2026年高考数学复习讲练测答题模板05 函数选填压轴题有关的5类核心题型（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）（原卷版）

答题模板05函数选填压轴题有关的5类核心题型（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）目录第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具【结论背记清单】方法一函数对称性的应用及解题技巧方法二解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧方法三整数解的应用及解题技巧方法四零点的应用及解题技巧方法五切线与公切线的应用及解题技巧第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。【题型01】函数对称性的应用【题型02】解不等式（含分段函数）的应用【题型03】整数解的应用【题型04】零点的应用【题型05】切线与公切线的应用第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。

2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）近几年高考数学对函数选填压轴题的考查，已从单一性质判断转向复杂情境下的综合应用与思维渗透。试题常以函数四大基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）及导数的几何意义为核心纽带，与方程、不等式、图像变换、整数解、零点存在性等深度融合，并强调在抽象符号、分段结构、多函数交互等情境中，考查逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养。备考需重点关注函数作为“代数关系”与“图形特征”的双重属性及其相互转化。核心考查三大方向：一是性质的综合与转化，如对称性与周期性的互推、抽象等式的具体化；二是数形结合的深度应用，包括利用图像解不等式、判零点、分析动态趋势；三是从连续到离散的数学思维，如在函数背景下求整数解、确定参数范围时的界点分析。2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）学生常见误区：对抽象函数符号等式理解表面化，不能有效转化为直观性质或图形特征；解含参、分段不等式时分类逻辑混乱，或过度依赖代数计算而忽视图像解法；处理整数解、零点个数等问题时，策略单一，不善利用单调性、值域预先缩小范围；求切线特别是公切线时，列方程不完整或求解后缺少验证。这暴露出在抽象转化、逻辑划分、数形结合、模型化归等综合能力上的短板。模块说明：模块说明：构建思维框架，提炼通用解法1.模模块化知识体系：熟记函数选填压轴题有关的5类核心题型（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。结论背记一、基础公式/基础结论函数的对称性轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为函数的零点对于函数，我们把的实数叫做函数的零点函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标方程的实数解函数的零点函数的图象与轴有交点零点存在性定理如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：技法归纳方法一函数对称性的应用及解题技巧函数的对称性是函数图象的重要特征，包括轴对称和中心对称。在高考中，对称性常与函数解析式、函数值计算、零点等问题结合。解题时，可利用对称性简化计算，或通过已知对称性反求参数。核心在于掌握对称性的代数表达形式，并能灵活进行“图象变换”与“解析式变换”之间的转换。第一步：识别对称类型根据条件判断对称性：

轴对称：若，则的对称轴为。

中心对称：，则的对称中心为。

反函数对称：函数与其反函数关于直线y=x

对称。第二步：利用对称性简化问题求值：利用对称点的函数值关系简化计算。

求零点：若零点唯一且函数有对称性，则零点必在对称轴或对称中心上。

求解析式：通过对称变换反解原函数解析式。第三步：特殊技巧——反解变换当图象关于直线

y=−x、y=x

等对称时，通过坐标代换反解解析式。例如：关于y=−x

对称，则将(x,y)

换为(−y,−x)

代入。第四步：列方程求参数利用对称性条件建立方程，求解参数。注意检验例题1（全国·高考真题）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则A． B． C． D．例题2若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．例题3已知函数的图象关于直线对称，则.例题4若满足，满足，则等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5方法二解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧解函数不等式（特别是含抽象函数或分段函数）时，核心是利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质去掉对应法则，转化为普通不等式。对于分段函数，需结合分段讨论。特值法可快速排除错误选项，是选择题的利器。第一步：分析函数性质判断函数的奇偶性、单调性、周期性等。单调性是脱去

f

的关键。第二步：转化为具体不等式利用性质将f(g(x))>f(h(x))

转化为g(x)>h(x)

或

g(x)<h(x)（注意单调性决定不等号方向）。若为偶函数，注意利用(f(x)=f(x))第三步：分段函数分段处理对于分段函数，需根据自变量范围选择对应解析式，并注意分段点处的连续性。第四步：特殊技巧——特值法对于选择题，选取特殊值（如0、1、端点值等）代入验证，快速排除错误选项。所选值应能区分不同选项。第五步：综合求解结合函数性质、分段讨论结果，解不等式组，得到最终解集。例题5（全国·高考真题）设函数,则使成立的的取值范围是A． B．C． D．例题6已知，若成立，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．例题7已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例题8已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．方法三整数解的应用及解题技巧整数解问题通常指含参数的不等式（方程）有特定整数解的情况。解题关键在于“分离参数”后，利用函数的单调性分析整数点处的函数值关系，找到临界条件。常用“猜根法”确定整数解的可能取值，再通过边界条件求参数范围。注意区间端点开闭的取舍。第一步：分离参数将参数

k

分离到不等式的一边，另一边为关于x

的函数g(x)。问题转化为比较

k

与

g(x)

