2026年高考数学二轮复习专题18 圆锥曲线离心率归类（题型）（天津）（解析版）

专题18圆锥曲线离心率归类目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01椭圆的离心率题型02求椭圆离心率或其取值范围的方法题型03双曲线的离心率题型04离心率的范围问题的求解方法第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01椭圆的离心率【例1-1】（2026·天津静海·月考）已知椭圆的离心率为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率，化简得，故选：B.【例1-2】（2026·天津南开·月考）已知椭圆与双曲线有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据椭圆和双曲线的半焦距的定义，结合椭圆、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理逐一判断即可.【详解】设，所以由椭圆和双曲线的标准方程可得，故选项A正确；因为是以为底边的等腰三角形，所以，由椭圆的定义可知，由双曲线的定义可知，于是有，又因为，所以，所以，，由余弦定理可知，所以选项B不正确；，所以选项C正确；因为，所以选项D正确，故选：B.椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.

(2)离心率的范围：0<e<1.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.【变式1-1】（2026·天津南开·月考）如图，直径为4的球放在地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中条件，结合球的性质作出截面，结合三角形内切圆性质求出的长，即可得解.【详解】平面截球得到球面大圆，如图，是球大圆的外切三角形，其中切圆于点，则有，，，，，，，，，，，，，为椭圆的一个焦点，，，.故选：B.【变式1-2】（2026·天津静海·调研）已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则下列正确的有（

）①

②椭圆离心率为③圆与圆相切

④的最大值为4A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④【答案】A【分析】设，联立与椭圆方程，求出，即可求出、从而求出，即可判断①②，求出圆心坐标与半径，即可求出圆心距，从而判断③，设点，其中，表示出，结合二次函数的性质求出，即可求出的最大值，即可判断④.【详解】对于①：设，则由，解得，所以，解得，所以，则椭圆，由椭圆的定义，可得，故①正确；对于②：椭圆离心率，故②错误；对于③：圆的圆心为，半径，圆，即，则圆心为，半径，因为，所以两圆内切，故③正确；对于④：设点，其中，则满足，可得，则，当时，取得最大值，且，

故，故④错误；故选：A【变式1-3】（2026·天津和平·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且与圆相切，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出图形，设与圆相切于点，连接可得，再利用椭圆的定义和离心率的定义可解.【详解】设与圆相切于点，连接，因为圆的半径为，，所以，又，所以，，由椭圆的定义可知，即，所以离心率为.故选：C.题型02求椭圆离心率或其取值范围的方法【例2-1】（2026·天津·调研）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由N在椭圆外部，则，根据椭圆的离心率公式，即可求得，根据椭圆的定义及三角形的性质结合，则，即可求得椭圆的离心率的取值范围．【详解】因为点在椭圆的外部，所以，可得，由椭圆的离心率，又因为，且，，要恒成立，即，则椭圆离心率的取值范围是．故选：D．【例2-2】（2025·天津·模拟预测）阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立坐标系，设椭圆方程，，，，求，根据关系列不等式，结合离心率定义求结论.【详解】以椭圆的中心为原点，以为轴的正方向建立平面直角坐标系，设椭圆方程，，，，，则，，，，.因为，即，又，故又，所以.故选：B.求椭圆离心率或其取值范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用离心率公式求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.【变式2-1】（2025·天津·调研）已知椭圆（）的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线AM的斜率为则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】转化为直线与圆有交点，建立关于的不等式，再根据，即可求离心率的范围.【详解】如图，直线的方程为，即，圆的方程为，由题意知，直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，所以，即，解得：，所以，又，所以离心率，又，所以.故选：A【变式2-2】（2025·天津·调研）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆上（异于，设直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，且，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，再根据，结合椭圆的方程，可得，再根据离心率公式求解范围即可.【详解】设，则，故，即，故，即.故，故.故选：A【变式2-3】（2025·天津南开·调研）已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对称性，令，则，若结合斜率的两点式及椭圆上点得，再由已知及离心率公式求其范围.【详解】由题意，和均关于原点对称，令，则，若，则，所以椭圆离心率.故选：A题型03双曲线的离心率【例3-1】（2026·天津蓟州·月考）双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且直线倾斜角为若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作，垂足为，则，设，则，由直线的倾斜角为，得出，根据三角函数定义得出，在中由余弦定理即可求解．【详解】过点作，垂足为，如图所示：则

