2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第2讲 基本不等式

第2讲基本不等式1.掌握基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值问题．1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：eq\x(\s\up1(01))a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当eq\x(\s\up1(02))a＝b时等号成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的eq\x(\s\up1(03))算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的eq\x(\s\up1(04))几何平均数．2．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当eq\x(\s\up1(05))x＝y时，x＋y有eq\x(\s\up1(06))最小值2eq\r(P)．(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当eq\x(\s\up1(07))x＝y时，xy有eq\x(\s\up1(08))最大值eq\f(S2,4)．(简记：“和定积最大”)1．常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)．(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(5)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)(a>0，b>0)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.2．轮换对称不等式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2＋b2≥2ab,a2＋c2≥2ac,b2＋c2≥2bc))eq\a\vs4\al(a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立)3．三元基本不等式eq\r(3,abc)≤eq\f(a＋b＋c,3)，其中a>0，b>0，c>0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．1．(2024·海口调研)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则eq\r(xy)的最大值为()A．9 B．18C．36 D．81答案：A解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝18，所以eq\r(xy)≤eq\f(x＋y,2)＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立，故eq\r(xy)的最大值为9.2．下列命题正确的是()A．若a，b∈R，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2B．若x>0，则x＋eq\f(1,x)>2C．若x∈R，则|sinx|＋eq\f(4,|sinx|)的最小值为4D．若x∈R，则2x2＋eq\f(1,2x2)的最小值为2答案：D解析：A项必须保证a，b同号；B项应含有等号，即若x>0，则x＋eq\f(1,x)≥2；C项，因为0<|sinx|≤1，y＝|sinx|＋eq\f(4,|sinx|)≥2eq\r(4)＝4，当且仅当|sinx|＝2时，等号成立，又|sinx|≠2，所以其最小值不为4.故选D.3．(人教A必修第一册习题2.2T1改编)若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取得最小值，则a＝()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．4答案：C解析：因为x>2，所以f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(（x－2）·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时，等号成立．故a＝3.4．(人教A必修第一册习题2.2T5改编)设x>0，则3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3 B．3－2eq\r(2)C．－1 D．3－2eq\r(3)答案：D解析：因为x>0，所以y＝3－3x－eq\f(1,x)＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq\r(3x·\f(1,x))＝3－2eq\r(3)，当且仅当3x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(3),3)时，等号成立．故选D.5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．答案：2eq\r(2)解析：∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2eq\r(x2·2y2)＝2eq\r(2)·eq\r(（xy）2)＝2eq\r(2)，当且仅当x2＝2y2，且xy＝1时，等号成立．考向一利用基本不等式求最值角度1利用配凑法求最值(1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则aeq\r(1＋b2)的最大值为()A.eq\r(7) B.eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2答案：D解析：因为4a2＋b2＝7，则aeq\r(1＋b2)＝eq\f(1,2)×(2a)×eq\r(1＋b2)＝eq\f(1,2)eq\r(4a2（1＋b2）)≤eq\f(1,2)×eq\f(4a2＋1＋b2,2)＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝eq\r(3)时，等号成立．故选D.(2)在下列条件下，求y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最值．①当x>eq\f(5,4)时，求最小值；②当x<eq\f(5,4)时，求最大值；③当x≥2时，求最小值．解：①∵x>eq\f(5,4)，∴4x－5>0，∴y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝4x－5＋eq\f(1,4x－5)＋3≥2＋3＝5，当且仅当4x－5＝eq\f(1,4x－5)，即x＝eq\f(3,2)时，等号成立．故当x＝eq\f(3,2)时，ymin＝5.②∵x<eq\f(5,4)，∴5－4x>0，∴y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立．