2026届黑龙江省哈尔滨三中数学高一下期末调研试题含解析

2026届黑龙江省哈尔滨三中数学高一下期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,702．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（）.A．24里 B．12里 C．6里. D．3里3．的内角，，的对边分别为，，．已知，则（）A． B． C． D．4．函数的简图是（）A． B． C． D．5．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）A． B． C． D．6．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）A． B．C． D．7．计算:A． B． C． D．8．若且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．9．已知圆，过点作圆的最长弦和最短弦，则直线，的斜率之和为A． B． C．1 D．10．将的图像怎样移动可得到的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知正数、满足，则的最小值是________．12．已知{}是等差数列，是它的前项和，且，则____.13．若数列的前项和，满足，则______．14．已知数列满足，（），则________.15．直线的倾斜角的大小是_________.16．已知是等差数列,,,则的前n项和______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到1°，参考数据：，）18．已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，，.（1）若，求证：为等腰三角形；（2）若，边长，角，求的面积.19．设是两个相互垂直的单位向量，且（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．20．设函数．（1）求函数的最小正周期．（2）求函数的单调递减区间；（3）设为的三个内角，若，，且为锐角，求．21．如图是某地某公司名员工的月收入后的直方图．根据直方图估计：（1）该公司月收入在元到元之间的人数；（2）该公司员工的月平均收入.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差，所以，可能为，的所有可能取值为选.考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.2、C【解析】

由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，，故选C．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，是基础的计算题．3、A【解析】

由正弦定理，整理得到，即可求解，得到答案.【详解】在中，因为，由正弦定理可得，因为，则，所以，即，又因为，则，故选A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，以及特殊角的三角函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、D【解析】

变形为，求出周期排除两个选项，再由函数值正负排除一个，最后一个为正确选项．【详解】函数的周期是，排除AB，又时，，排除C．只有D满足．故选：D.【点睛】本题考查由函数解析式选图象，可通过研究函数的性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性等排除某些选项，还可求出特殊值，特殊点，函数值的正负，函数值的变化趋势排除一些选项，从而得出正确选项．5、D【解析】

四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解.【详解】设椭圆的焦点是，圆与椭圆的四个交点是,设，，，，.故选D.【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型6、A【解析】由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A．7、A【解析】

根据正弦余弦的二倍角公式化简求解.【详解】，故选A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变化，关键在于寻找题目与公式的联系.8、D【解析】

利用作差法对每一个选项逐一判断分析.【详解】选项A,所以a≥b,所以该选项错误；选项B,，符合不能确定，所以该选项错误；选项C,，符合不能确定，所以该选项错误；选项D,，所以，所以该选项正确.故选D【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、D【解析】

根据圆的几何性质可得最长弦是直径，最短弦和直径垂直，故可计算斜率，并求和.【详解】由题意得，直线经过点和圆的圆心弦长最长，则直线的斜率为，由题意可得直线与直线互相垂直时弦长最短，则直线的斜率为，故直线，的斜率之和为．【点睛】本题考查了两直线垂直的斜率关系，以及圆内部的几何性质，属于简单题型.10、C【解析】

因为将向左平移个单位可以得到，得解.【详解】解：将向左平移个单位可以得到，故选C.【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】

利用等式得，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.【详解】，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是，故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、【解析】

根据等差数列的性质得，由此得解.【详解】解：由题意可知，；同理。故.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.13、【解析】

令，得出，令，由可计算出在时的表达式，然后就是否符合进行检验，由此可得出.【详解】当时，；当时，则.也适合.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题考查利用求，一般利用来计算，但需要对进行检验，考查计算能力，属于基础题.14、31【解析】

根据数列的首项及递推公式依次求出、、……即可.【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.15、【解析】试题分析：由题意，即，∴．考点：直线的倾斜角.16、【解析】

由，可求得公差d，进而可求得本题答案.【详解】设等差数列的公差为d，由题，有，解得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式，属基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援.【解析】

根据题意，求得，利用余弦定理求得的长，在中利用正弦定理求得，根据题目所给参考数据求得乙船行驶方向.【详解】解：由已知，则，在中，由余弦定理，得，∴海里.在中，由正弦定理，有，解得，则，故乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援.【点睛】本小题主要考查解三角形在实际生活中的应用，考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.18、（1）见解析（2）【解析】

⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径，所以，所以为等腰三角形.⑵因为，所以.由余弦定理可知，，即解方程得：（舍去）所以.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ），则存在唯一的使，解得所求参数的值；（Ⅱ）若，则，解得所求参数的值．【详解】解：（Ⅰ）若，则存在唯一的，使，，当时，；（Ⅱ）若，则，因为是两个相互垂直的单位向量，当时，.【点睛】本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．20、（1）（2）减区间为，（3）【解析】

利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递减区间．利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得的值．【详解】函数，故它的最小正周期为．对于函数，令，求得，可得它的减区间为，．中，若，．若，，为锐角，．．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．21、（1）；（2）.【解析】

（1）根据频率分布直方图得出该公司月收入在元到元的员工所占的频率，再乘以可