2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第1讲 集合

第1讲集合1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．1．集合的概念(1)集合中元素的三个特征：eq\x(\s\up1(01))确定性、eq\x(\s\up1(02))互异性、eq\x(\s\up1(03))无序性．(2)元素与集合的关系是eq\x(\s\up1(04))属于或eq\x(\s\up1(05))不属于两种，用符号eq\x(\s\up1(06))∈或eq\x(\s\up1(07))∉表示．(3)集合的表示法：eq\x(\s\up1(08))列举法、eq\x(\s\up1(09))描述法、eq\x(\s\up1(10))图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号eq\x(\s\up1(11))Neq\x(\s\up1(12))N*(或N＋)eq\x(\s\up1(13))Zeq\x(\s\up1(14))Qeq\x(\s\up1(15))R2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等构成两个集合的元素是eq\x(\s\up1(16))一样的eq\x(\s\up1(17))A⊆B且eq\x(\s\up1(18))B⊆A⇔A＝B子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素eq\x(\s\up1(19))A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x∉Aeq\x(\s\up1(20))AB或BA结论任何一个集合是它本身的子集A⊆A若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集A⊆B，B⊆C⇒eq\x(\s\up1(21))A⊆C空集是eq\x(\s\up1(22))任何集合的子集，是eq\x(\s\up1(23))任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)3．集合的基本运算并集交集补集图形符号A∪B＝eq\x(\s\up1(24)){x|x∈A，或x∈B}A∩B＝eq\x(\s\up1(25)){x|x∈A，且x∈B}eq\a\vs4\al(∁UA)＝eq\x(\s\up1(26)){x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)并集的性质：A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A；(A∪B)⊇A；(A∪B)⊇B.(2)交集的性质：A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B.(3)补集的性质：∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U.1．子集个数若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．等价关系A⊆B⇔A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔∁UA⊇∁UB.3．交集与并集的转化(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．4．元素个数用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．下列说法正确的是()A．若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1B．{x|y＝|x|}＝{y|y＝|x|}＝{(x，y)|y＝|x|}C．若A∩B＝A∩C，则B＝CD．对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)答案：D解析：对于A，若1∈{x2，x}，则x＝－1，A错误；对于B，{x|y＝|x|}＝R，{y|y＝|x|}＝(0，＋∞)，{(x，y)|y＝|x|}是由函数y＝|x|图象上的点构成的集合，B错误；对于C，例如A＝{1}，B＝{0，1}，C＝{－1，1}，虽有A∩B＝A∩C，但是B≠C，C错误．故选D.2．(2025·辽宁丹东高三开学考试)已知集合A＝{x|－1<x<3，x∈N}，则集合A的真子集的个数为()A．3 B．4C．7 D．8答案：C解析：A＝{x|－1<x<3，x∈N}＝{0，1，2}，其真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共7个．故选C.3．(人教A必修第一册习题1.2T5(1)改编)设集合M＝{5，x2}，N＝{5x，5}，若M＝N，则实数x的值组成的集合为()A．{5} B．{1}C．{0，5} D．{0，1}答案：C解析：因为M＝N，所以x2＝5x，解得x＝0或5，所以实数x的值组成的集合为{0，5}．故选C.4．设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则N∩(∁UM)＝________，M∪(∁UN)＝________．答案：{1}{0，2，4，6，8}解析：因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以∁UM＝{1，2，8}，∁UN＝{2，4，8}，所以N∩(∁UM)＝{1}，M∪(∁UN)＝{0，2，4，6，8}．5．(人教B必修第一册习题1－1BT6改编)已知A＝[－2，1]，B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,3)))，且B∁RA，则实数p的取值范围是________．答案：[6，＋∞)解析：因为A＝[－2，1]，所以∁RA＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，又因为B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,3)))，且B∁RA，所以－eq\f(p,3)≤－2，解得p≥6，所以实数p的取值范围是[6，＋∞)．考向一集合的含义与表示(1)(2025·广东清远模拟)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则C＝{x|x＝2a＋b，a∈A，b∈B}中的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．6答案：B解析：由题意，x＝2a＋b，当a＝1，b＝5时，x＝7；当a＝1，b＝3时，x＝5；当a＝2，b＝5时，x＝9；当a＝2，b＝3时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝11；当a＝3，b＝3时，x＝9.