故当x＝1时，ymax＝1.③当x≥2时，易知y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)单调递增，∴ymin＝4×2－2＋eq\f(1,4×2－5)＝eq\f(19,3).利用基本不等式求最值的条件和配凑方法提醒：注意配凑过程要进行等价变形；明确目标，即配凑出和或积为定值．1.当x＞0时，eq\f(3x,x2＋4)的最大值为________．答案：eq\f(3,4)解析：当x＞0时，eq\f(3x,x2＋4)＝eq\f(3,x＋\f(4,x))≤eq\f(3,2\r(x·\f(4,x)))＝eq\f(3,4)，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时，等号成立，即eq\f(3x,x2＋4)的最大值为eq\f(3,4).2．(2025·天津南开区模拟)当x>1时，eq\f(x2＋2,x－1)的最小值为________．答案：2eq\r(3)＋2解析：因为x>1，所以x－1>0，所以eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3,x－1)＝eq\f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2，当且仅当x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1时，等号成立，所以当x＝eq\r(3)＋1时，eq\f(x2＋2,x－1)取得最小值2eq\r(3)＋2.角度2利用常数代换法求最值(1)(2024·山东青岛一模)已知x，y为正实数，且x＋y＝1，则eq\f(x＋6y＋3,xy)的最小值为()A．24 B．25C．6＋4eq\r(2) D．6eq\r(2)－3答案：B解析：因为x，y为正实数，且x＋y＝1，所以eq\f(x＋6y＋3,xy)＝eq\f(x＋6y＋3（x＋y）,xy)＝eq\f(4x＋9y,xy)＝eq\f(9,x)＋eq\f(4,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝13＋eq\f(9y,x)＋eq\f(4x,y)≥13＋2eq\r(\f(9y,x)·\f(4x,y))＝25，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9y,x)＝\f(4x,y)，,x＋y＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,y＝\f(2,5)))时，等号成立，所以eq\f(x＋6y＋3,xy)的最小值为25.(2)(2025·陕西咸阳模拟)已知a>0，b>0，且eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b＋1)＝1，则a＋b的最小值为________．答案：2eq\r(2)＋1解析：由a>0，b>0，eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b＋1)＝1，得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(2,b＋1)))[(a＋1)＋(b＋1)]－2＝eq\f(b＋1,a＋1)＋eq\f(2（a＋1）,b＋1)＋1≥2eq\r(\f(b＋1,a＋1)·\f(2（a＋1）,b＋1))＋1＝2eq\r(2)＋1，当且仅当eq\f(b＋1,a＋1)＝eq\f(2（a＋1）,b＋1)，即a＝eq\r(2)，b＝eq\r(2)＋1时取等号，所以当a＝eq\r(2)，b＝eq\r(2)＋1时，a＋b取得最小值2eq\r(2)＋1.常数代换法求最值的适用情境及解题通法(1)适用情境有两个代数式，其中一个是整式ax＋by，另一个是分式eq\f(m,x)＋eq\f(n,y)，其中a，b，m，n为常数，通常均为正数．(2)解题通法利用(ax＋by)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)＋\f(n,y)))＝am＋bn＋eq\f(bmy,x)＋eq\f(anx,y)≥am＋bn＋2eq\r(abmn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(bmy,x)＝\f(anx,y)时，等号成立))得到结果．(2025·广西南宁模拟)已知m>0，n>0，命题p：2m＋n＝mn，命题q：m＋n≥3＋2eq\r(2)，则p是q的____________条件．答案：充分不必要解析：因为m>0，n>0，由2m＋n＝mn，得eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝1，则m＋n＝(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))＝3＋eq\f(n,m)＋eq\f(2m,n)≥3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＝\f(2m,n)，,2m＋n＝mn，))即m＝eq\r(2)＋1，n＝2＋eq\r(2)时取等号，因此p⇒q；因为m>0，n>0，由m＋n≥3＋2eq\r(2)，可取m＝1，n＝10，则2m＋n＝12，mn＝10，此时2m＋n≠mn，因此qp，所以p是q的充分不必要条件．角度3利用消元法、换元法求最值(1)(多选)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2ab－eq\f(3,2)，则()A．a>eq\f(3,4) B．a＋b≥3C．ab≥eq\f(9,4) D.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(4,3)答案：BCD解析：对于A，取a＝eq\f(3,4)，b＝eq\f(9,2)，满足a＋b＝2ab－eq\f(3,2)，但不满足a>eq\f(3,4)，故A错误；对于B，因为a＋b＝2ab－eq\f(3,2)，所以2ab＝a＋b＋eq\f(3,2)≤eq\f(（a＋b）2,2)，即[(a＋b)－3][(a＋b)＋1]≥0，所以a＋b≥3，当且仅当a＝b＝eq\f(3,2)时，等号成立，故B正确；对于C，a＋b＝2ab－eq\f(3,2)≥2eq\r(ab)，令eq\r(ab)＝t(t>0)，所以4t2－4t－3≥0，即(2t＋1)(2t－3)≥0，所以t≥eq\f(3,2)，即eq\r(ab)≥eq\f(3,2)，所以ab≥eq\f(9,4)，当且仅当a＝b＝eq\f(3,2)时，等号成立，故C正确；对于D，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(2ab－\f(3,2),ab)＝2－eq\f(\f(3,2),ab)，令ab＝m，由C项可知，m≥eq\f(9,4)，而函数y＝2－eq\f(\f(3,2),m)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，＋∞))上单调递增，所以2－eq\f(\f(3,2),m)≥eq\f(4,3)，当且仅当m＝eq\f(9,4)，即a＝b＝eq\f(3,2)时，等号成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(4,3)，故D正确．