2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题．1．直线与圆的位置关系与判断方法方法过程依据结论代数法联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4acΔ>0eq\x(\s\up1(01))相交Δ＝0eq\x(\s\up1(02))相切Δ<0eq\x(\s\up1(03))相离几何法计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系deq\x(\s\up1(04))＜r相交deq\x(\s\up1(05))＝r相切deq\x(\s\up1(06))＞r相离2.圆与圆位置关系的判定(1)几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系图示d与r1，r2的关系外离eq\x(\s\up1(07))d＞r1＋r2外切eq\x(\s\up1(08))d＝r1＋r2相交eq\x(\s\up1(09))|r1－r2|＜d＜r1＋r2内切d＝eq\x(\s\up1(10))|r1－r2|(r1≠r2)内含0≤d＜eq\x(\s\up1(11))|r1－r2|(r1≠r2)(2)代数法通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))eq\a\vs4\al(一元,二次,方程)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0⇒\x(\s\up1(12))相交；,Δ＝0⇒\x(\s\up1(13))内切或外切；,Δ<0⇒\x(\s\up1(14))内含或外离Ｗ.))1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(3)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．1．若圆C：x2＋2x＋y2－3＝0，则直线l：mx＋y＝0与圆C的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切答案：A解析：直线l：mx＋y＝0经过定点(0，0)，由于02＋2×0＋02－3＝－3<0，则定点在圆内．故直线l：mx＋y＝0与圆C的位置关系是相交．故选A.2．(人教A选择性必修第一册习题2.5T14(1)改编)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(6) D．2eq\r(3)答案：D解析：直线方程为y＝eq\r(3)x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心(0，2)到直线的距离d＝eq\f(|\r(3)×0－2|,2)＝1，所以所求弦长为2×eq\r(22－12)＝2eq\r(3).3．(人教B选择性必修第一册2.3.3练习BT1改编)圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq\r(3))处的切线方程为()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0答案：D解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.∵P(1，eq\r(3))在圆Q上，∴所求切线方程为(1－2)(x－2)＋(eq\r(3)－0)(y－0)＝4，即x－eq\r(3)y＋2＝0.4．(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T1改编)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是()A．外离 B．相交C．内切 D．外切答案：B解析：易得圆C1的圆心为C1(－2，2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2，5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝eq\r([2－（－2）]2＋（5－2）2)＝5，因为|4－2|<|C1C2|<4＋2，所以两圆相交．5．(人教A选择性必修第一册习题2.5T9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为____________．答案：x－y＋2＝0解析：将两圆方程相减，得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.考向一直线与圆的位置关系(1)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案：ABD解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2)))解析：A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上，设A′B所在直线为直线l，所以直线l的方程为y＝eq\f(a－3,－2)x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0.圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1，依题意，圆心到直线l的距离d＝eq\f(|－3（a－3）－4－2a|,\r(（a－3）2＋22))≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,2)，即a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))).1．判断直线与圆的位置关系的常见方法几何法利用d与r的关系判断代数法联立方程之后利用Δ判断点与圆的位置关系法若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想转化为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程(组)或不等式(组)求解．1.(2025·河南三门峡模拟)已知圆C1：x2＋y2－2ax＋4by＋4＝0，则直线ax－2by＋2＝0与圆C2：x2＋y2＝1的位置关系是________．答案：相交解析：因为(x－a)2＋(y＋2b)2＝a2＋4b2－4表示圆C1的方程，所以a2＋4b2－4>0，即a2＋4b2>4.因为圆C2的圆心到直线ax－2by＋2＝0的距离为eq\f(|2|,\r(a2＋（2b）2))＝eq\f(2,\r(a2＋4b2))<eq\f(2,2)＝1，所以直线ax－2by＋2＝0与圆C2：x2＋y2＝1相交．2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．答案：(－3eq\r(2)，3eq\r(2))解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝eq\f(|－a|,\r(2))<3，解得－3eq\r(2)＜a＜3eq\r(2).考向二直线与圆的综合问题角度1圆的切线问题已知点P(eq\r(2)＋1，2－eq\r(2))，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．解：由题意，得圆心C(1，2)，半径r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴切线的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝1，∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－eq\r(2))＝1·[x－(eq\r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，∴直线x－3＝0是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离为d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切线方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\r(5)，∴过点M的圆C的切线长为eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k.注意：检验切线斜率不存在的情况．1.(2025·北京房山模拟)已知圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)与直线x－y＋2＝0相切，则r＝()A．2 B．eq\r(6)C．2eq\r(3) D．3eq\r(2)答案：D解析：圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)的圆心为(1，－3)，半径为r，依题意，r＝eq\f(|1－（－3）＋2|,\r(12＋（－1）2))＝3eq\r(2).故选D.2．