概率论与数理统计 教案 4.3大数定律+中心极限定理

《概率论与数理统计》教学设计方案理论2课时1.知识与技能目标（1）理解切比雪夫不等式的含义，并能运用其进行概率估计。（2）掌握伯努利大数定律和辛钦大数定律的内容，理解其意义。（3）能够运用大数定律解释一些实际生活中的随机现象。2.能力与思维目标（1）培养学生的抽象思维能力，使其能够从具体实例中抽象出一般规律。（2）提高学生的逻辑推理能力，使其能够运用数学语言严谨地表述和证明定理。（3）增强学生的应用意识，使其能够将理论知识应用于实际问题。3.情感态度与价值观目标（1）激发学生学习概率论的兴趣，使其感受到数学的魅力和应用价值。（2）培养学生的科学精神，使其认识到科学结论的得出需要严谨的推理和验证。（3）引导学生用概率的思维看待世界，认识到随机现象背后的规律性。要求：通过具体的例子，让学生理解随机事件的概念，培养学生表述随机事件的能力，从而增强其学习本课程的兴趣．（1）：切比雪夫不等式和辛钦大数定律的理解和应用。处理措施：（1）通过具体实例引入大数定律的概念，例如抛硬币实验、蒙特卡罗方法等。（2）利用图形和动画演示大数定律的直观意义。（3）结合实际问题，引导学生运用大数定律进行分析和解释。切比雪夫不等式的证明以及大数定律的数学表述。处理措施：（1）采用启发式教学，引导学生逐步理解切比雪夫不等式的证明思路。（2）利用板书和多媒体课件，清晰地展示大数定律的数学表述和推导过程。（3）提供适量的练习题，帮助学生巩固所学知识。思政元素融入课前准备观看《大数定律》的介绍视频观看视频教学环节主要教学内容学生活动安排导入（共10分钟）回答视频中的问题——哪个行业最能体现大数定律?答案：保险讨论：那我们来聊聊车险，燃油车与新能源车的保费存在显著差异，你们知道为什么吗？在第一章中，曾提到“频率的稳定值记为概率”这个“稳定”是何含义？这和我们这节课程内容有什么关联呢？正式引出本节课主题：“今天，我们就来学习揭示这种普遍规律的大数定律。大数定律能够告诉我们，在大量重复试验下，随机事件的频率会趋近于它的概率，以及大量随机变量的平均值具有稳定性。它在我们理解随机现象、进行数据分析以及在众多实际领域如保险行业预估风险、市场调研估计总体情况等方面都有着极为重要的应用。接下来，让我们一起深入探究大数定律，解开随机现象背后隐藏的规律面纱。”学习通回答问题新课(70分钟)1.切比雪夫不等式2.切比雪夫大数定律3.辛钦大数定律4.伯努利大数定律5.拓展延伸6.拉普拉斯定理7.棣莫弗-拉普拉斯定理8.独立同分布9.拓展延伸数字人辅助教学：概率论中用来阐述大量随机现象的平均值的稳定性一系列定理称为大数定律投掷硬币10次出现7次正面，能否断言硬币不均匀？样本偏差概率（n=10时P(X≥7)=0.17），说明个体偶然性与群体规律性的区别类比社会事件中的“以偏概全”现象（如地域歧视），强调全面调查的伦理意义切比雪夫(Chebyshev)不等式.切比雪夫(Chebyshev)不等式设随机变量X存在有限方差D(X),则有对任意ε＞0,P{｜X-E(X)｜≥ε}≤或P{｜X-E(X)｜＜ε}≥1-.证:如果X是连续型随机变量,设X的概率密度为f(x),则有P{|X-E(X)|≥ε}=≤例4.17设X是掷一颗骰子所出现的点数,若给定ε=1,实际计算P{|X-E(X)|≥ε},并验证切比雪夫不等式成立.解:因为X的概率分布是P{X=k}=1/6(k=1,2,…,6),所以E(X)=7/2,D(X)=35/12,P{|X-7/2|≥1}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=5}+P{X=6}=2/3;ε=1：=35/12>2/3,可见切比雪夫不等式成立.例4.18汽车生产过程中需要用到大量的齿形带轮,某汽车零件生产厂在一天生产了10000个齿形带轮,若每一个齿形带轮合格的概率都是0.99,每一个齿形带轮的生产之间都相互独立,请估计这天齿形带轮合格量在9850~9950之间的概率.解:设X为合格齿形带轮的数目,由题可知X服从参数为n=10000,p=0.99的二项分布.若要准确计算,应该用伯努利公式：.这个概率的计算就比较复杂了,如果用切比雪夫不等式对其进行估计：E(X)=np=10000×0.99=9900,D(X)=np(1-p)=10000×0.99×0.01=99,定义4.5设Y1,Y2,…,Yn,…是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任意正数ε有或,则称序列Y1,Y2,…,Yn,…依概率收敛于a,记为.