故选BCD.(2)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为________．答案：1解析：∵正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，∴z＝x2－3xy＋4y2，∴eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq\f(1,2\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3)＝1，当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝eq\f(2,2y)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,2y2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\s\up12(2)＋1≤1，当且仅当y＝1时取等号，所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值是1.利用消元法、换元法求最值(1)消元法根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．(2)换元法求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式求解．1.已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是()A．1 B．3C．6 D．12答案：B解析：∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝eq\f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq\f(3－x2,2x)＝eq\f(3x2＋3,2x)＝eq\f(3x,2)＋eq\f(3,2x)≥2eq\r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，当且仅当eq\f(3x,2)＝eq\f(3,2x)，即x＝1时取等号．故选B.2．(2025·辽宁沈阳模拟)已知a，b均是正实数，则eq\f(a,a＋2b)＋eq\f(b,a＋b)的最小值为________．答案：2eq\r(2)－2解析：设a＋2b＝x，a＋b＝y，则a＝2y－x，b＝x－y，且x，y均为正实数，所以eq\f(a,a＋2b)＋eq\f(b,a＋b)＝eq\f(2y－x,x)＋eq\f(x－y,y)＝eq\f(2y,x)＋eq\f(x,y)－2≥2eq\r(\f(2y,x)·\f(x,y))－2＝2eq\r(2)－2，当且仅当eq\f(2y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝eq\r(2)y时，等号成立，所以eq\f(a,a＋2b)＋eq\f(b,a＋b)的最小值为2eq\r(2)－2.考向二利用基本不等式求参数的值或取值范围(2025·江西南昌模拟)若不等式eq\f(a2＋b2,2)＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为()A.eq\r(2) B．2C.eq\r(3) D．1答案：C解析：由题意不等式eq\f(a2＋b2,2)＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，即x≤eq\f(a2＋b2＋6,2（a＋b）)恒成立，又a2＋b2≥2ab，∴a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)，当且仅当a＝b时，等号成立，则eq\f(a2＋b2＋6,2（a＋b）)≥eq\f(\f(（a＋b）2,2)＋6,2（a＋b）)＝eq\f(a＋b,4)＋eq\f(3,a＋b)≥2eq\r(\f(a＋b,4)·\f(3,a＋b))＝eq\r(3)，当且仅当a＝b＝eq\r(3)时，等号成立，故x≤eq\r(3)，即实数x的最大值为eq\r(3).故选C.利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法(1)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的值或取值范围．(2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解．(2025·江苏徐州模拟)若关于x的不等式eq\f(4x,a)＋eq\f(1,x－2)≥4对任意x>2恒成立，则正实数a的取值范围为()A．[1，4] B．(0，4)C．(0，4] D．(1，4]答案：C解析：由题意可得eq\f(4（x－2）,a)＋eq\f(1,x－2)≥4－eq\f(8,a)对任意x>2恒成立，由a>0，x－2>0，可得eq\f(4（x－2）,a)＋eq\f(1,x－2)≥2eq\r(\f(4（x－2）,a)·\f(1,x－2))＝eq\f(4,\r(a))，当且仅当eq\f(4（x－2）,a)＝eq\f(1,x－2)，即x＝2＋eq\f(\r(a),2)时取等号，则4－eq\f(8,a)≤eq\f(4,\r(a))，解得0<a≤4.故选C.考向三基本不等式的实际应用某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000m2，其中阴影部分为通道，通道宽度为2m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状、大小均相同)，塑胶运动场地占地面积为Sm2.(1)分别写出y和S关于x的函数关系式，并给出定义域；(2)怎样设计能使S取得最大值？并求出最大值．解：(1)由已知，得xy＝3000，∴y＝eq\f(3000,x)，其定义域是(6，500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，∵2a＋6＝y，∴a＝eq\f(y,2)－3＝eq\f(1500,x)－3，∴S＝(2x－10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1500,x)－3))＝3030－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15000,x)＋6x))，其定义域是(6，500)．(2)S＝3030－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15000,x)＋6x))≤3030－2eq\r(6x·\f(15000,x))＝3030－2×300＝2430，当且仅当eq\f(15000,x)＝6x，即x＝50∈(6，500)时，上述不等式等号成立，此时y＝60，Smax＝2430.∴当x＝50，y＝60时，运动场地面积最大，最大面积为2430m2.有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为________米．