由集合中的元素满足互异性，可得C＝{5，7，9，11}．故选B.(2)(多选)若2∈{m－1，2m，m2－1}，则实数m的可能取值为()A．3 B.eq\r(3)C．1 D．－eq\r(3)答案：ABD解析：①若m－1＝2，则m＝3，此时集合中的元素为2，6，8，满足题意．②若2m＝2，则m＝1，此时m2－1＝m－1＝0，不满足集合中元素的互异性．③若m2－1＝2，则m＝±eq\r(3)，当m＝eq\r(3)时，集合中的元素为eq\r(3)－1，2eq\r(3)，2，满足题意；当m＝－eq\r(3)时，集合中的元素为－eq\r(3)－1，－2eq\r(3)，2，满足题意．故选ABD.(3)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．①若集合A＝∅，则实数a的取值集合为________；②若集合A中只有一个元素，则实数a的取值集合为________．答案：①eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a>\f(9,8)))))②eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,8)))解析：①若A＝∅，则关于x的方程ax2－3x＋2＝0无实根，当a＝0时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝9－8a<0，得a>eq\f(9,8).综上，实数a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a>\f(9,8))))).②集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，当a＝0时，可得x＝eq\f(2,3)，集合A中只有一个元素eq\f(2,3)；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，即Δ＝9－8a＝0，可得a＝eq\f(9,8).综上，实数a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,8))).理解集合的含义的两个关注点(1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合．(2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么．注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．1.(2025·江苏南京模拟)集合{(x，y)|2x＋y≤6，x，y∈N*}中的元素个数为()A．1 B．3C．4 D．6答案：D解析：{(x，y)|2x＋y≤6，x，y∈N*}＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)}，故有6个元素．故选D.2．(2024·河南新乡模拟)下列集合中有无数个元素的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)∈N)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)∈N))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Q\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)∈N))))答案：D解析：对于A，因为x∈N，eq\f(4,x)∈N，则x＝1，2，4，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)∈N))))＝{1，2，4}，故A不符合题意；对于B，因为x∈Z，eq\f(4,x)∈N，则x＝1，2，4，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)∈N))))＝{1，2，4}，故B不符合题意；对于C，因为x∈N，eq\f(4,x)∈Z，则x＝1，2，4，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)∈Z))))＝{1，2，4}，故C不符合题意；对于D，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Q\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)∈N))))有无数个元素，故D符合题意．故选D.3．(2025·河南洛阳模拟)若集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,2)))答案：A解析：由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m×2－3>0，,2m×1－3≤0，))解得eq\f(3,4)<m≤eq\f(3,2).故选A.考向二集合间的基本关系(1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D．－1答案：B解析：因为A⊆B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B.(2)(2025·四川成都诊断考试)集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}的关系是()A．S⊆P⊆M B．S＝P⊆MC．S⊆P＝M D．P＝M⊆S答案：C解析：任取a∈M，则a＝5k1－2＝5(k1－1)＋3，k1∈Z，所以a∈P，所以M⊆P；任取b∈P，则b＝5n1＋3＝5(n1＋1)－2，n1∈Z，所以b∈M，所以P⊆M，所以M＝P；任取c∈S，则c＝10m1＋3＝5×2m1＋3，m1∈Z，所以c∈P，所以S⊆P，又8∈P，8∉S，所以S≠P，所以S⊆P＝M.故选C.(3)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2，或0≤m≤\f(5,2)))))解析：由题意，知A＝{x|－1≤x≤6}，若B⊆A，则当B＝∅时，有m－1>2m＋1，即m<－2，符合题意；当B≠∅时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq\f(5,2).综上，实数m的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2，或0≤m≤\f(5,2))))).1．判断两集合间关系的三种方法2．由集合间的关系求参数的解题策略(1)若集合元素是一一列举的，则将集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时注意集合中元素的互异性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常借助数轴转化为区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时需注意端点值能否取到．