在整数点处的大小关系。第二步：分析函数性质分析g(x)

的单调性、极值等，画出大致图象，确定在整数点处的函数值变化趋势。第三步：确定整数解的可能值根据不等式成立的条件（如恰有一个整数解），结合图象，猜出整数解的可能值（如2、3等）。第四步：建立临界条件以猜得的整数解为中心，考虑其相邻整数。通常，不等式在目标整数处成立，在相邻整数处不成立，由此得到关于k

的不等式组。注意等号是否可取（开闭区间）。第五步：解不等式组求范围解出

k

的范围，并验证边界是否满足题意例题9已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．例题10已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题11若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例题12若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．方法四零点的应用及解题技巧函数零点问题主要涉及零点个数、零点范围、唯一零点等。解题方法主要有：1.图象法：将零点问题转化为两个函数图象的交点问题。2.性质分析法：利用函数单调性、极值、对称性等确定零点。3.特殊值法：对于唯一零点问题，可通过观察或对称性猜出零点，再代入验证求解参数。第一步：问题转化方程f(x)=0

的零点⇔函数y=f(x)

图象与

x

轴交点⇔两个函数y=f(x)

与y=g(x)

图象交点。第二步：分析函数性质分析函数的定义域、单调性、极值、奇偶性、周期性、对称性等。第三步：画图或计算图象法：画出函数草图，观察交点个数。

计算法：利用零点存在定理，找到函数值异号的区间。第四步：特殊技巧对称性求唯一零点：若函数有对称性且零点唯一，则零点必在对称轴或对称中心上。

分离参数后画图：将参数分离，转化为两个函数图象交点问题。第五步：综合结论根据分析，确定零点个数、范围或参数值。注意检验例题13（全国·高考真题）已知函数有唯一零点，则A． B． C． D．1例题14已知函数有唯一零点，则的值为（

）A． B． C． D．例题15若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题16已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．方法五切线与公切线的应用及解题技巧切线问题主要涉及求切线方程、判断切线个数、求参数范围等。公切线问题是两条曲线的切线是同一条直线，需要建立方程组求解。解题核心是：设切点，利用导数几何意义（切线的斜率等于切点处的导数值）和切点在切线上也满足曲线方程，建立方程（组）。数形结合可直观判断切线个数。第一步：求导对曲线函数求导，得到斜率表达式。第二步：设切点设切点坐标为(x0,f(x0)，则切线斜率k=第三步：写切线方程利用点斜式写出切线方程：y−f(x第四步：利用条件建立方程•

过曲线外一点：将点坐标代入切线方程。

•

公切线：设两条曲线的切点分别为

(x1,y1)

和第五步：特殊技巧——数形结合对于过一点作曲线的切线条数问题，可通过画出曲线和点的位置，直观判断。例如：点在曲线下方且在上方可作两条切线。第六步：求解方程解方程（组）得到切点坐标或参数值。注意整体代换或巧妙变形例题17若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（

）A．1 B． C． D．例题18若曲线与有公共的切线，则的最大值为（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1例题19已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（

）A． B．C． D．例题20从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．模块说明：模块说明：聚焦前沿题型，靶向提升解题能力1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。题型01函数对称性的应用（共6题）1．设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为．2．已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．2 B．1 C． D．3．已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．若函数的图象关于直线对称，则的值域为（

）A． B． C． D．5．已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．6．已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是.题型02解不等式（含分段函数）的应用（共4题）7．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．8．已知，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．9．设奇函数的定义域为，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．10．已知函数，，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．题型03整数解的应用（共4题）11．若关于x的不等式存在唯一的整数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．12．设函数，若有且仅有两个整数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．13．函数，若不等式最多只有一个整数解，则的取值范围为（

）A． B．C． D．14．已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．题型04零点的应用（共4题）15．已知函数有唯一零点，则实数（

）A． B．2 C． D．16．已知存在唯一零点，则实数的取值范围（

）.A． B． C． D．17．已知，是函数的两个零点，则（

）A．1 B．3 C．9 D．8118．已知函数，则函数的零点个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8题型05切线与公切线的应用（共4题）19．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（

）A．e B． C． D．20．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（

）A． B． C． D．21．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是.22．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．模块说明：模块说明：答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量23题1．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，若，则．2．已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（

）A．4 B．2 C．1 D．3．若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．4．已知函数的图象关于直线对称，且函数的最小值为1，则不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或5．若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（

）A． B． C． D．6．（多选）已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（）A． B．C． D．7．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．9．设函数，若