向量质与向量前是共线向量，则直线与直线CD有可能平行，故D错误.

故选：AC.

11.下列四个命题为真命题的是（）.

A.在VA3c中，角A,B,C所对的边分别为4,b,C,若a=G，b=2,A=e,要使满足条件

（兀、

的三角形有且只有两个，则0,-

B.若向量衣二(5,0),5=(2,1),则。在5上的投影向量为(4,2)

C.已知向量小=(cosa,sina),5=(2,1),则守一同的最大值为逐+1

D.函数/(力定义域为R,若/(x+1)为偶函数，/(x+2)为奇函数，贝4/(2024)=0

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,根据正弦定理得sinA<q=Y3,进而求得。的范围；对于B,根据投影向量的定义计算

h2

即可；对于C,根据向量的模的坐标运算，三角函数的性质即可判断；对于D,根据题意可得函数/(x)的

周期性，再结合奇偶性可求值.

【详解】对于A,根据正弦定理可求得—，所以〃sinA<a<〃,

sinAsinB

所以sinA<q=正，且A<8,0<A<=，可求得0〈夕〈乙，故A错误;

b223

abj*10/ci\(Ao\

对于B,直接根据乙在/；上的投影向量守(2川=(4,2人故B正确;

对于C,67-Z?|=^(coscr-2)2+(sintz-1)2=36-4cosa-2sina,

^cosa+Lina],令sin/=21

则6-4cosa-2sina=6-2石Gc°s°F

则a-h=^5-2\/5sin(«+^)+1，

当sin(a+/?)=-l时，5-〃取最大值，最大值为石+1，故C正确;

对干D,函数y=/(x+l)是偶函数，/(x+l)=/(l-x),f(x)=f(2-x),

所以的图象关于直线x=l对称，函数y=/(x+2)是奇函数，

所以/(x)的图象关于(2,0)对称，

则/(2—x)+/(2+x)=0,可得/(x+4)=—/(x+2)=/(力，

所以/(x)是周期为4的周期函数.

所以/(2024)=/(4x506)=/(0)=。，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：木题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，四棱柱ABCO-A/CR为正方体.

①直线CG的一个方向向量为（0,0』）：②直线3G的一个方向向量为（0J1）；

③平面BCC8的一个法向量为（-1,0,0）；④平面用。。的一个法向量为（1』』）.

则上述结论正确的是______.（填序号）

【答案】①②③

【解析】

【分析［根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断.

【详解】不妨设正方体的棱长为1,则按照图中坐标系可知，C（1,1,O），G（1，1」），8（1,O,O）,

于是，m=（0,0,1）,星=（0,1』）,故①，②正确；

因AAJ_平面,而46=。,0,0）,

故（T,0,0）可作为平面与CCB的法向量，即③正确：

在正方体ABCD-A内G4中，因COJ_平面B©CB,BC}u平面B.C.CB,

则8G_LCQ,易得BG_L4C,又COcgC=C,故BC；1平面gCQ,

uuu.

而BG=（OJ1）,即可作为平面8。。的法向量，故④错误.

故答案为：①②<*

13.已知VA8C三内角A,B,C满足16sinCcos（A—8）+8sin2c=3兀，则VA3C的面积与VA3C

外接圆的面积之比为.

3

【答案】记

【解析】

【分析】利用正弦定理进行边角互化，进而可得面积之比.

【详解】由16sinCcos（A-B）+8sin2C=3n,

得16sinCcos（A-8）+16sinCcosC=37t,

即16sinC[cos（4-8）-cos（A+8）]=37t,

即32sinCsinAsin8=3兀，

所以VA3C的面积与VABC外接圆的面积之比为

-ahsinC_absinC_2sinAsinBsinC_3兀_3

TCR261b兀16TI16

4sinAsinB

3

故答案为：—.

16

14.已知圆。关于直线x-y+l=O对称的圆的方程*一2尸+（丫-2）2=1,则圆C的方程为

［答案］(/_1)2+(y_3)2二］

【解析】

【分析】设圆心41』)关于直线工一y+l=O对称的点C的坐标为(。,〃)，则直线工一＞+1=0为线段AC

b-2,।

----xl=-1

a-2

的垂直平分线，则得r，求得“，〃的值，可得对称圆的方程•

a+2b+2,八

-----------+1=0

22

【详解】解:圆*一2)2+()，-2)2=1的圆心为42,2)

则圆心42,2)关于直线/-y+1=0对称的点为圆心C,设C的坐标为(a,b),

故直线工一y+1=0为线段AC的垂直平分线，

［b-2,।

----x1=-1

可得"2'求得。=1，b=3,故对称圆C的方程为(XT)?+()，-3)2=1.

-----------4-1=0

22

故答案为：(工一1丫+()，-3)2=1.