因为，所以，设，根据双曲线的定义得：则，，所以，所以，则，因为直线的倾斜角为，所以，所以，在中，，在中，，由余弦定理得：，整理得，，故选：A．【例3-2】（2026·天津河东·月考）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定的渐近线方程求出，进而求出离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，所以双曲线的离心率为.故选：B双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.【变式3-1】（2026·天津河北·月考）已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：写出双曲线方程的渐近线方程，代入点坐标得到的数量关系，由化简离心率公式并求得结果.方法二：写出双曲线方程的渐近线方程，代入点坐标得到的数量关系，由焦距求得，由，求得，然后由离心率的公式求得结果.【详解】方法一：双曲线的渐近线方程为，∵点在的渐近线上，即，∴，∵，∴离心率.方法二：双曲线的渐近线方程为，∵点在的渐近线上，即，∴，由题意可得，即，∵，即，解得，∴，即，所以离心率.故选：A.【变式3-2】（2026·天津·月考）已知圆和双曲线，过的左焦点F与右支上一点Q，作直线l交圆C于A，B，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，记为，连接，得.记双曲线的右焦点为，连接，则∥，所以，且.根据题意列出关于的方程组，求出关系，即可得到的离心率.【详解】取的中点，连接，依题意，可得也是的中点，且，，即.记双曲线的右焦点为，连接，则，，且.所以，由，得；，得所以，代入③，可得.代入②，可得，即得.故的离心率为.故选：D.【变式3-3】（2026·天津·调研）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（

）A．3 B． C．5 D．【答案】D【分析】取M为的中点，为右焦点，根据条件得，由在上的投影向量的模为，得，利用双曲线的定义可得结果.【详解】取M为的中点，为右焦点，因为，

所以，所以，所以，因为在上的投影向量的模为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以.故选：D.题型04离心率的范围问题的求解方法【例4-1】（2025·天津·模拟预测）已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨设椭圆：，双曲线：，由椭圆的定义、双曲线的定义可得，，再由，可得，设，利用函数的单调性可得答案.【详解】不妨设椭圆：，双曲线：，与的离心率分别为，，由椭圆的定义，有：，由，故，由双曲线的定义，有：，故，因此，两边同时除以，有，故，由于，故，所以，不妨令，，所以原式等于，在时，单调递减，故.故选：D.【例4-2】（2025·天津·二模）若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过原点的直线与双曲线无公共点，则渐近线斜率小于等于已知直线的斜率，再求双曲线的离心率即可得解.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线斜率为，因为直线与双曲线无公共点，所以，，所以双曲线的离心率范围为.故选：B.1．不等式法求离心率的范围

(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.

(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.

(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.

(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解.

2．函数法求离心率的范围(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.3．坐标法求离心率的范围根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.【变式4-1】（2025·天津·月考）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点M在C的左支上，且与C交于另一点N，O为坐标原点，则下列结论错误的是（

）A．若点M的坐标为，则C的离心率的取值范围为B．若，，则C．若，，则恒为定值D．若，，则的最小值为1【答案】B【分析】对于A，由点在渐近线的下方得到，推理即得离心率范围；对于B，利用双曲线的定义和焦半径的范围即得；对于C，根据点是否与双曲线的左顶点重合，分别推理计算，利用双曲线定义和余弦定理即可证得.对于D，根据点在双曲线的左右支分别求得最短弦长即可判断；【详解】对于A，因点在的一条渐近线的下方，则，即，故离心率，故A正确；对于B，由，，得，由双曲线的定义可知，则，于是，因为，所以，故B错误；对于C，由，，可知，则，，当点为双曲线的左顶点时，；当点不在双曲线的左顶点时，因，则，由余弦定理得，又，所以，因则，即.综上，恒为定值，故C正确.对于D，因，，则，当在的右支上时，因为在过焦点且与双曲线的两支各有一个交点的弦中，最短弦的弦长为实轴长，故；当在的左支上时，因为在过焦点且与双曲线的左支有两个交点的弦中，当轴时，最小，此时，，故的最小值为1，故D正确.故选：B.【变式4-2】（2025·天津·调研）已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围.【详解】抛物线的准线与轴交于，则，设的中点为，，则，在的渐近线上存在点，使得，是以为圆心，半径为的圆与渐近线有公共点，所以，，所以.故选：D【变式4-3】（2025·天津·一模）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解.【详解】如图所示：设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，又，则，所以平行四边形为矩形，故，设，，则，在中，，，所以，则，所以，令，得，又由，得，因为对勾函数在上单调递增，所以，所以，即，则，故，所以，所以双曲线离心率的取值范围是，故选：A1．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率.【详解】由题意，，设，则，，因为原点O在以线段为直径的圆上，可得，所以，即①，又直线的斜率，可得②，联立①②可得，即，又点在双曲线上，可得，又，解得，所以.故选：B.2．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率.【详解】设过点且倾斜角为的直线为，与双曲线的渐近线联立可得:,,同理与双曲线的渐近线联立可得:,,由为等边三角形，则的中点坐标为，由题意可得：，即，，，，,所以解得,故选：A.3．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取最小值为b，所以，再根据为直角三角形，可得，再在利用余弦定理可得离心率.【详解】根据题意如图：