提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．1.(2025·晋中高三阶段练习)给出下列关系：①0∈{0}；②∅{0}；③{0，1}⊆{(0，1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：对于①，因为0是{0}的元素，所以0∈{0}，故①正确；对于②，因为空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}，故②正确；对于③，因为集合{0，1}的元素为0，1，集合{(0，1)}的元素为(0，1)，两个集合的元素全不相同，所以{0，1}，{(0，1)}之间不存在包含关系，故③错误；对于④，因为集合{(a，b)}的元素为(a，b)，集合{(b，a)}的元素为(b，a)，两个集合的元素不一定相同，所以{(a，b)}，{(b，a)}不一定相等，故④错误．故选B.2．(2025·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|y＝eq\r(x－1)}，若ACB，写出一个符合条件的集合C，则C＝________(写出一个即可)．答案：{x|1≤x≤5}(答案不唯一)解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|y＝eq\r(x－1)}＝{x|x≥1}，若ACB，则可有C＝{x|1≤x≤5}．3．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若B⊆A，则实数a的取值范围为________；(2)若A⊆B，则实数a的取值范围为________．答案：(1){a|a≤－1，或a＝1}(2){1}解析：由题意，得A＝{－4，0}．(1)∵B⊆A，∴B＝∅或B＝{－4}或B＝{0}或B＝{－4，0}．当B＝∅时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，即Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1；当B＝{－4}或B＝{0}时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝8a＋8＝0，∴a＝－1，此时B＝{0}，符合条件；当B＝{－4，0}时，－4和0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝8a＋8>0，,－4＋0＝－2（a＋1），,－4×0＝a2－1，))解得a＝1.综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1，或a＝1}．(2)∵A⊆B，∴B＝{－4，0}．由(1)知a＝1.考向三集合的基本运算角度1集合间的交、并、补运算(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝()A．{－1，0} B．{2，3}C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}答案：A解析：因为A＝{x|－eq\r(3,5)<x<eq\r(3,5)}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1<eq\r(3,5)<2，从而A∩B＝{－1，0}．故选A.(2)设全集U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝()A．∁U(M∪N) B．N∪(∁UM)C．∁U(M∩N) D．M∪(∁UN)答案：A解析：由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪(∁UM)＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1，或x≥1}，C错误；∁UN＝{x|x≤－1，或x≥2}，则M∪(∁UN)＝{x|x<1，或x≥2}，D错误．故选A.(3)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝()A．∅ B．MC．N D．R答案：B解析：解法一：∵∁RM⊆N，∴M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.故选B.解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁RM，矩形区域CDFG表示集合N，满足∁RM⊆N，结合图形可得M∪(∁RN)＝M.故选B.集合基本运算的求解策略(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观．1.(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{0，1} D．{－1，0，1，4}答案：C解析：由题意可得A∩B＝{0，1}．故选C.2．(2025·湖南长沙雅礼中学模拟)已知全集U＝{1，2，4，6，8}，集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x＝4a，a∈M}，则∁U(M∪N)＝()A．{6} B．{4，6，8}C．{1，2，4，8} D．{1，2，4，6，8}答案：A解析：由题意，知M＝{1，2}，N＝{4，8}，则M∪N＝{1，2，4，8}，所以∁U(M∪N)＝{6}．故选A.3．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)≤1))))，B＝{x|0<|x|<1}，则(∁RA)∩B＝()A．[0，1) B．(0，1)C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，1)答案：B解析：由eq\f(1,x)≤1，可得x<0或x≥1，即A＝(－∞，0)∪[1，＋∞)，∁RA＝[0，1)，由0<|x|<1，可得－1<x<0或0<x<1，即B＝(－1，0)∪(0，1)，所以(∁RA)∩B＝(0，1)．故选B.角度2利用集合运算求参数(1)已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1，2}，则实数a的取值范围为()A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)答案：C解析：由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得∁RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因为A∩(∁RB)＝{1，2}，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0，3]．