2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第1讲 随机抽样

第1讲随机抽样1.知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.2.了解总体、样本、样本量的概念，了解样本与总体的关系.3.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法.4.了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.5.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．1．全面调查与抽样调查(1)对eq\x(\s\up1(01))每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查．(2)在一个调查中，我们把调查对象的全体称为eq\x(\s\up1(02))总体，组成总体的每一个调查对象称为eq\x(\s\up1(03))个体．(3)根据一定的目的，从总体中抽取eq\x(\s\up1(04))一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查．(4)把从总体中抽取的那部分个体称为eq\x(\s\up1(05))样本．(5)样本中包含的个体数称为eq\x(\s\up1(06))样本容量，简称样本量．(6)调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据．2．简单随机抽样(1)放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是eq\x(\s\up1(07))放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率eq\x(\s\up1(08))都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样．(2)不放回简单随机抽样如果抽取是eq\x(\s\up1(09))不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率eq\x(\s\up1(10))都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．(3)简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．(4)简单随机样本通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．(5)简单随机抽样的常用方法实现简单随机抽样的方法有很多，eq\x(\s\up1(11))抽签法和eq\x(\s\up1(12))随机数法是比较常用的两种方法．3．分层随机抽样(1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个eq\x(\s\up1(13))子总体，每个个体eq\x(\s\up1(14))属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为eq\x(\s\up1(15))层．(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小eq\x(\s\up1(16))成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．2．比例分配的分层随机抽样中，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．1．(人教A必修第二册习题9.1T1改编)下列调查方式中，适合用普查的是()A．调查春节联欢晚会的收视率B．了解某渔场中青鱼的平均质量C．了解某批次手机的使用寿命D．了解一批汽车的刹车性能答案：D解析：了解汽车的刹车性能，因为涉及人身安全，且对汽车没有破坏性，因此应采用普查的方式．2．(人教A必修第二册9.1.1练习T1改编)为了了解全年级240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是()A．总体是240 B．个体是每一个学生C．样本量是40名学生 D．样本量为40答案：D解析：研究此类问题首先要弄清楚所要调查的对象是什么．本题调查的对象是“学生的身高”这一项指标，故A，B不正确；而样本量是数量，故C不正确，D正确．3．(2025·江苏南通模拟)现有A，B，C三种不同型号的产品，它们的数量之比为2∶3∶5，用比例分配的分层随机抽样的方法从所有产品中抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有30件，则样本量n为()A．150 B．180C．200 D．250答案：A解析：由题意，知样本量n＝30÷eq\f(2,2＋3＋5)＝150.故选A.4．(人教B必修第二册5.1.1示例改编)国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查．若某班有50名学生，将每名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为()015432876595428753467953258657413369832445977386524435786241A．13 B．24C．33 D．36答案：D解析：根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，所以第一组数字为32，作为第一个号码；第二组数字为58，舍去；第三组数字为65，舍去；第四组数字为74，舍去；第五组数字为13，作为第二个号码；第六组数字为36，作为第三个号码，所以选取的第三个号码为36.故选D.考向一简单随机抽样(1)(多选)下列抽取样本的方式，不是简单随机抽样的是()A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验C．从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛答案：ACD解析：A不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的；B是简单随机抽样；C不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；D不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样．故选ACD.(2)某中学举行“讲好航天故事”演讲比赛．现从报名的40位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加演讲比赛，将40位学生按01，02，…，40进行编号，假设从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个号码所对应的学生编号为________．