2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第2讲 两条直线的位置关系与距离公式

第2讲两条直线的位置关系与距离公式1.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行eq\x(\s\up1(01))k1＝k2且b1≠b2eq\x(\s\up1(02))A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)垂直eq\x(\s\up1(03))k1·k2＝－1eq\x(\s\up1(04))A1A2＋B1B2＝0相交eq\x(\s\up1(05))k1≠k2eq\x(\s\up1(06))A1B2－A2B1≠02.两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\x(\s\up1(07))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．三种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\x(\s\up1(08))eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\x(\s\up1(09))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq\x(\s\up1(10))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．1．三种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C0＝0.(3)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解)．2．五种常见的对称(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(4)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(5)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线间的距离时，应先将直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等．1．(人教A选择性必修第一册习题2.2T8改编)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案：A解析：因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设直线方程为x－2y＋C＝0，又直线经过点(1，0)，得出C＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0.故选A.2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A．－12 B．－2C．0 D．10答案：A解析：由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0，解得p＝－2.又因为垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，所以2＋10＋n＝0，解得n＝－12.故选A.3．(人教A选择性必修第一册习题2.3T9改编)若三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A．eq\r(5) B．eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(5)答案：A解析：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,x－y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∵三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，∴m＋2n＝5.则点(m，n)到原点的距离的最小值为原点到直线x＋2y＝5的距离d＝eq\f(5,\r(12＋22))＝eq\r(5).故选A.4．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程为()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)答案：C解析：点B(2，10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由对称性可得光线从A到B经过的路程为|AB′|＝eq\r(（－3－2）2＋[5－（－10）]2)＝5eq\r(10).故选C.5．已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则a＝________，此时l1与l2之间的距离为________．答案：－1eq\r(2)解析：由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又当a＝1时，l1与l2重合，不符合题意．所以a＝－1，此时l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0.所以l1与l2之间的距离d＝eq\f(|－1－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\r(2).考向一平行与垂直问题(1)(2025·广东八校开学联考)已知直线l1：－m2x＋y－1＝0，直线l2：(2m－3)x＋y－3＝0，则“m＝－3”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：因为l1∥l2，则－m2×1＝1×(2m－3)，且－1×(2m－3)≠－m2×(－3)，解得m＝1或m＝－3，所以“m＝－3”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选A.(2)(2025·河南郑州期末)满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是()①l1的斜率为2，l2经过点A(1，2)，B(4，8)；②l1经过点P(3，3)，Q(－5，3)，l2平行于x轴，但不经过点P；③l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0，5)．A．①② B．②③C．①③ D．①②③答案：B解析：对于①，∵l1的斜率为2，l2经过点A(1，2)，B(4，8)，故l2的斜率为eq\f(8－2,4－1)＝2，故l1与l2平行或重合；对于②，∵l1经过点P(3，3)，Q(－5，3)，∴l1的斜率为eq\f(3－3,－5－3)＝0，由于l2平行于x轴，但不经过点P，故l1∥l2成立；对于③，∵l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，∴l1的斜率为eq\f(－2－0,－5－（－1）)＝eq\f(1,2)，∵l2经过点R(－4，3)，S(0，5)，∴l2的斜率为eq\f(5－3,0－（－4）)＝eq\f(1,2)，而直线MR的斜率为eq\f(3－0,－4－（－1）)＝－1，故l1∥l2.故选B.(3)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．答案：0或1解析：解法一：l1的斜率k1＝eq\f(3a－0,1－（－2）)＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝eq\f(－2a－（－1）,a－0)＝eq\f(1－2a,a).因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·eq\f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.当a＝0时，得P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1，0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上，实数a的值为0或1.解法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，3a)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(a，1－2a)，由eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(PQ,\s\up6(→))可知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a＋3a－6a2＝0，解得a＝0或1.两直线位置关系的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．(3)已知两直线的一般方程设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(4)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免不必要的讨论．1.