故选C.(2)已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a<x<a＋3}．①若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________；②若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．答案：①eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(10,3)，或a≥\f(1,2)))))②eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2<a<－\f(1,6)))))解析：A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤1)))).①若A∩B＝∅，则当B＝∅时，实数a需满足2a≥a＋3，解得a≥3，符合题意；当B≠∅时，实数a需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<3，,a＋3≤－\f(1,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<3，,2a≥1，))解得a≤－eq\f(10,3)或eq\f(1,2)≤a<3，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(10,3)，或a≥\f(1,2))))).②∁RA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,3)，或x>1))))，若(∁RA)∪B＝R，则实数a需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a<－\f(1,3)，,a＋3>1，))解得－2<a<－eq\f(1,6)，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2<a<－\f(1,6))))).根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1.(2024·九省联考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．答案：5解析：由A∩B＝A，得A⊆B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4≤m＋3，,－2≥－m＋3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥1，,m≥5，))即m≥5，故m的最小值为5.2．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，则a＋b＝________．答案：－5解析：P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2，或y<－1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得，－a＝－1＋3＝2，b＝－3，∴a＋b＝－5.考向四集合的新定义问题(2025·山东青岛模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________．答案：0或1或4解析：因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，则B＝∅，满足B为A的子集，此时A与B构成“全食”；若a>0，则B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,a)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))，－\f(1,\r(a)))).若A与B构成“全食”或“偏食”，则eq\f(1,\r(a))＝1或eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4.解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．(2025·山东泰安模拟)对于非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，其所有元素的算术平均数记为E(A)，即E(A)＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n).若非空数集B满足下列两个条件：①B⊆A；②E(B)＝E(A)，则称B为A的一个“保均值子集”．据此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有()A．4个 B．5个C．6个 D．7个答案：D解析：设集合A＝{1，2，3，4，5}，则该集合中所有元素的算术平均数E(A)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，所以由新定义可知，只需找到非空数集B满足B⊆A，且E(B)＝3即可．据此分析易知，集合{1，2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5}，{2，4}，{3}都符合要求．故集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有7个．故选D.课时作业一、单项选择题1．(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝()A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}C．{3，4} D．{1，2，9}答案：A解析：依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9，则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，于是A∩B＝{1，2，3，4}．故选A.2．(2025·湖北武汉二中模拟)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，则M中所有元素之和为()A．3 B．1C．－3 D．－1答案：C解析：若a＝1，则2a－1＝1，不满足集合元素的互异性；若2a－1＝1，则a＝1，不满足集合元素的互异性，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍去)或a＝－1，故M＝{－1，－3，1}，M中所有元素之和为－3.故选C.3．(2024·山西晋城一模)设集合M＝{x|－1<x<5}，N＝{y|y＝x－1，x∈M}，则M∪N＝()A．(－2，5) B．(－1，4)C．