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机器视觉系统应用授课老师姓名目录/Contents0102核函数非线性支持向量机非线性支持向量机

非线性超平面基于Mercer

核展开定理，通过用内积函数定义的非线性变换，将输入空间映射到高维特征空间（Hilbert空间），在这个高维空间中寻找输入变量和输出变量之间的关系。核方法核函数凡是满足Mercer定理的函数都可以作为支持向量机的核函数核函数：对所有𝑥𝑖,

𝑥𝑗

∈

𝑅

𝑑𝑲

𝒙𝒊,

𝒙𝒋 =

𝝓(𝒙𝒊)

⋅

𝝓(𝒙𝒋)这里𝝓是从𝑹

𝒅

到特征空间H的映射。•核函数已知映射函数，通过内积求得核函数K，不用构造映射函数能否直接判断一个给定的函数是否是核函数K？或者说K满足什么条件才是核函数？正定核的充要条件：设

K:

R

是对称函数，则K（x,z）为正定核函m, 对应的Gram矩阵数的充要条件是对任意

xi

,i

1,

2,K

[K

(

xi

,

x

j

)]m

m是半正定矩阵。Mercer定理可以得到Mercer核，正定核比Mercer更具一般性常用的核函数核函数（1）多项式形式的核函数K(x,

y)

{(x

y)

1}d此时得到的支持向量机是一个d阶多项式分类器。常用的核函数核函数（2）径向基函数形式的核函数2 2K

(x,

y)

e

x

y

/

2

此时得到的支持向量机是一种径向基函数分类器。它与传统径向基核函数（RBF）方法的基本区别：每一个核函数的中心对应于一个支持向量，它们以及输出权值是由算法自动确定。常用的核函数核函数（3）Sigmoid函数形式的核函数K(x,

y)

tanh(kx

y

)得到的支持向量机实现的两层的多层感知器神经网络网络的权值、网络的隐层节点数目由算法自动确定。常用的核函数此时得到的支持向量机是线性的分类器。核函数（4）点积形式的核函数K(x,

y)

x

y常用的核函数判断一个支持向量机分类器性能的关键指标有两个：学习能力推广能力核函数常用的核函数学习能力：分类器从训练数据中建立正确的分类模型的能力推广能力：指这个模型对未知数据进行正确预测的能力。推广能力的强弱更能反映分类器性能的好坏，因为设计分类器的目的就是对未知数据进行分类。核函数𝜙(𝑥𝑖)

⋅

𝜙(𝑥𝑗)非线性映射

把数据从输入空间映射到高维特征空间在高维特征空间中进行线性分类，映回到原空间后就成了输入空间中的非线性分类为避免高维空间的复杂计算，支持向量机采用核函数𝐾

𝑥𝑖,

𝑥𝑗

代替高维空间约束的二次规划问题：𝟐𝑙𝐦𝐢𝐧

𝟏

‖𝒘‖𝟐+C

∑

𝜉𝑖𝑖=1𝐬.

𝐭. 𝒚𝒊(<

𝒘,

𝝋(𝒙𝒊)

>

+𝒃)

≥

𝟏−

𝝃𝒊,

𝒊

=

𝟏,

.

.

.

𝒍𝝃𝒊

≥

𝟎,

𝒊

=

𝟏,

.

.

.

𝒍𝟏𝟐构造拉格朗日函数求解：𝒍 𝒍 𝒍𝑳

=

𝟐

||𝒘|| +

𝑪

∑

𝝃𝒊

−

∑

𝑎𝒊

(𝒚𝒊(<

𝒘,

𝝋(𝒙𝒊)

>

+𝒃)

−

𝟏

+

𝝃𝒊)

−

∑

𝜸𝒊

𝝃𝒊𝒊=𝟏 𝒊=𝟏 𝒊=𝟏

i

,

i

0,i

1,

,l非线性支持向量机优化问题的对偶形式：l

0

i

yiii

12l l

1

i

1 j

1

i

j

yi

y

j

K

(xi

,

y

j

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