(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的值可以为()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,3)答案：ABC解析：若三条直线不能构成三角形，则三条直线要么相交于一点，要么存在平行直线．①若三条直线交于一点，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,4x＋3y＋5＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(1,3)，))代入mx－y－1＝0，得－m＋eq\f(1,3)－1＝0，∴m＝－eq\f(2,3)；②若存在平行直线，则3m＝2或3m＝－4，解得m＝eq\f(2,3)或m＝－eq\f(4,3).综上可知，实数m的可能取值为－eq\f(4,3)，－eq\f(2,3)，eq\f(2,3).故选ABC.2．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为____________．答案：4x－3y＋9＝0解析：解法一：由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝eq\f(4,3).由点斜式得，所求直线方程为y－eq\f(7,9)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3)))，即4x－3y＋9＝0.解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))可解得交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.解法三：由题意知直线x－3y＋4＝0不满足条件，设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0①，又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得，所求直线方程为4x－3y＋9＝0.考向二距离公式的应用(1)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋C1＝0和3x＋4y＋C2＝0，则|C1－C2|＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C．2 D．4答案：B解析：因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为eq\f(|1－3|,\r(12＋（－2）2))＝eq\f(2,\r(5))，3x＋4y＋C1＝0和3x＋4y＋C2＝0之间的距离为eq\f(|C1－C2|,\r(32＋42))＝eq\f(|C1－C2|,5)，于是有eq\f(|C1－C2|,5)＝eq\f(2,\r(5))，得|C1－C2|＝2eq\r(5).故选B.(2)已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则eq\r(a2＋b2)的最小值为________．答案：3解析：∵点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，而eq\r(a2＋b2)的几何意义是坐标平面内原点与点M间的距离，其最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离，∴(eq\r(a2＋b2))min＝eq\f(15,\r(32＋42))＝3.1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式．2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．1.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2答案：B解析：由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1，0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝eq\r(2).故选B.2．已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．答案：4x－y－2＝0或x＝1解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由题设有eq\f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq\f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4，此时直线方程为4x－y－2＝0；若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件．故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.考向三共点直线系问题已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))所以无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．(2)由方程知，当k≠0时，直线l在x轴上的截距为－eq\f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则必须有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意．综上，k的取值范围是[0，＋∞)．共点直线系中定点的求解方法(1)分离参数，假设直线方程中含有的参数为k，则将直线方程化为f(x，y)＋kg(x，y)＝0的形式．(2)解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x，y）＝0，,g（x，y）＝0，))若方程组有解，则可得定点坐标；若方程组无解，则说明直线不过定点．已知直线(3a－1)x－(a－2)y－1＝0.(1)求证：无论a为何值，直线总过第一象限；(2)若直线不经过第二象限，求a的取值范围．解：(1)证明：直线方程可化为(－x＋2y－1)＋a(3x－y)＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2y－1＝0，,3x－y＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5).))所以直线恒过定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5))).因为点M在第一象限，所以无论a为何值，直线总过第一象限．(2)当a＝2时，直线方程为x＝eq\f(1,5)，显然不经过第二象限；当a≠2时，直线方程化为y＝eq\f(3a－1,a－2)x－eq\f(1,a－2).因为直线不经过第二象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3a－1,a－2)≥0，,－\f(1,a－2)≤0，))解得a>2.综上，a的取值范围为[2，＋∞)．考向四对称问题角度1点(或直线)关于点的对称(1)直线3x－2y＝0关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的直线方程为()A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0答案：B解析：解法一：设所求直线上任意一点为(x，y)，则其关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))，因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))在直线3x－2y＝0上，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x))－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.解法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，设O，M关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))的对称点分别为O′，M′，则O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－3))，所以所求直线方程为eq\f(y－（－3）,0－（－3）)＝eq\f(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))),\f(2,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))，即3x－2y－2＝0.(2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．解：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.角度2点关于直线的对称在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．