四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.某人参加一项抽奖游戏，盒中放有红、蓝、绿、黄四色小球各I个，参加游戏的人需有放回地从盒中

连续摸两次，每次摸出I个小球，并记录小球的颜色（其中红色、黄色为暖色；蓝色、绿色为冷色）.设

两次记录的颜色分别为a,。.奖励规则如卜.：①若两次记录的颜色中有红色，获得一等奖；②若两次记录

的颜色中没有红色，但不全是冷色，获得二等奖；③其余情形获得鼓励奖.假设小球除颜色外其他都相

同.

（1）求此人获得一等奖的概率；

（2）比较此人获得二等奖与获得鼓励奖的概率的大小，并说明理由.

7

【答案】（1）—

16

（2）此人获得二等奖的概率大于获得鼓励奖的概率，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式计算出所求概率.

（2）结合（1）求得此人获二等奖、鼓励奖的概率，从而作出判断.

【小问1详解】

依题意得样本空间为｛（红，红），（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（黄，红），

（黄，黄），（黄，蓝），（黄，绿），（蓝，红），（蓝，黄），（蓝，蓝），（蓝，绿），

（绿，红），（绿，黄），（绿，蓝），（绿，绿）｝,共有16个样本点，

其中有红色的样本点有7个，

7

所以此人获得一等奖的概率为.

716T

【小问2详解】

由（1）得两次记录的颜色中没有红色，但不全是冷色的样本点有5个，

则此人获得二等奖的概率为邑，

16

754

获得鼓励奖的概率为1=77，

161n1n

故此人获得二等奖的概率大于获得鼓励奖的概率.

16.已知同=拒，忖=1,£与七的夹角为45。.

（1）求Z在万方向上的投影向量：

（2）求1+的值;

（3）若向量（27-力；）与（乂-叫）平行且方向相同，求实数;I.

【答案】（1）b;

（2）M；

（3）展

【解析】

【分析】（1）根据投影向量求解公式求出答案；

（2）平方后求出口+2,=1（）,得到模长;

（3）根据两向量平行得到方程，求出2的两个解，检验是否方向相同，得到答案.

【小问1详解】

•・,同=J5,网=1,£与石的夹角为45。，

•1a1cos45°•=V2xx-^=b

H2\b\，

，［在万方向上的投影向量为行；

【小问2详解】

•・,B+2,=同2+4同.Wcos450+4=2+4+4=10,

/.U+2b=V10；

【小问3详解】

・・•伽一码与伽一34平行，

（21一万）二万一35）

:2=2//班1

・•・。；，解得："71=3

[-4二一3〃

2=瓜A=-\[6

'二逅

当〈“一3时，2万一肩二也（隔一36），此时方向相同

A=瓜3

'=_男r

当V“3时，2G+在b=—9（一卡万一35），此时方向相反，故舍去.

2=-y/6

17.在VAAC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,且满足——=1+--

ctanC

（1）求角4的大小；

（2）若匕=26，。为AC边上的一点，BD=l，且B。是的平分线，求VAAC的面积.

【答案】（1）B=4

3

（2）瓜

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可;

（2）根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理进行求解即可.

【小问I详解】

sinB

2。_2sinA_1+cosg_^sinBcosC_sinBcosC+sinCcosB_sin（B+C）

csinCsinCsinCeosBsinCeosBsinCeosB

cosC

又sin（8+C）=sin（兀一A）=sinA,sinA>0,sinC>0,则一一”“一二——sinA——

sinCsinCcosB

即cosB=一~-,

2

又Be（0,7r）,则3=空：

3

【小问2详解】

由BZ）平分NABC得：S4ABe=SgB/）+S4BCD

.।..1.27r1..Tt1.iz

则r有一acsin—=-xIxcsin—+—xlxasin—,B14rplac=a+c

232323

在VABC中，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accos—

3

乂8=26，则4+。2+。。=12

ac=a+c

联立《

a2+c2+ac=\2

可得a2c2-ac-\2=0

解得：ac=4"c=—3舍去）

故S.A8c=」4csina=,x4x

△.232

18.VA加。中，内角A、8、C的对边分别为。、b、c,A=-.

3

（1）若b=2,c=3.求证：—^―+—^―=V2T；

lanAsinB

（2）若。为6c边的中点，且VA8C的面积为66，求长的最小值.

【答案】（1）证明见解析

⑵30

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理求出〃的值，然后利用正弦定理可证得结论成立；

（2）由三角形的面积公式可求得生的值，分析可知2通=通+正，利用平面向量的数量积运算可得出

4H力『=〃+/+/定，利用基本不等式可求得AO长的最小值.

【小问I详解】

证明：QA=pb=2,c=3,

由余弦定理可得/=tr+C1-2bccosA=4+9-2x2x3x—=7,。二J7.

2

【小问2详解】

解：由S、ABC=g儿sinA=曰bc=6G