定理4.2(切比雪夫(Chebyshev)大数定律)设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列,各有数学期望E(X1),E(X2),…及方差D(X1),D(X2),…,并且对于所有i=1,2,…都有D(Xi)<l,即方差一致有界,其中l是与i无关的常数,则对任给ε>0,有.证因X1,X2,…相互独立,所以.又因对于任意ε>0,有,但是任何事件的概率都不超过1,即,因此.通过这个定理对我们人生有什么启示？数学概念人生启示目标需明确持久努力的必要性减少行为的波动性切比雪夫大数定律说明：在定理4.2的条件下,当n充分大时,n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的.这意味,经过算术平均以后得到的随机变量将比较密的聚集在它的数学期望的附近,它与数学期望之差依概率收敛到0.特别地,当随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,且具有相同的数学期望E(Xk)=μ和有界方差D(Xk)=σ2,k=1,2,…时,切比雪夫大数定律可以表示成.切比雪夫大数定律中要求随机变量Xk(k=1,2,…,n)的方差有界.但当随机变量服从同一分布时,此条件可以省去,得到以下定理：定理4.3(辛钦(Khinchin)大数定律)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有数学期望E(Xk)=μ(k=1,2,…),则对于任意正数ε,有.小锦囊(1)切比雪夫大数定律是最基本的大数定律,其条件为独立,方差一致有界.而辛钦大数定律的条件为独立同分布,期望存在.(2)切比雪夫大数定律与辛钦大数定律均说明算术平均值具有稳定性.如要测量某一事物a,在不变的条件下重复测量n次,得观测值X1,X2,…,Xn,求得实测值的算术平均值,根据以上两定律可知,当n足够大时,取作为a的近似值,可以认为所发生的误差是很小的,,即算术平均值具有稳定性.所以实用上往往用某物体的某一指标值的一系列实测值的算术平均值来作为该指标值的近似值..定理4.4(伯努利(Bernoulli)大数定律)设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意正数ε>0,有或.证:引入随机变量Xk=,显然nA=.由于Xk只依赖于第k次试验,而各次试验是独立的,所以X1,X2,…,是相互独立的；又由于Xk服从(0-1)分布,故有E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),k=1,2,….由定理4.3辛钦大数定律知,即.显然,伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况.情境：小米SU7因数据不足遭遇高保费争议任务设计：①收集不同品牌电动车事故率样本：②计算行业平均事故率：③对比n=100vsn=10,000时平均事故率的置信区间宽度延伸讨论：“为什么保险公司要求新能源车企共享大数据？这与大数定律有何关联？”18世纪到19世纪两位数学家棣莫弗和拉普拉斯研究了n次抛硬币(均匀硬币)出现正面次数的分布问题.由第二章的知识可知,正面出现的次数Yn~B(n,0.5).但是,当n变得越来越大的时候,二项分布的计算量很大不方便使用.棣莫弗和拉普拉斯试图找到另外一种分布,在n比较大的时候可以很好地近似二项分布.定理4.5设随机变量X服从参数为n,p(0＜p＜1)的二项分布,则(1)(拉普拉斯(Laplace)定理)局部极限定理：当n→∞时P{X=k}≈,其中p+q=1,k=0,1,2,…,n,.(2)(棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivreLaplace)定理)积分极限定理：对于任意的x,恒有.这个定理表明,二项分布以正态分布为极限.当n充分大时,我们可以利用上两式来计算二项分布的概率.例4.1910部机器独立工作,每部停机的概率为0.2,求3部机器同时停机的概率.解:10部机器中同时停机的数目X服从二项分布,n=10,p=0.2,np=2,≈1.265.(1)直接计算：P{X=3}=×0.23×0.87≈0.2013;(2)若用局部极限定理近似计算：P{X=3}==0.2308.