解：(1)如图，设点B关于直线l的对称点为B′，AB′的延长线交直线l于点P0，在l上另任取一点P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0.设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0.①又线段BB′的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))在直线l上，故3a－b－6＝0.②由①②，解得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0，))可得P0(2，5)．所以满足条件的点P的坐标为(2，5)．(2)设点C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(24,5))).连接AC′交直线l于P1，在直线l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．又直线AC′的方程为19x＋17y－93＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(19x＋17y－93＝0，,3x－y－1＝0，))解得P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).所以满足条件的点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).角度3直线关于直线的对称光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))∴反射点M的坐标为(－1，2)．取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq\f(2,3)＝eq\f(y0,x0＋5).而PP′的中点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，点Q在l上，∴3·eq\f(x0－5,2)－2·eq\f(y0,2)＋7＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)（x0－5）－y0＋7＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))根据直线的两点式方程可得，所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程组解题．注意：“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．“线关于线对称”转化为“点关于线对称”即可．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解：(1)设A′(x，y)，由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2·\f(x－1,2)－3·\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\f(a＋2,2)－3·\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)·\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)．又m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.解法二：∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得eq\f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得C＝－9，∴直线l′的方程为2x－3y－9＝0.解法三：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.课时作业一、单项选择题1．两条平行线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y＋1＝0之间的距离为()A.eq\r(2) B．1C．2 D．eq\r(3)答案：A解析：两条平行线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y＋1＝0之间的距离为eq\f(|1＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2).故选A.2．(2024·河南南阳三模)已知直线Ax＋By＋C＝0与直线y＝2x－3垂直，则()A．A＝－2B≠0 B．A＝2B≠0C．B＝－2A≠0 D．B＝2A≠0答案：D解析：直线y＝2x－3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－eq\f(1,2)，即－eq\f(A,B)＝－eq\f(1,2)且A≠0，B≠0，所以B＝2A≠0.故选D.3．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝()A．4 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)答案：A解析：直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋4，,y＝x＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(8,3)，))由于该点在直线y＝kx上，故eq\f(2k,3)＝eq\f(8,3)，解得k＝4.故选A.4．四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为()A．矩形 B．菱形C．等腰梯形 D．直角梯形答案：D解析：由kBC＝eq\f(7－4,4－0)＝eq\f(3,4)，kAD＝eq\f(6－0,11－3)＝eq\f(3,4)，kAB＝eq\f(4－0,0－3)＝－eq\f(4,3)，kCD＝eq\f(6－7,11－4)＝－eq\f(1,7)，∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边形ABCD为梯形，又kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形．5．(2025·江苏南京模拟)已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为()A．eq\r(5) B．eq\r(10)C．5 D．10答案：B解析：直线l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,y－2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以直线l过定点A(1，2)，当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为|AP|＝eq\r(（2－1）2＋（－1－2）2)＝eq\r(10).故选B.6．(2025·山东青岛模拟)已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则eq\r(（x－1）2＋（y－1）2)＋eq\r(（x－2）2＋y2)的最小值为()A．eq\r(5) B．2eq\r(2)C．eq\r(10) D．2eq\r(5)答案：D解析：eq\r(（x－1）2＋（y－1）2)＋eq\r(（x－2）2＋y2)表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1，1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，设点A(1，1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－1,x0－1)＝1，,\f(x0＋1,2)＋\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝－2，))所以A′(－2，－2)，则|A′B|＝eq\r(（－2－2）2＋（－2－0）2)＝2eq\r(5)，由图可知eq\r(（x－1）2＋（y－1）2)＋eq\r(（x－2）2＋y2)的最小值为2eq\r(5).7．(2025·湖北武汉模拟)设直线l：x＋y－1＝0，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(13),6)，则k的值为()A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．2答案：B解析：根据题意得原点O关于直线l：x＋y－1＝0的对称点为A(1，1)，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，根据eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,1＋k)，,y＝\f(k,1＋k)，))可知入射点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋k)，\f(k,1＋k)))，由A，P，M三点共线，解得M(1－k，0)．