2026年高考数学复习讲练测专题05 数列选填常考题型归纳（题型专练）（解析版）

专题05数列选填常考题型归纳目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01等差数列、等比数列题型02等差、等比数列的性质题型03求数列的通项公式题型04数列与函数的关系题型05数列应用题第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01等差数列、等比数列【例1-1】在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（

）A． B． C．18 D．24【答案】C【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可.【详解】在正项等比数列中，设公比为，则，又，，10成等差数列，则，则，故，故选：C【例1-2】（25-26高三上·湖北·月考）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为．【答案】【分析】根据等差数列的前项和公式，等差数列下标和的性质可得，利用等比数列的通项公式结合求出公比，继而可得，再根据对数运算即可求解.【详解】设数列的公比为，由可得，所以，故，则，故，故答案为：.1．等差数列的通项公式（1）等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．（2）通项公式的推广：．2．等比数列的通项公式（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．（2）等比数列的通项公式推广形式：【变式1-1】（2025·湖北·模拟预测）正项等比数列的前n项和为，，则（

）A．6 B．9 C．8 D．11【答案】B【分析】由等比数列求和公式求得，进而可求解.【详解】设等比数列的公比为，则即，解得：，又，解得，则，故选：B【变式1-2】（2025·江苏·模拟预测）（多选）记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（

）A． B．成等比数列C．没有最小值 D．【答案】ABD【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，得到，结合等比数列的定义，等差数列的性质及求和公式，逐项分析判断，即可求解.【详解】对于A，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以A正确；对于B，数列的通项公式为，可得，则满足，所以成等比数列，所以B正确；对于C，由等差数列的前项和公式，可得，所以当时，取得最小值，所以C不正确；对于D，由等差数列的性质，可得，则，所以D正确.故选：ABD.【变式1-3】（25-26高三上·黑龙江·月考）（多选）设首项为1的数列前n项和为，已知，则下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列的前n项和C．数列的通项公式为 D．数列不是等比数列【答案】ABD【分析】条件可化为，结合等比数列定义可判断A正确，由A可求得的通项公式判断B，由的通项公式可求得的通项公式判断C，利用特殊值可判断D.【详解】又，数列是首项公比都为的等比数列，故选项A正确；由A知，，故B选项正确；又因为，当，，当，，，故选项C错误；，，所以数列不是等比数列，故选项D正确.故选：ABD题型02等差、等比数列的性质【例2-1】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（

）A．10 B．19 C．21 D．29【答案】B【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得.【详解】设项数为，则，.此数列共有19项.故选：B【例2-2】（25-26高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则.【答案】64【分析】利用等比数列的性质求解即可.【详解】由等比数列的性质得.故答案为：64.1．等差中项（1）若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．（2）在等差数列中，当时，．特别地，若，则．2.等差数列的前n项和（1）设等差数列的公差为，其前项和．（2）．数列是等差数列⇔（为常数）．（3），…也成等差数列，公差为．3.等比中项（1）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．（2）等比中项的推广：若时，则，特别地，当时，．4．等比数列的前n项和（1）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为（2）为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．【变式2-1】（25-26高三上·山西大同·月考）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得.【详解】设公比为，所以，当且仅当，即3时取等号，此时.故选：B.【变式2-2】（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数，项数为2025项的等差数列满足，且公差．若，则当时，（

）A．1012 B．1013 C．2024 D．2025【答案】B【分析】先分析函数的单调性和奇偶性，利用函数性质来分析条件中所给的等式，然后得出结论.【详解】因为的定义域为关于原点对称，又因为，所以是奇函数；因为奇函数在上单调递增，等差数列满足且，在内，的唯一解为，故的充要条件是数列关于原点对称，则中间项，且，，，则有，即.故选：B.【变式2-3】（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为则下列结论中一定正确的是（

）A．若则B．C．若则的最大值为1024D．构成等比数列【答案】BC【分析】利用等比数列的通项公式判断A、B；先根据已知条件求出首项和公比从而求得数列和的公式，再根据指数函数和一元二次函数的性质求出最大值判断C；当时，，不能构成等比数列可判断D.【详解】在等比数列中，，则，所以，A错误；，B正确；在等比数列中，，则，，，设，，当或时，可取得最大值10，此时取得最大值，C正确；当时，，不满足等比数列的定义，不能构成等比数列，D错误.故选：BC题型03求数列的通项公式【例3-1】（25-26高三上·重庆·期中）已知数列的前项和为，若，则（

）A．162 B．54 C．32 D．16【答案】B【分析】根据给定条件，利用，结合等比数列定义求解.【详解】在数列中，，当时，，两式相减得，则，而，解得，因此数列是首项为2，公比为3的等比数列，.故选：B【例3-2】已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解.【详解】因为，所以．因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故．故选：C1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．2、公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．3、累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：4、累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：5、构造数列法：（1）形如（其中均为常数且）型的递推式：方法技巧：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得【变式3-1】已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由得到，利用累加法求出，则.【详解】因为，所以即；所以即；所以，而也符号该式，故故选：D【变式3-2】（25-26高三上·安徽六安·月考）设数列的前项和为，，且，则的最小值为（

