山东省菏泽市23校联考2026届高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

山东省菏泽市23校联考2026届高一数学第二学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．2．如果，且，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．在等比数列中，若，则的值为（）A． B． C． D．4．在中，，，则的形状是()A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定5．已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．6．函数的最大值为()A． B． C． D．7．点直线与线段相交，则实数的取值范围是()A． B．或C． D．或8．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为()A． B． C． D．或9．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．中，，则（）A． B． C．或 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_____．12．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.13．已知数列满足：，，则数列的前项的和_______.14．已知等差数列中，，，则该等差数列的公差的值是______.15．终边在轴上的角的集合是_____________________．16．已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影是；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四棱锥中，，且，，，点在上，且．（1）求证：平面⊥平面；（2）求证：直线∥平面．18．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S市的A区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设分店的个数，y表示这个x个分店的年收入之和.(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程(2)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位:百万元)与x，y之间的关系为，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大?(参考公式:，其中，)19．已知函数，.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最小值和取得最小值时的取值.20．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB=AD，BD⊥CD，点E、F分别是棱BC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面ACD；（2）求证：AE⊥BD．21．如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，，且，分别为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】因为,若,则,，故选A.2、D【解析】

由，且，可得．再利用不等式的基本性质即可得出，．【详解】，且，．，，因此．故选：．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3、B【解析】

根据等比数列的性质：若，则.【详解】等比数列中，，，故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，此题也可用通项公式求解.4、C【解析】

利用余弦定理求出，再利用余弦定理求得的值，即可判断三角形的形状.【详解】在中，，解得：；∵，∵，，∴是直角三角形.故选：C.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形形状的判定，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5、B【解析】

首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积（其中为底面圆的半径，为母线长），即可得到答案．【详解】由于圆锥的底面半径，母线与底面所成的角为，所以母线长，故圆锥的侧面积；故答案选B【点睛】本题考查圆锥母线和侧面积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式，即（其中为底面圆的半径，为母线长），属于基础题6、D【解析】

函数可以化为，设，由，则，即转化为求二次函数在上的最大值.【详解】由设，由，则.即求二次函数在上的最大值所以当，即时，函数取得最大值.故选：D【点睛】本题考查的二次型函数的最值，属于中档题.7、C【解析】

直线经过定点，斜率为，数形结合利用直线的斜率公式，求得实数的取值范围，得到答案．【详解】如图所示，直线经过定点，斜率为，当直线经过点时，则,当直线经过点时，则，所以实数的取值范围，故选C．【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，以及直线的斜率公式的应用，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．8、C【解析】

平移CD到AB，则即为异面直线与所成的角，在直角三角形中即可求解.【详解】连接AC1，CD//AB，可知即为异面直线与所成的角，在中，，故选．【点睛】本题考查异面直线所成的角.常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.9、C【解析】由题意得圆心为，半径为．圆心到直线的距离为，由直线与圆有公共点可得，即，解得．∴实数a取值范围是．选C．10、A【解析】

根据正弦定理，可得，然后根据大边对大角，可得结果..【详解】由，所以由，所以故，所以故选：A【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】

设由，求出点轨迹方程，可判断其轨迹为圆，点又在直线，转化为直线与圆有公共点，只需圆心到直线的距离小于半径，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.【详解】设，，，，整理得，又点在直线，直线与圆共公共点，圆心到直线的距离，即.故答案为:.【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12、【解析】

根据左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1求解即可.【详解】因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1所以，左边的式子为，故答案为.【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.13、【解析】

通过令求出数列的前几项，猜测是以为周期的周期数列，且每个周期内都是以为首项，2为公比的等比数列．然后根据递推式给予证明，最后由等比数列的前项和公式计算．【详解】当时，，，，，，，当时，，，，，，，当时，，，，，，，猜测，是以为周期的周期数列，且每个周期内都是以为首项，2为公比的等比数列．设中，即，∴，由于都是正整数，所以，所以数列中第项开始大于3，前项是以为首项，2为公比的等比数列．，所以是以为周期的周期数列，所以．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的前项和，考查数列的周期性．解题关键是确定数列的周期性．方法采取的是从特殊到一般，猜想与证明．14、【解析】

根据等差数列的通项公式即可求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查等差通项基本量的求解，属于基础题15、【解析】

由于终边在y轴的非负半轴上的角的集合为而终边在y轴的非正半轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合是，所以，故答案为.16、1【解析】考查向量的投影定义，在上的投影等于的模乘以两向量夹角的余弦值三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）通过边长关系可知，所以，又，所以平面，所以平面平面．（2）连接交与点，连接，易得∽，所以，所以直线平面．，【详解】（1）因为，，所以，所以又，且，平面，平面所以平面又平面所以平面平面（2）连接交与点，连接在四边形中，，∽，所以又，即所以又直线平面，直线平面所以直线平面【点睛】（1）证明面面垂直：先正线面垂直，线又属于另一个面，即可证明面面垂直．（2）证明线面平行，在面内找一个线与已知直线平行即可.18、(1);(2)该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大【解析】

（1）由表中数据先求得.再结合公式分别求得,即可得y关于x的线性回归方程.（2）将（1）中所得结果代入中,进而表示出每个分店的平均利润,结合基本不等式即可求得最值及取最值时自变量的值.【详解】（1）由表中数据和参考数据得:,,因而可得,,再代入公式计算可知,∴,∴.（2）由题意,可知总收入的预报值与x之间的关系为:,设该区每个分店的平均利润为t,则,故t的预报值与x之间的关系为,当且仅当时取等号,即或（舍）则当时,取到最大值,故该公司应开设4个分店时,在该区的每个分店的平均利润最大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法,基本不等式求函数的最值及等号成立的条件,属于基础题.19、（1）；（2）当时，.【解析】

（1）利用二倍角公式将函数的解析式化简得，再利用周期公式可得出函数的最小正周期；（2）由可得出函数的最小值和对应的的值.【详解】（1），因此，函数的最小正周期为；（2）由（1）知，当，即当时，函数取到最小值.【点睛】本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题.20、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）证明EF∥CD，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF∥平面ACD；（2）证明BD⊥平面AEF，然后说明AE⊥BD．【详解】（1）因为点E、F分别是棱BC、BD的中点，所以EF是△BCD的中位线，所以EF∥CD，又因为EF⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，EF∥平面ACD．（2）由（1）得，EF∥CD，又因为BD⊥CD，所以EF⊥BD，因为AB=AD，点F是棱BD的中点，所以AF⊥BD，又因为EF∩AF=F，所以BD⊥平面AEF，又因为AE⊂平面AEF，所以AE⊥BD．【点睛】本题考查直线与平面垂直的性质以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查逻辑推理能力与空间想象能力，是基本知识的考查．21、(1)证明见详解；（2）.【解析】

（1）由面面垂直可得线面垂直，再推证