的计算结果与(1)相差较大,这是由于n不够大.例4.20某保险公司有5000人参保意外险,参保人交保费元160/年,若一年内发生意外,参保人可获2万元赔偿.已知参保人一年内发生此意外的概率0.005为,问保险公司一年内总收益在20万到40万之间的概率？保险公司亏本的概率是多少？解：设X为一年内参保人数中发生意外的人数,X~B(5000,0.005).保险公司一年的收益为0.0165000-2X=80-2X,则保险公司一年内总收益在20万到40万之间的概率即,根据中心极限定理,当n足够大时(n=5000>50),X可近似服从N(25,24.875),所以,保险公司亏本的概率为讨论：保险公司不会亏本是不是意味着我们不会受益呢？买保险看似‘吃亏’，实则是用确定的保费支出，抵御生活中难以承受的财务风暴”保险公司不会亏本是因为掌握了中心极限定理，如果你能掌握到生活中的极限定理那么你也不会亏本正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布,但后者以n→∞,同时p→0,np→λ为条件,而前者则只要求n→∞这一条件.一般说来,对于n很大,p(或q)很小的二项分布(np≤5)用正态分布来近似计算不如用泊松分布计算精确.学习了棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，我们就可以回答高尔顿钉板实验落入各个格子中小球的个数近似服从正态分布的问题。①做一个小球的高尔顿钉板实验落入第i个空的概率正好满足二项分布。②由大量小球做高尔顿钉板实验可知道，小球落入各个格子的数目满足正态分布。这个钉板的设计者是英国科学家、生物学家高尔顿。目的是利用统计学研究遗传进化问题。当科学走进生活之后，高尔顿板就变成了一个有趣而又充满神秘性的游戏。例4.21每颗炮弹命中飞机的概率为0.01,求500发炮弹中命中5发的概率.解:500发炮弹中命中飞机的炮弹数目X服从二项分布,n=500,p=0.01,np=5,≈2.2.下面用三种方法计算并加以比较：(1)用二项分布公式计算：P{X=5}=×0.015×0.99495=0.17635.(2)用泊松公式计算,直接查表可得：np=λ=5,k=5,P5(5)≈0.175467.(3)用拉普拉斯局部极限定理计算：P{X=5}=≈0.1793.可见后者不如前者精确.那除了二项分布,其他的分布,当样本数量足够大时,会不会也近似趋于正态分布呢？定理4.6(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有数学期望E(Xk)=μ和方差,D(Xk)=σ2≠0(k=1,2,…).则随机变量的分布函数Fn(x)对于任意x满足从定理4.6的结论可知,当n充分大时,近似地有Yn=~N(0,1).或者说,当n充分大时,近似地有古人云：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”拓展延伸：同学们是不是玩过类似的游戏？假设边靠外侧的格子里就会获得较为贵重的礼物，落到靠近中间的格子则得不到礼物，不知道其中原理的人总期待着好运从天而降，殊不知“命运”早已是安排好的。由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知，小球落入两侧格子的概率是很小的，几乎不可能的。所以，在现实生活中面对错综复杂的世界，我们要透过现象看本质不要被表面的现象所迷惑，更不要祈求天上掉馅饼的好事，脚踏实地，努力耕耘才是硬道理。听讲：切比雪夫不等式给出了当随机变量X的分布未知时,事件{｜X-E(X)｜＜ε}概率的下限估计,例如,在切比雪夫不等式中,令ε=可得到P{｜X-E(X)｜＜2}≥0.75.：切比雪夫不等式表明,当方差D(X)很小时,P{｜X-E(X)｜≥ε}也很小,即X的取值偏离均值的概率也很小,这再次说明方差是用来描述随机变量X离散程度的一个量.思考听讲理解思考：人生的成就如同大数定律，需要足够多的‘试验次数’——即持续正向积累”思考听讲理解完成任务小组讨论学生掌握定义理解例题的解题思路尝试自己手写解题过程，并上传学习通：买保险看似‘吃亏’，实则是用确定的保费支出，抵御生活中难以承受的财务风暴”：n趋于无穷时，二项分布会逐步逼近正态分布理解并掌握定义：如果用X1,X2,…,Xn表示相互独立的各随机因素.假定它们都服从相同的分布(不论服从什么分布),且都有有限的期望与方差(每个因素的影响有一定限度).则上述定理说明,作为总和这