答案：5解析：设长方体蓄水池的长为y米，宽为x米，高为h米，每平方米池侧壁的造价为a，蓄水池的总造价为W，则由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,xyh＝500，))∴W＝2a(xh＋yh)＋2axy＝2ah(x＋y)＋2axy＝40ah＋eq\f(500×2a,h)，∴W≥2eq\r(40ah×\f(500×2a,h))＝400a，当且仅当h＝5时等号成立，即W取得最小值时，蓄水池的高应该为5米．课时作业一、单项选择题1．(2024·吉林长春第五中学检测)eq\r(（3－a）（a＋6）)(－6≤a≤3)的最大值为()A．9 B.eq\f(9,2)C．3 D.eq\f(3\r(2),2)答案：B解析：当a＝－6或a＝3时，eq\r(（3－a）（a＋6）)＝0；当－6＜a＜3时，eq\r(（3－a）（a＋6）)≤eq\f(3－a＋a＋6,2)＝eq\f(9,2)，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－eq\f(3,2)时取等号．综上，eq\r(（3－a）（a＋6）)的最大值为eq\f(9,2).2．(2024·山东枣庄一模)已知a>0，b>0，则“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：若a>0，b>0，a＋b>2，则a2＋b2≥eq\f(1,2)(a＋b)2>2，充分性成立；若a2＋b2>2，可能a＝eq\r(2)，b＝0.1，此时a＋b<2，所以必要性不成立．综上所述，“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的充分不必要条件．故选A.3．(2025·河南信阳模拟)函数f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(5,2)))有()A．最大值eq\f(5,2) B．最小值eq\f(5,2)C．最大值2 D．最小值2答案：D解析：解法一：因为x≥eq\f(5,2)，所以x－2≥eq\f(1,2)>0，则eq\f(x2－4x＋5,x－2)＝eq\f(（x－2）2＋1,x－2)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)≥2，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时，等号成立，所以函数f(x)有最小值，为2.解法二：令x－2＝t，则t≥eq\f(1,2)，x＝t＋2，则原函数可化为y＝eq\f(（t＋2）2－4（t＋2）＋5,t)＝eq\f(t2＋1,t)＝t＋eq\f(1,t)≥2eq\r(t·\f(1,t))＝2，当且仅当t＝eq\f(1,t)，即t＝1时，等号成立，此时x＝3，所以函数f(x)有最小值，为2.4．已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是()A．1 B．4C．7 D．3＋eq\r(17)答案：C解析：∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，∴x＋y＝(x－2)＋(y－1)＋3≥2eq\r(（x－2）（y－1）)＋3＝7，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝3))时，等号成立．5．若a，b∈(0，＋∞)，且eq\r(a)＋eq\f(4,b)＝9，则b＋eq\f(\r(a),a)的最小值为()A．9 B．3C．1 D.eq\f(1,3)答案：C解析：∵a，b∈(0，＋∞)，且eq\r(a)＋eq\f(4,b)＝9，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(\r(a),a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(4,b)))＝beq\r(a)＋4＋1＋eq\f(4,b\r(a))＝5＋beq\r(a)＋eq\f(4,b\r(a))≥5＋2eq\r(b\r(a)·\f(4,b\r(a)))＝9，当且仅当beq\r(a)＝eq\f(4,b\r(a))时，等号成立，∴9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(\r(a),a)))≥9，故b＋eq\f(\r(a),a)≥1，即b＋eq\f(\r(a),a)的最小值为1.故选C.6.(2025·山西太原模拟)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为()A.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)D.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)答案：C解析：根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝eq\f(CD2,OD)＝eq\f(ab,\f(a＋b,2)).由于OD≥CD，所以eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)．由于CD≥DE，所以eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)．7．(2025·广东佛山一中模拟)若不等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－4x)－m≥0对x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))恒成立，则实数m的最大值为()A．7 B．8C．9 D．10答案：C解析：将不等式化为eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－4x)≥m，只需当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))时，m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))eq\s\do7(min)即可．由eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－4x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))[4x＋(1－4x)]＝4＋eq\f(1－4x,x)＋eq\f(4x,1－4x)＋1≥5＋2eq\r(\f(1－4x,x)·\f(4x,1－4x))＝5＋4＝9，当且仅当x＝eq\f(1,6)时，等号成立，故m≤9.所以实数m的最大值为9.故选C.8．近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来．为提高居民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站．已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区()A．