(－2，4) D．(－1，5)答案：A解析：因为M＝{x|－1<x<5}，所以N＝{y|－2<y<4}，所以M∪N＝(－2，5)．故选A.4．(2025·广东珠海模拟)若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2－7x＋12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{1，3，4} B．{2，3，5}C．{2，6} D．{1，6}答案：D解析：M＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3，4}，N＝{2，3，5}，则题图中阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)＝{1，6}．5．(2024·贵州黔东南二模)若对任意x∈A，eq\f(1,x)∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是()A．{1，3} B．{－1，0，1}C．{x|x>1} D．{x|x>0}答案：D解析：对于A，因为3∈{1，3}，但eq\f(1,3)∉{1，3}，所以A不符合题意；对于B，因为0∈{－1，0，1}，但eq\f(1,0)无意义，所以B不符合题意；对于C，例如2∈{x|x>1}，但eq\f(1,2)∉{x|x>1}，所以C不符合题意；对于D，对任意x∈{x|x>0}，均有eq\f(1,x)∈{x|x>0}，所以D符合题意．故选D.6．(2025·湖南长沙阶段练习)设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(12,x＋3)∈N))))，则集合A的真子集个数为()A．7 B．8C．15 D．16答案：C解析：由y＝eq\f(12,x＋3)∈N且x∈N可知，x＋3可以取3，4，6，12，则x可取0，1，3，9，即A＝{0，1，3，9}，故集合A的真子集个数为24－1＝15.故选C.7．已知A，B均为R的子集，且A∩(∁RB)＝A，则下列关系式一定成立的是()A．B⊆A B．A∪B＝RC．A∩B＝∅ D．A＝∁RB答案：C解析：∵A∩(∁RB)＝A，∴A⊆∁RB，用Venn图表示如下．由图可知，A∩B＝∅，即C一定成立，A一定不成立，B，D都不一定成立．故选C.8．调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是()A．最多人数是55 B．最少人数是55C．最少人数是75 D．最多人数是80答案：B解析：设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0，20]，以上两种药都带的人数为y.根据题意列出Venn图，如图所示．由图可知，x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.故选B.二、多项选择题9．(2024·江西吉安一中校考一模)下列选项中的两个集合相等的是()A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}B．P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}C．P＝{x|x2－x＝0}，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1＋（－1）n,2)，n∈Z))))D．P＝{x|y＝x＋1}，Q＝{(x，y)|y＝x＋1}答案：AC解析：对于A，P＝{x|x＝2n，n∈Z}表示偶数集，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}也表示偶数集，所以P＝Q，故A符合题意；对于B，P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}＝{1，3，5，7，…}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}＝{3，5，7，9，…}，所以P≠Q，故B不符合题意；对于C，P＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，又(－1)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n为偶数，,－1，n为奇数，))所以x＝eq\f(1＋（－1）n,2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n为偶数，,0，n为奇数，))即Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1＋（－1）n,2)，n∈Z))))＝{0，1}，所以P＝Q，故C符合题意；对于D，P＝{x|y＝x＋1}＝R为数集，Q＝{(x，y)|y＝x＋1}为点集，所以P≠Q，故D不符合题意．故选AC.10．(2025·江苏无锡一中月考)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是()A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1，或x>2}D．A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3}答案：BD解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正确；∵∁RB＝{x|x<－2，或x>2}，∴A∪(∁RB)＝{x|x<－2，或x>－1}，A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3}，C不正确，D正确．11．设集合A＝{x|x＝m＋eq\r(3)n，m，n∈N*}，若对任意x1∈A，x2∈A，均有x1⊕x2∈A，则运算⊕可能是()A．加法 B．减法C．乘法 D．除法答案：AC解析：由题意可设x1＝m1＋eq\r(3)n1，x2＝m2＋eq\r(3)n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，则x1＋x2＝(m1＋m2)＋eq\r(3)(n1＋n2)，x1＋x2∈A，所以加法满足条件，A正确；x1－x2＝(m1－m2)＋eq\r(3)(n1－n2)，当n1＝n2时，x1－x2∉A，所以减法不满足条件，B错误；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋eq\r(3)(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足条件，C正确；eq\f(x1,x2)＝eq\f(m1＋\r(3)n1,m2＋\r(3)n2)，当eq\f(m1,m2)＝eq\f(n1,n2)＝λ(λ>0)时，eq\f(x1,x2)∉A，所以除法不满足条件，D错误．三、填空题12．(2025