2026年高考数学复习讲练测专题05 数列选填常考题型归纳（题型专练）（原卷版）

专题05数列选填常考题型归纳目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01等差数列、等比数列题型02等差、等比数列的性质题型03求数列的通项公式题型04数列与函数的关系题型05数列应用题第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01等差数列、等比数列【例1-1】在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（

）A． B． C．18 D．24【例1-2】（25-26高三上·湖北·月考）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为．1．等差数列的通项公式（1）等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．（2）通项公式的推广：．2．等比数列的通项公式（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．（2）等比数列的通项公式推广形式：【变式1-1】（2025·湖北·模拟预测）正项等比数列的前n项和为，，则（

）A．6 B．9 C．8 D．11【变式1-2】（2025·江苏·模拟预测）（多选）记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（

）A． B．成等比数列C．没有最小值 D．【变式1-3】（25-26高三上·黑龙江·月考）（多选）设首项为1的数列前n项和为，已知，则下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列的前n项和C．数列的通项公式为 D．数列不是等比数列题型02等差、等比数列的性质【例2-1】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（

）A．10 B．19 C．21 D．29【例2-2】（25-26高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则.1．等差中项（1）若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．（2）在等差数列中，当时，．特别地，若，则．2.等差数列的前n项和（1）设等差数列的公差为，其前项和．（2）．数列是等差数列⇔（为常数）．（3），…也成等差数列，公差为．3.等比中项（1）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．（2）等比中项的推广：若时，则，特别地，当时，．4．等比数列的前n项和（1）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为（2）为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．【变式2-1】（25-26高三上·山西大同·月考）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（

）A． B． C． D．【变式2-2】（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数，项数为2025项的等差数列满足，且公差．若，则当时，（

）A．1012 B．1013 C．2024 D．2025【变式2-3】（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为则下列结论中一定正确的是（

）A．若则B．C．若则的最大值为1024D．构成等比数列题型03求数列的通项公式【例3-1】（25-26高三上·重庆·期中）已知数列的前项和为，若，则（

）A．162 B．54 C．32 D．16【例3-2】已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．2、公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．3、累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：4、累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：5、构造数列法：（1）形如（其中均为常数且）型的递推式：方法技巧：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得【变式3-1】已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【变式3-2】（25-26高三上·安徽六安·月考）设数列的前项和为，，且，则的最小值为（

）A． B．14 C．9 D．8【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型04数列与函数的关系【例4-1】（25-26高三上·湖北·期中）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（

）A．4048 B．4049 C．4050 D．4051【例4-2】（25-26高三上·河南郑州·期中）已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（

）A．2025 B．2026 C．4050 D．40511.在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（

）A．为单调数列 B．为递增数列C．有最大值 D．有最小值【变式4-2】（25-26高三·全国·假期作业）等差数列中，，．记数列前n项和为，下列选项正确的是（

）A．数列的公差为3 B．取最小值时，C． D．数列的前10项和为50【变式4-3】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知数列的前项和为，，，.若，有恒成立，则实数的最大值为（

）A．3 B． C． D．题型05数列应用题【例5-1】（25-26高三上·广东惠州·期中）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（

）A． B． C． D．8【例5-2】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（

）（结果保留一位小数．参考数据：，）A．1.3日 B．1.5日 C．2.6日 D．2.8日【变式5-1】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是（

）A．1 B．2 C．3 D．6【变式5-2】侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（

）A．Sn无限大 B．Sn<3(3＋)mC．Sn＝3(3＋)m D．Sn可以取100m【变式5-3】如图，在一个7行8列的数表中，第行第列的元素为，其中，则该数表中所有无重复的元素之和为（

）A． B． C． D．一、单选题1．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（

）A．670 B．675 C．2025 D．40503．（2025·四川凉山·一模）已知等比数列的前4项是关于x的方程的根，则数列的前4项和为（

）A． B． C． D．4．（25-26高三上·福建福州·月考）已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（

）A．0 B． C． D．25．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（

）A． B． C． D．6．（2025·江苏·模拟预测）一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（

）A． B．数列为等比数列C． D．7．（2025·上海普陀·一模）设，数列和满足，且，，现有如下两个命题：①若数列是等比数列，则数列是常数列：②设是数列的前项和，若取得最大值时，则能被7整除．则下列结论中正确的是（）A．①为真②为真 B．①为真②为假C．①为假②为真 D．①为假②为假二、多选题8．（25-26高三上·江苏·月考）已知数列的前4项为1，0，1，0，则下列各式可作为数列的通项公式的是（）A． B．C． D．9．（25-26高三上·广东清远·月考）记为等比数列的前项和，为的公比，；若，，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．10．（25-26高三上·江苏南通·期中）设等差数列的前n项的和为，若，，则（）A． B．C．当时，取最大值 D．数列是递减数列11．（25-26高二上·重庆·期中）若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则12．（25-26高三上·江西南昌·期中）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；⋯；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第次操作去掉的区间长