5千米处 B．6千米处C．7千米处 D．8千米处答案：A解析：设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费y1＝eq\f(k1,x)，供热费y2＝k2x，由题意得，当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝xy1＝10，k2＝eq\f(y2,x)＝eq\f(2,5)，所以y1＝eq\f(10,x)，y2＝eq\f(2,5)x.所以两项费用之和为y1＋y2＝eq\f(10,x)＋eq\f(2x,5)≥2eq\r(\f(10,x)·\f(2x,5))＝4，当且仅当eq\f(10,x)＝eq\f(2x,5)，即x＝5时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处．故选A.二、多项选择题9．(2025·河北衡水模拟)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列说法正确的是()A．若x>0，则x2＋eq\f(2,x)≥3B．若0<x<1，则x2(1－x)≤eq\f(1,9)C．若x>0，则2x＋eq\f(1,x2)≥3D．若0<x<1，则x(1－x)2≤eq\f(1,9)答案：AC解析：对于A，x>0，x2＋eq\f(2,x)＝x2＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,x)≥3eq\r(3,x2·\f(1,x)·\f(1,x))＝3，故A正确；对于B，∵0<x<1，∴1－x>0，x2(1－x)＝eq\f(1,2)x·x·(2－2x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x＋2－2x,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(4,27)，故B错误；对于C，x>0，2x＋eq\f(1,x2)＝x＋x＋eq\f(1,x2)≥3eq\r(3,x·x·\f(1,x2))＝3，故C正确；对于D，∵0<x<1，∴1－x>0，x(1－x)2＝eq\f(1,2)×2x(1－x)(1－x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－x＋1－x,3)))3＝eq\f(4,27)，故D错误．故选AC.10．(2025·广东广州模拟)已知a<b<c(a，b，c∈R)，且a＋2b＋3c＝0，则下列结论正确的是()A．a＋c<0B.eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)<－2C．存在a，c，使得a2－25c2＝0D.eq\f(b＋2c,a＋c)<－eq\f(1,2)答案：ABD解析：对于A，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得3a＋3c<a＋2b＋3c＝0，所以a＋c<0，A正确；对于B，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得6a<a＋2b＋3c＝0，所以a<0，同理可得c>0，又a＋c<0，所以eq\f(c,a)≠－1，所以eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,a)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,c)))))<－2，B正确；对于C，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得a＋2c＋3c>0，所以a＋5c>0，得c>－eq\f(a,5)>0，所以c2>eq\f(a2,25)，得a2－25c2<0，C错误；对于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2(b＋c)，所以eq\f(b＋2c,a＋c)＝eq\f(b＋c＋c,a＋c)＝eq\f(b＋c,a＋c)＋eq\f(c,a＋c)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(c,a＋c).因为a＋c<0，c>0，所以eq\f(c,a＋c)<0，所以eq\f(b＋2c,a＋c)<－eq\f(1,2)，D正确．故选ABD.11．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1答案：BC解析：因为ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1变形可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)y2＝1，设x－eq\f(y,2)＝cosθ，eq\f(\r(3),2)y＝sinθ，所以x＝cosθ＋eq\f(1,\r(3))sinθ，y＝eq\f(2,\r(3))sinθ，因此x2＋y2＝cos2θ＋eq\f(5,3)sin2θ＋eq\f(2,\r(3))sinθcosθ＝1＋eq\f(1,\r(3))sin2θ－eq\f(1,3)cos2θ＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)＋eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))，即eq\f(2,3)≤x2＋y2≤2，当且仅当x＝eq\f(\r(3),3)，y＝－eq\f(\r(3),3)或x＝－eq\f(\r(3),3)，y＝eq\f(\r(3),3)时，x2＋y2＝eq\f(2,3)，当且仅当x＝y＝±1时，x2＋y2＝2，所以C正确，D错误．故选BC.三、填空题12．(2025·湖南株洲模拟)一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①(1，4)；②(6，8)；③(7，12)；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，其中可作为数对(S，l)的是________(填序号)．答案：①③解析：设矩形的长、宽分别为x，y(x，y>0)，则x＋y＝eq\f(l,2)，S＝xy，因为x＋y≥2eq\r(xy)，当且仅当x＝y时，等号成立，所以eq\f(l,2)≥2eq\r(S)，即l2≥16S.将四组实数对逐个代入检验可知，可作为数对(S，l)的为①(1，4)，③(7，12)．13．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．答案：eq\f(4,5)解析：∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝eq\f(1－y4,5y2).∴x2＋y2＝eq\f(1－y4,5y2)＋y2＝eq\f(1,5y2)＋eq\f(4y2,5)≥2eq\r(\f(1,5y2)·\f(4y2,5))＝eq\f(4,5)，当且仅当eq\f(1,5y2)＝eq\f(4y2,5)，即x2＝eq\f(3,10)，y2＝eq\f(1,2)时取等号，∴x2＋y2的最小值为eq\f(4