点，其中一条渐近线为即，所以的最小值为点到直线的距离，所以，因为为直角三角形，所以，在中，，即，∵，∴，∴，即的离心率为，故选：D.4．（2025·天津·二模）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作，垂足为，则，设，则，由直线的斜率为，得出，在中由余弦定理即可求解．【详解】过点作，垂足为，则，如图所示，设，则，所以，所以，则，因为直线的斜率为，所以，则，在中，，在中，，由余弦定理得，，整理得，，故选：D．

5．（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】分情况设出焦半径，由向量数量积为零，可得垂直，利用勾股定理，建立齐次方程，可得答案.【详解】①当时，由，则，由，则，所以，即，由，，则，化简可得，由，则；②当时，由，则，由，则，所以，即，由，，则，由，则方程不成立.故选：D.6．（2025·天津和平·一模）已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B．3 C．2 D．【答案】D【分析】先将代入双曲线，得到两点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，利用，构造出关于的方程，结合双曲线中，得到离心率的方程，解出离心率.【详解】根据题意，画出示意图，如图所示，则的横坐标都为，代入双曲线方程得,而，所以直线方程为，令，得，所以直线:，令得，，因为，所以可得，整理得，所以.故选：D.7．（2025·天津南开·一模）设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根据题意画出图形，设点在第一象限，根据已知条件得到点在以原点为圆心，为半径的圆上，联立，解得，从而得到，利用正切值得到，再转化为的齐次方程求解即可.【详解】如图所示，设点在第一象限，，因为，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上.，解得.又因为，所以.在中，，，，所以，即.所以，，，即，所以.故选：C8．（2024·天津河西·二模）已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】利用余弦定理构建齐次方程，求解离心率即可.【详解】由题意得，设一条渐近线的方程为，所以，由勾股定理得，因为垂直于渐近线，所以，因为，所以，而，在中，由余弦定理得，因为，所以，化简得，所以，故，则B正确.故选：B9．（2024·天津·二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由双曲线的对称性可得，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率.【详解】由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，则，即，，所以.故选：B10．（2024·天津武清·模拟预测）双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，下列结论不正确的是（

）A．离心率为2 B．C． D．【答案】D【分析】对于A：根据垂直关系可得的值，进而可求得离心率，对于B：分析可知为线段的中垂线，即可得结果；对于C：联立直线方程与双曲线方程可求得点坐标，由点、点、点纵坐标可知、为线段的三等分点，结合三角形面积公式判断即可；对于D：由求解即可.【详解】如图所示，由题意知，，直线方程为，对于选项A：因为，则，整理得，所以离心率，故A正确；对于选项B：由选项A可知：直线的斜率分别为，可知，即为线段的中垂线，所以，故B正确；对于选项C：过作垂足为，过作垂足为，过作垂足为，如图所示，由选项A可知：直线方程为，直线方程为，联立方程，解得，即，联立方程，解得，即，联立方程，解得（负值舍去），即，所以，，，可知，即、为线段的三等分点，所以，设到直线距离为，则，，所以，故C正确；对于选项D：如图所示，由选项A可知：，所以，故D不正确；故选：D.11．（2024·天津·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．3 C