062743132636154709412512631763232616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179301423102118219137263890014005232617答案：25解析：从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过40和重复的号码，选取的号码依次为27，13，26，36，15，09，25，12，17，23，所以选出来的第7个号码所对应的学生编号为25.(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是等可能抽取．(2)抽签法与随机数法的适用情况①抽签法适用于总体中个数较少的情况，随机数法适用于总体中个数较多的情况；②一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便，二是号签是否易搅匀．1.某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为()A．180 B．400C．450 D．2000答案：C解析：设这个学校高一年级的学生人数为x，则eq\f(90,x)＝eq\f(20,100)，解得x＝450.故选C.2．(2025·河南郑州模拟)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3答案：D解析：在简单随机抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均相等，即p1＝p2＝p3.考向二按比例分配的分层随机抽样(1)(2024·湖南长沙一模)为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用比例分配的分层随机抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试．已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为()A．30 B．25C．20 D．15答案：B解析：根据比例分配的分层随机抽样的性质可知，高三年级抽取的人数为100×eq\f(500,500＋700＋800)＝25.故选B.(2)已知某地区中小学生的人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取1%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本量和该地区的高中生近视人数分别为()A．200，25 B．200，2500C．8000，25 D．8000，2500答案：B解析：由扇形分布图并结合比例分配的分层随机抽样知识易知样本量为eq\f(80,40%)＝200，则样本中高中生的人数为200×25%＝50，易知该地区高中生的人数为eq\f(50,1%)＝5000，结合近视率条形图得该地区高中生近视的人数为5000×50%＝2500.故选B.按比例分配的分层随机抽样的步骤(1)将总体按一定标准分层；(2)计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本量；(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．1.为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用比例分配的分层随机抽样方法从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是3∶1，被抽到参与环保调研的村民中，甲村比乙村多8人，则参与环保调研的总人数是()A．16 B．24C．32 D．40答案：A解析：设被抽到参与环保调研的乙村村民有x人，则被抽到参与环保调研的甲村村民有3x人，由题意，得3x－x＝8，即x＝4，所以参与环保调研的总人数为x＋3x＝16.故选A.2．(2025·贵州贵阳模拟)为了树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，A市某高中全体教师于2024年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计1200棵，比例如图所示．青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5∶3∶2，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐树苗的数量为()A．60棵 B．100棵C．144棵 D．160棵答案：C解析：由题意，中年教师应分得树苗的数量为1200×eq\f(3,5＋3＋2)＝360棵，所以中年教师应分得梧桐树苗的数量为360×40%＝144棵．故选C.课时作业一、单项选择题1．①一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；②运动会的工作人员从参加4×100m接力赛的6支队伍中抽取1支接受采访．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为()A．分层随机抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，简单随机抽样C．简单随机抽样，分层随机抽样D．分层随机抽样，分层随机抽样答案：A解析：对于①，为更加了解各层次的学生成绩，应选择分层随机抽样；对于②，可采用简单随机抽样．故选A.2．某植物种植商购进了一批花的球根，从中随机选取了200个球根种植，调查这批花的球根发芽情况，最后有4个不发芽．则下列说法正确的是()A．调查方式是普查B．样本是200个球根C．这批花的球根中只有196个球根发芽D．这批花的球根中约有2%的球根不发芽答案：D解析：调查方式是抽样调查，故A错误；样本是200个球根的发芽情况，故B错误；200个球根中有196个球根发芽，故C错误；200个球根中有4个球根不发芽，不发芽率为eq\f(4,200)＝0.02，即为2%，再由样本估计总体，故D正确．故选D.3．(2025·河南郑州模拟)国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个．质检人员采用比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为()A．325个 B．300个C．225个 D．175个答案：C解析：根据比例分配的分层随机抽样可知，低能量密度锂电池的产量为400×eq\f(80－35,80)＝225(个)．故选C.4．(2024·陕西西安一模)某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号001，002，…，649，650，从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是()322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A．623 B．328C．072 D．457答案：A解析：从第5行第6列开始向右读取数据，第1个数为253，第2个数是313，第3个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个数是253，重复，第4个数是007，第5个数是328，第6个数是623.故选A.5．