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案：eq\r(7)解析：设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，点M的坐标为(3，0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，则|PM|最小，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，∴|PM|的最小值为2eq\r(2)，此时|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)＝eq\r(（2\r(2)）2－1)＝eq\r(7).角度2圆的弦长问题(1)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0答案：B解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1，2)到直线l的距离d＝eq\r(25－42)＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则有eq\f(|3k－2|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq\f(5,12)，此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.综上，直线l的方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(2)(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2 B．3C．4 D．2eq\r(5)答案：C解析：因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0，得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,y＋2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))故直线恒过点(1，－2)，设点P(1，－2)，将圆的方程化为标准方程，得x2＋(y＋2)2＝5，设圆心为C，画出直线与圆，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，此时|PC|＝1，|AC|＝eq\r(5)，故|AB|＝2|AP|＝2eq\r(|AC|2－|PC|2)＝2eq\r(5－1)＝4.故选C.(3)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为eq\f(8,5)”的m的一个值：________．答案：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一个皆可以))解析：设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2eq\r(4－d2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×d×2eq\r(4－d2)＝eq\f(8,5)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)或d＝eq\f(2\r(5),5)，因为d＝eq\f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq\f(2,\r(1＋m2))，所以eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(4\r(5),5)或eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(2\r(5),5)，解得m＝±eq\f(1,2)或m＝±2.求直线被圆截得的弦长的常用方法几何法直线被圆截得的半弦长eq\f(l,2)、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋d2代数法将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系求弦长．弦长公式如下：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)(k≠0)(多选)(2025·安徽合肥模拟)已知直线l：mx－y－m＋3＝0(m∈R)及圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝3，则()A．直线l过定点B．直线l截圆C所得弦长的最小值为2C．存在m，使得直线l与圆C相切D．存在m，使得圆C关于直线l对称答案：ABD解析：对于A，由直线l：mx－y－m＋3＝0⇒m(x－1)＋(3－y)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,3－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以直线l过定点(1，3)，故A正确；对于B，由圆的标准方程可得圆心为C(2，4)，半径r＝eq\r(3)，直线l过定点M(1，3)，又(1－2)2＋(3－4)2＝2<3，所以定点M在圆C内，故当l⊥CM时，直线l截圆C所得的弦长最短，因为|CM|＝eq\r(2)，则最短弦长为2eq\r(（\r(3)）2－（\r(2)）2)＝2，故B正确；对于C，因为定点M(1，3)在圆C内，所以直线l与圆C一定相交，不可能相切，故C错误；对于D，当直线l过圆心C时，满足题意，此时2m－4－m＋3＝0，解得m＝1，故D正确．故选ABD.考向三两圆的位置关系(1)(2025·山东名校联考)已知圆M：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)的圆心到直线3x＋2y＝2的距离是eq\r(13)，则圆M与圆N：(x－2)2＋(y＋2)2＝1的位置关系是()A．相离 B．相交C．内切 D．内含答案：D解析：圆M：x2＋y2＋2ay＝0⇒x2＋(y＋a)2＝a2，所以圆心为M(0，－a)，半径为a.由点到直线的距离公式得eq\f(|2a＋2|,\r(32＋22))＝eq\f(|2a＋2|,\r(13))＝eq\r(13)，且a>0，所以a＝eq\f(11,2).又圆N的圆心为N(2，－2)，半径为1，所以|MN|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(65),2)，|a－1|＝eq\f(9,2).因为0≤eq\f(\r(65),2)<eq\f(9,2)，所以两圆内含．故选D.(2)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是()A．C1与C2的公切线恰有4条B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0C．C1与C2相交弦的弦长为eq\f(12,5)D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12答案：BD解析：由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，|C1C2|＝eq\r(（3－0）2＋（4－0）2)＝5，r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，圆心C1到相交弦的距离为eq\f(9,5)，故相交弦的弦长为2eq\r(9－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))\s\up12(2))＝eq\f(24,5).若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12.故选BD.1．判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．2．两圆公共弦长的求法先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq\f(l,2)，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．1.已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为________．答案：(x＋3)2＋(y＋3)2＝18解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)．∵x2＋y2＋10x＋10y＝0可化为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，∴其圆心为(－5，－5)，半径为5eq\r(2).∵两圆相切于原点O，且圆C过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x＋5)2＋(y＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝r2，,\r(（a＋5）2＋（b＋5）2)＝5\r(2)－r，,（0－a）2＋（－6－b）2＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－3，,r＝3\r(2)，))∴圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.2．