）A． B．14 C．9 D．8【答案】D【分析】由题意可得，利用累乘法求得，进而，则.设，利用导数研究函数的性质即可求解.【详解】由，得，则，各式相乘得，得，又，所以，则为等差数列，得.所以，设，则，令，所以在上单调递减，在上单调递增.又，所以当或时，取到最小值8.故选：D【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围.【详解】由数列为递增数列，，得，由，得，即，因此，数列是以为首项，为公比的等比数列，，整理得，而，则，整理得，因此，解得，所以的取值范围是.故选：C题型04数列与函数的关系【例4-1】（25-26高三上·湖北·期中）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（

）A．4048 B．4049 C．4050 D．4051【答案】B【分析】由，得到，继而推出，再结合，得到，，再结合求和公式即可判断.【详解】由，，得，则，所以，由和得，结合，，故使得的的最小值为4049.故选：B【例4-2】（25-26高三上·河南郑州·期中）已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（

）A．2025 B．2026 C．4050 D．4051【答案】C【分析】通过分析得等比数列为单调递减，且前项大于1，项以后小于1，再结合等比数列的性质可得.【详解】由，所以和中一个大于1一个小于1.若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以；若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与矛盾；所以，，等比数列是单调递减数列，且，.所以当时，，当时，.由等比数列性质，，所以，.当时，，单调递增且；当时，，,单调递减且；当时，，即，所以时，单调递减,又.所以，即时，单调递减且小于1.所以最大的自然数为.故选：C.1.在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（

）A．为单调数列 B．为递增数列C．有最大值 D．有最小值【答案】D【分析】由，可得或，然后逐项讨论.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，且或，即或.当时，为正负交替的摆动数列，不单调，A错误；因为，所以，所以当时，为正负摆动的数列，故不单调，B错误；又，且，①当时，由于，则，，所以有最小值，最大值；②当时，，所以为递增数列，所以其有最小值，无最大值；综上所述，有最小值，C错误，D正确．故选：D.【变式4-2】（25-26高三·全国·假期作业）等差数列中，，．记数列前n项和为，下列选项正确的是（

）A．数列的公差为3 B．取最小值时，C． D．数列的前10项和为50【答案】D【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式检验各选项即可求解．【详解】等差数列中，，，则，，A错误；所以，则，，故时，取得最小值，B错误；，C错误；数列的前10项和为，D正确．故选：D．【变式4-3】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知数列的前项和为，，，.若，有恒成立，则实数的最大值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根据等差中项的应用可知是以1为首项的等差数列，进而求出，代入题意中的不等式可得，设，根据对勾函数的性质计算即可求解.【详解】由，知数列是以1为首项的等差数列，又，所以公差，得.由，得，即，设，由对勾函数的图象与性质知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，取得最小值.所以，即t的最大值为.故选：C题型05数列应用题【例5-1】（25-26高三上·广东惠州·期中）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】根据正方形的性质，结合等比数列的定义、性质、前项和公式进行求解即可.【详解】因为正方形的边长为，所以正方形的对角线为，所以第二个正方形的边长为，所以第二个正方形的对角线为，所以第三个正方形的边长为，所以这些正方形的边长为为首项，为公比的等比数列，所以这些正方形的面积为为首项，为公比的等比数列因此前6个正方形面积和为，故选：C【例5-2】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（

）（结果保留一位小数．参考数据：，）A．1.3日 B．1.5日 C．2.6日 D．2.8日【答案】C【分析】由题可设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列，莞（植物名）的长度组成等比数列，然后利用等比数列的前项和公式及对数的运算性质即得.【详解】由题可设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列，则，公比为，其前项和为，设莞（植物名）的长度组成等比数列，则，公比为2，其前项和为，所以，，由题意可得：，所以，解得或（舍去），∴，∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．【变式5-1】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是（

）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】C【解析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求出.【详解】设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，由题可得，解得，故塔的顶层的灯数是3.故选：C.【变式5-2】侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（

）A．Sn无限大 B．Sn<3(3＋)mC．Sn＝3(3＋)m D．Sn可以取100m【答案】B【分析】先找出规律，再用等比数列的求和公式可求解.【详解】由题意可得，外围第2个正方形的边长为＝m；外围第3个正方形的边长为＝m；……外围第n个正方形的边长为m.所以蜘蛛网的长度Sn＝4m＝4m×<4m×＝3(3＋)m.故选:B.【变式5-3】如图，在一个7行8列的数表中，第行第列的元素为，其中，则该数表中所有无重复的元素之和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，从而得到只有及两数是没有重复的，进而求解即可．【详解】由已知有，故在7行8列的数表中，只有第1行第1列及第7行第8列两数是没有重复的，则．故选：B．一、单选题1．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据递增数列的定义结合特例即可求解.【详解】若有数列为递增数列，则，当时，如：，满足，但数列不是递增数列，所以是数列为递增数列的必要不充分条件，故选：B.2．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（