设点P关于x轴的对称点为P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋k)，\f(－k,1＋k)))，光线再次经x轴反射后与y轴交于点N，则P′，M，N三点共线，设N(0，b)，则eq\f(b－0,0－（1－k）)＝eq\f(\f(－k,1＋k)－0,\f(1,1＋k)－（1－k）)，解得b＝eq\f(1－k,k)，即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1－k,k)))，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(（1－k）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,k)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(13),6)，解得k＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,2)不符合题意，舍去)).故选B.8．已知实数a>0，b<0，则eq\f(\r(3)b－a,\r(a2＋b2))的取值范围是()A．[－2，－1) B．(－2，－1)C．(－2，－1] D．[－2，－1]答案：A解析：根据题意，设直线l：ax＋by＝0，点A(1，－eq\r(3))，那么点A(1，－eq\r(3))到直线l的距离d＝eq\f(|a－\r(3)b|,\r(a2＋b2))，因为a>0，b<0，所以d＝eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))，且直线l的斜率k＝－eq\f(a,b)>0.当直线l的斜率不存在时，d＝eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))＝1；当OA⊥l时(O为坐标原点)，d＝|OA|＝eq\r(1＋3)＝2，所以1<d≤2，即1<eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))≤2，因为eq\f(\r(3)b－a,\r(a2＋b2))＝－eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))，所以－2≤eq\f(\r(3)b－a,\r(a2＋b2))<－1.故选A.二、多项选择题9．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，直线l2：x＋my＋1＝0，则下列命题正确的是()A．直线l1恒过点(0，1)B．若直线l2的方向向量为(1，1)，则m＝－1C．若l1∥l2，则m＝±1D．若l1⊥l2，则m＝0答案：BD解析：把(0，1)代入直线l1的方程，等式不成立，A错误；若直线l2：x＋my＋1＝0的方向向量为(1，1)，则直线l2的斜率k＝eq\f(－1,m)＝1，得m＝－1，B正确；直线l1的方向向量为(1，－m)，直线l2的方向向量为(m，－1)，若l1∥l2，则有m2－1＝0，解得m＝±1，当m＝1时，l1与l2重合，C错误；若l1⊥l2，则有m＋m＝0，即m＝0，D正确．故选BD.10．已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：xsinα－y＋1＝0，则()A．当m变化时，l1的倾斜角不变B．当α变化时，l2过定点C．l1与l2可能平行D．l1与l2不可能垂直答案：AB解析：对于A，当m变化时，直线l1：3x＋2y－m＝0的斜率始终为k＝－eq\f(3,2)，所以l1的倾斜角不变，故A正确；对于B，直线l2：xsinα－y＋1＝0恒过定点(0，1)，故B正确；对于C，假设l1与l2平行，则－3＝2sinα，即sinα＝－eq\f(3,2)，这与sinα∈[－1，1]相矛盾，所以l1与l2不可能平行，故C错误；对于D，假设l1与l2垂直，则3sinα－2＝0，即sinα＝eq\f(2,3)，所以l1与l2可能垂直，故D错误．故选AB.11．若过点A(1，0)，B(2，0)，C(4，0)，D(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于()A．eq\f(16,17) B．eq\f(36,5)C．eq\f(26,5) D．eq\f(196,53)答案：ABD解析：当过点A和点C的直线平行，过点B和点D的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点C的直线为l1：y＝k(x－1)和l2：y＝k(x－4)，则过点B和点D的直线为l3：y＝－eq\f(1,k)(x－2)和l4：y＝－eq\f(1,k)(x－8)，其中l1和l2的距离与l3和l4的距离相等，即eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,k))),\r(1＋\f(1,k2)))，解得k＝±2，故正方形的边长为eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(6\r(5),5)，该正方形的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6\r(5),5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(36,5)；当过点A和点B的直线平行，过点C和点D的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点B的直线为m1：y＝n(x－1)和m2：y＝n(x－2)，则过点C和点D的直线为m3：y＝－eq\f(1,n)(x－4)和m4：y＝－eq\f(1,n)(x－8)，其中m1和m2的距离与m3和m4的距离相等，即eq\f(|n|,\r(1＋n2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,n))),\r(1＋\f(1,n2)))，解得n＝±4，故正方形的边长为eq\f(|n|,\r(1＋n2))＝eq\f(4\r(17),17)，该正方形的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(17),17)))eq\s\up12(2)＝eq\f(16,17)；当过点A和点D的直线平行，过点B和点C的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点D的直线为e1：y＝s(x－1)和e2：y＝s(x－8)，则过点B和点C的直线为e3：y＝－eq\f(1,s)(x－2)和e4：y＝－eq\f(1,s)(x－4)，其中e1和e2的距离与e3和e4的距离相等，即eq\f(|7s|,\r(1＋s2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,s))),\r(1＋\f(1,s2)))，解得s＝±eq\f(2,7)，故正方形的边长为eq\f(|7s|,\r(1＋s2))＝eq\f(14\r(53),53)，该正方形的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14\r(53),53)))eq\s\up12(2)＝eq\f(196,53).故选ABD.三、填空题12．已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，则两条平行直线之间的距离的最大值为________，此时两条平行直线的方程分别为______________．答案：3eq\r(10)3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0解析：两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，当AB与两条平行直线垂直时，两条平行直线之间的距离最大，为|AB|＝eq\r(（6＋3）2＋（2＋1）2)＝3eq\r(10)，故这两条平行直线之间的距离的最大值为3eq\r(10).因为直线AB的斜率kAB＝eq\f(2＋1,6＋3)＝eq\f(1,3)，故这两条平行直线的斜率为－3，则两条平行直线的方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.13．设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________．答案：2x－y－5＝0解析：∵∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，∴直线AB与直线BC关于直线x＝0对称，直线AC与直线BC关于直线y＝x对称．点A(－3，1)关于直线x＝0的对称点A′(3，1)在直线BC上，点A(－3，1)关于直线y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上．由两点式，得所求直线BC的方程为2x－y－5＝0.14．已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，直线FD的斜率的取值范围为________．答案：(4，＋∞)解析：∵A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，∴直线BC的方程为x＋y－2＝0，直线AC的方程为x－y＋2＝0，如图，作F关于直线BC的对称点P，∵F(1，0)，∴P(2，1)，再作P关于直线AC的对称点M，则M(－1，4)，连接MA，ME，且ME与AC交于点N，则直线ME的方程为x＝－1，∴