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：________．答案：x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(填一个即可)解析：如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1；②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝eq\f(4,3)x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(4,3)x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)，))由对称性可知公切线l2过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,3))).设公切线l2的方程为y＋eq\f(4,3)＝k(x＋1)，则点O(0，0)到公切线l2的距离为1，所以1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k－\f(4,3))),\r(k2＋1))，解得k＝eq\f(7,24)，所以公切线l2的方程为y＋eq\f(4,3)＝eq\f(7,24)(x＋1)，即7x－24y－25＝0；③还有一条公切线l3与直线l：y＝eq\f(4,3)x垂直．设公切线l3的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋t，易知t＞0，则点O(0，0)到公切线l3的距离为1，所以1＝eq\f(|t|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))\s\up12(2)＋（－1）2))，解得t＝eq\f(5,4)，所以公切线l3的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.课时作业一、单项选择题1．(2024·安徽黄山三模)直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的公共点的个数为()A．0 B．1C．2 D．1或2答案：C解析：由直线l：ax＋y－2＝0，可得直线l过定点(0，2)，又由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，可得点(0，2)在圆C上，因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选C.2．(2025·山东潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－2x＝0，则过点P(3，0)的圆C的切线方程是()A．y＝±eq\f(1,2)(x－3) B．y＝±2(x－3)C．y＝±eq\f(\r(3),3)(x－3) D．y＝±eq\r(3)(x－3)答案：C解析：将P(3，0)代入圆C的方程，得32＋02－2×3＝3>0，则该点在圆外，将圆C：x2＋y2－2x＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1，则其圆心为(1，0)，半径为1，当切线斜率不存在时，直线方程为x＝3，显然不符合题意，故舍去，则设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则有eq\f(|－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，此时圆C的切线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)(x－3)．故选C.3．(2025·湖北八校联考)若过点(－2，0)且与圆x2＋y2＝1相切的两条直线的夹角为α，则cosα＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)答案：A解析：如图，过点A(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于B，C两点，则∠BAC为两直线的夹角，即∠BAC＝α，又OB⊥AB，|AO|＝2，|OB|＝1，所以在Rt△AOB中，∠BAO＝eq\f(π,6)，即∠BAC＝eq\f(π,3)，cos∠BAC＝eq\f(1,2)，即cosα＝eq\f(1,2).故选A.4．(2024·广东广州二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝eq\f(1,4)与圆O()A．外切 B．相交C．内切 D．没有公共点答案：B解析：直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＝1，得a2＋b2＝1.圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径R＝1，圆(x－a)2＋(y－b)2＝eq\f(1,4)的圆心为C(a，b)，半径r＝eq\f(1,2)，因为|CO|＝eq\r(（a－0）2＋（b－0）2)＝1，R－r<|CO|<R＋r，所以两圆相交．故选B.5．(2024·浙江杭州三模)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋t与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0相交于A，B两点，若∠ACB＝eq\f(2π,3)，则t＝()A．－eq\f(1,2)或－eq\f(11,2) B．－1或－6C．－eq\f(3,2)或－eq\f(13,2) D．－2或－7答案：C解析：由题意可知，圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0，化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，因为∠ACB＝eq\f(2π,3)，过点C作CD⊥AB于点D，如图所示，|AC|＝|BC|＝eq\r(5)，在Rt△ACD中，|CD|＝eq\r(5)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(5),2).所以圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|4＋t|,\r(5))＝eq\f(\r(5),2)，解得t1＝－eq\f(3,2)，t2＝－eq\f(13,2).故选C.6．若曲线y＝eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．(1，＋∞) D．(1，3]答案：A解析：根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝eq\r(4－x2)的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即eq\f(|4－2k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(3,4)；当直线l过点B时，直线l的斜率k＝eq\f(4－0,2－（－2）)＝1，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).故选A.7．(2025·广东名校联考)已知圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋a2＝0(a>0)与曲线eq\r(（x＋3）2＋y2)＝2eq\r(x2＋y2)有交点，则a的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4答案：A解析：由eq\r(（x＋3）2＋y2)＝2eq\r(x2＋y2)，整理得(x－1)2＋y2＝4，圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋a2＝0(a>0)化为标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，由题意可得圆(x－1)2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)有交点，又因为(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为r＝2，圆C的圆心为(a，a)，半径为R＝a，所以|2－a|≤eq\r(（a－1）2＋a2)≤2＋a，解得1≤a≤3＋2eq\r(3)，所以a的最小值为1.故选A.8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0答案：D解析：圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，则M(1，1)，点M到直线l的距离为d＝eq\f(|2×1＋1＋2|,\r(22＋12))＝eq\r(5)＞2，所以直线l与圆M相离．