）A．670 B．675 C．2025 D．4050【答案】B【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可.【详解】因为数列为正项等差数列，则，即，可得，，，，累乘可得.故选：B.3．（2025·四川凉山·一模）已知等比数列的前4项是关于x的方程的根，则数列的前4项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助韦达定理求出方程根的关系，再将数列的前4项和通分计算即可.【详解】设方程的根分别为，方程的根分别为，则数列的前四项组成的集合为,根据韦达定理可知，，所以，故数列的前4项和为，故选：D.4．（25-26高三上·福建福州·月考）已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（

）A．0 B． C． D．2【答案】D【分析】根据条件研究，进而可得.【详解】因为，，所以.所以.故选：D5．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据条件求解出的通项公式，再利用构造法求解出的通项公式，最后根据错位相减法求解出.【详解】设的公差为，因为，所以，所以，所以，所以，所以且，所以是首项为公差为的等差数列，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故选：D.6．（2025·江苏·模拟预测）一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（

）A． B．数列为等比数列C． D．【答案】C【分析】根据已知条件得到递推关系，进而推得是等比数列，逐项分析即可.【详解】因为正方体棱长为，所以内切球的半径（内切球直径等于正方体棱长）,对于球：球与正方体的三个面相切，故其球心坐标为；球与球相切，两球心距离为，该距离等于，由此得到递推关系：，整理得，所以是首项，公比的等比数列.对于A：，A正确；对于B：以上已证明，B正确；对于C：等比数列前项和，因为，所以，所以，C错误；对于D：球的体积，，因为是首项为，公比为的等比数列，所以所以，D正确；故选：C.7．（2025·上海普陀·一模）设，数列和满足，且，，现有如下两个命题：①若数列是等比数列，则数列是常数列：②设是数列的前项和，若取得最大值时，则能被7整除．则下列结论中正确的是（）A．①为真②为真 B．①为真②为假C．①为假②为真 D．①为假②为假【答案】A【分析】对于①：结合等比数列的定义，采用反证法证明；对于②分析的取值，可得的关系，得出，据此可求出的最大值时的，再根据二项式定理处理整除问题.【详解】假设为等比数列，而不为常数列，则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中，所以，则等比数列的公比为.又，得等比数列的公比为，与式矛盾，所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，故①为真命题；当时，，当时，，当时，，当时，.综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）.又由题意可知，所以，所以，而，故，所以取得最大值时为，此时，，故，根据二项式定理可知，故除以7余数为1，所以可以被7整除，故②为真命题.故选：A.二、多选题8．（25-26高三上·江苏·月考）已知数列的前4项为1，0，1，0，则下列各式可作为数列的通项公式的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据题目条件结合数列的性质和三角函数，对每个选项代入前四项判断是否满足前4项为1，0，1，0.【详解】逐一验证前4项：选项A，，，，，符合条件，A选项正确.选项B，，，，，符合条件，B选项正确.选项C，当时，，故.计算得，，，，符合条件，C选项正确.选项D，，不符合首项，D选项错误.故选：ABC9．（25-26高三上·广东清远·月考）记为等比数列的前项和，为的公比，；若，，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用等比数列的基本量逐项计算判断.【详解】对于A：由，解得，A正确；对于B：，B错误；对于C：，C错误；对于D：，D正确；故选：AD.10．（25-26高三上·江苏南通·期中）设等差数列的前n项的和为，若，，则（）A． B．C．当时，取最大值 D．数列是递减数列【答案】ACD【分析】根据等差数列性质可得，.对于A：根据通项公式可得，；对于B：根据等差数列性质可得，即可判断；对于C：分析数列的符号性，进而判断的最值；对于D：整理可得，结合数列单调性的定义分析判断.【详解】因为，，则，对于选项A：可得公差，，故A正确；对于选项B：可得，故B错误；对于选项C：因为等差数列为递减数列，当时，；当时，；所以当时，取最大值，故C正确；对于选项D：因为，则，所以数列是递减数列，故D正确；故选：ACD.11．（25-26高二上·重庆·期中）若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】AB【分析】根据等差数列的求和公式，可判定A、B正确；结合特例法，可判定C、D不正确.【详解】对于A，根据等差数列的求和公式，可得，所以A正确；对于B，根据等差数列的求和公式，可得，所以B正确；对于C，取，可得，而，所以C错误；对于D，取，可得，而，所以D错误.故选：AB.12．（25-26高三上·江西南昌·期中）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；⋯；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第次操作去掉的区间长度记为，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据题意，结合等比数列的定义，分析可得的表达式，根据其单调性，即可判断A的正误；根据的表达式，代入整理，可判断B的正误；根据对