(2025·陕西榆林模拟)某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用比例分配的分层随机抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中医生比护士少()A．19人 B．18人C．17人 D．16人答案：C解析：由题意知，医生抽取eq\f(750,750＋1600＋150)×50＝15(人)，护士抽取eq\f(1600,750＋1600＋150)×50＝32(人)，故医生比护士少17人．故选C.6．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1000，800，按年级进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为30的样本，调查全校学生的睡眠时间．高一年级抽取的学生的平均睡眠时间为8.5小时，高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为7.8小时，三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时，则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为()A．7.2小时 B．7.3小时C．7.5小时 D．7.6小时答案：C解析：由题意，得抽样比为eq\f(30,1200＋1000＋800)＝eq\f(1,100)，则高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为1200×eq\f(1,100)＝12，1000×eq\f(1,100)＝10，800×eq\f(1,100)＝8，设高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为x小时，由8x＋10×7.8＋12×8.5＝30×8，得x＝7.5.故选C.7．(2025·山东青岛模拟)用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中无放回地抽取一个容量为3的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()A．eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C．eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D．eq\f(3,10)，eq\f(3,10)答案：A解析：第一次被抽到，可能性显然为eq\f(1,10)；第二次被抽到，则第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性为eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).故选A.8．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为()A．4000只 B．3000只C．1500只 D．750只答案：C解析：设该自然保护区中天鹅的数量为n只，则eq\f(200,n)≈eq\f(20,150)，解得n≈1500.故选C.二、多项选择题9．在世界无烟日，小华所在的学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了50个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是()A．调查的方式是抽样调查B．获得的数据属于一手数据C．本地区只有35个成年人不吸烟D．样本是15个吸烟的成年人答案：AB解析：对于A，B，从该地众多成年人中随机调查了50个成年人，调查的方式是抽样调查，获得的数据属于一手数据，A，B正确；对于C，抽取的样本中有35个成年人不吸烟，而总体中不吸烟的成年人不会少于35人，C错误；对于D，样本是50个成年人的吸烟情况，D错误．故选AB.10．某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是()A．这次抽样可能采用的是抽签法B．这次抽样不可能是按性别比例分配的分层随机抽样C．这次抽样中，每名男生被抽到的概率一定小于每名女生被抽到的概率D．这次抽样中，每名男生被抽到的概率不可能等于每名女生被抽到的概率答案：AB解析：根据抽样结果，此次抽样可能采用的是抽签法，故A正确；若按性别比例分配的分层随机抽样，则抽得的男、女生人数应为4，3，所以这次抽样不可能是按性别比例分配的分层随机抽样，故B正确；若按抽签法，则每名男生被抽到的概率和每名女生被抽到的概率均相等，故C，D错误．故选AB.11．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1～1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置(内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个)中摸出一个小球(摸完放回)：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是()A．估计被调查者中约有15人吸烟B．估计约有15人对问题2的回答为“是”C．估计该地区约有3%的中学生吸烟D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟答案：BC解析：随机抽出的1000名学生中，回答问题1的概率是eq\f(1,2)，其编号是奇数的概率也是eq\f(1,2)，所以回答问题1且回答“是”的学生人数为1000×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝250，回答问题2且回答“是”的人数为265－250＝15，从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为eq\f(15,500)＝3%，估计被调查者中吸烟的人数为1000×3%＝30.故选BC.三、填空题12．(2025·江苏常州模拟)某中学为了了解学生是否规范佩戴胸卡，随机抽取了部分学生，抽取结果发现150名学生中有60名学生规范佩戴胸卡．若学校调查了该校所有学生，发现有500名学生规范佩戴胸卡，则估计该中学共有________名学生．答案：1250解析：设该中学共有n名学生，依题意，得eq\f(60,150)＝eq\f(500,n)，解得n＝1250，所以估计该中学共有1250名学生．13．某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三年级抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为________．答案：1500解析：因为从高一、高二、高三年级抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，故可设样本中高一、高二、高三年级的人数依次为x－8，x－4，x，则3x－12＝48，解得x＝20，故该学校高三年级的学生人数为3600×eq\f(20,48)＝1500.14．(2025·浙江