依圆的知识可知，点A，P，B，M四点共圆，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4×eq\f(1,2)|PA|×|AM|＝4|PA|，而|PA|＝eq\r(|PM|2－|AM|2)＝eq\r(|PM|2－4)，当直线l⊥PM时，|PM|最小，|PM|min＝eq\r(5)，则|PA|min＝1，此时|PM|·|AB|最小．直线PM的方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－1)，即y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋\f(1,2)，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以P(－1，0)．所以以PM为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0.两圆的方程相减可得2x＋y＋1＝0，即为直线AB的方程．故选D.二、多项选择题9．已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，则下列说法正确的是()A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m>eq\f(25,8)D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝eq\f(\r(14),2)答案：AC解析：圆O1：(x－1)2＋y2＝4的圆心为O1(1，0)，半径r1＝2，若m＝4，则圆O2：(x－5)2＋y2＝16，则圆心为O2(5，0)，半径r2＝4，可得|O1O2|＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2，则圆O1与圆O2相交，故A正确，B错误；若直线x－y＝0与圆O2相交，则圆心O2(5，0)到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(|5－0|,\r(2))<eq\r(4m)，解得m>eq\f(25,8)，故C正确；圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d1＝eq\f(|1－0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以|MN|＝2eq\r(req\o\al(2,1)－deq\o\al(2,1))＝2eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(14)，故D错误．故选AC.10．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝9，则下列四个命题表述正确的是()A．圆C上有且仅有3个点到直线l：x－eq\r(3)y－1＝0的距离等于1B．过点A(3，4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为4x＋4y－5＝0C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有eq\r(3)|eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))|－|eq\o(PQ,\s\up6(→))|≥0，则∠PCQ的最大值为eq\f(2π,3)D．若圆C与圆E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0外切，则m＝4答案：BC解析：圆心C(－1，0)，半径r＝3，圆心C到直线l：x－eq\r(3)y－1＝0的距离d＝eq\f(|－1－\r(3)×0－1|,\r(12＋（－\r(3)）2))＝1，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A错误；过点A(3，4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则A，C，M，N四点共圆，且AC为直径，方程为x2＋y2－2x－4y－3＝0，与圆C的方程相减可得，直线MN的方程为4x＋4y－5＝0，故B正确；设PQ的中点为D，则CD⊥PQ.因为eq\r(3)|eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))|－|eq\o(PQ,\s\up6(→))|≥0，即eq\r(3)·2|eq\o(CD,\s\up6(→))|≥2|eq\o(PD,\s\up6(→))|，可得eq\r(3)≥eq\f(|\o(PD,\s\up6(→))|,|\a\vs4\al(\o(CD,\s\up6(→)))|)＝tan∠DCP，则0<∠DCP≤eq\f(π,3)，故∠PCQ的最大值为eq\f(2π,3)，故C正确；圆E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0的圆心为E(2，4)，半径R＝eq\r(20－m2)，根据题意可得R＋r＝|CE|，即eq\r(20－m2)＋3＝5，解得m＝±4，故D错误．故选BC.11．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则()A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq\r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq\r(2)答案：ACD解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，4＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋（5－2）2－42)＝3eq\r(2)，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3eq\r(2)，故C，D正确．故选ACD.三、填空题12．(2025·山东济南模拟)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0与圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是________．答案：y＝－x＋1解析：由题意得，圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝8，圆心C1(－4，1)，半径r1＝2eq\r(2)，圆C2：(x＋3)2＋(y－2)2＝2，圆心C2(－3，2)，半径r2＝eq\r(2)，因为|C1C2|＝eq\r(2)＝r1－r2，所以两圆内切，公切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，kC1C2＝1，所以切线斜率为－1，由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋8x－2y＋9＝0，,x2＋y2＋6x－4y＋11＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))故圆C1与圆C2的切点坐标为(－2，3)，故公切线方程为y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋1.13．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．答案：－eq\f(3,4)或－eq\f(4,3)解析：圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径为1，根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(－2，－3)关于y轴的对称点(2，－3)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，由反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，可得eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).14．在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝eq\f(1,4)(m>0)，在圆上存在点P满足|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\f(\r(21),2)))解析：设点P(x，y)，由|PA|＝2|PB|可得(x＋1)2＋y2＝4[(x－2)2＋y2]，化简得(x－3)2＋y2＝4，即点P的轨迹是圆心为Q(3，0)，半径为r＝2的圆，因为点P在圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝eq\f(1,4)(m>0)上，所以圆Q和圆C有公共点，所以eq\b\