2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第1讲 导数的概念及运算

第1讲导数的概念及运算1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.5.会使用导数公式表．1．导数的概念(1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，把比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\x(\s\up1(01))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．(2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).(3)当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，即y′＝f′(x)＝eq\x(\s\up1(02))eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点eq\x(\s\up1(03))P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0＝f′(x0)，切线方程为eq\x(\s\up1(04))y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式(1)c′＝eq\x(\s\up1(05))0(c为常数)．(2)(xα)′＝eq\x(\s\up1(06))αxα－1(α∈R，且α≠0)．(3)(sinx)′＝eq\x(\s\up1(07))cosx．(4)(cosx)′＝eq\x(\s\up1(08))－sinx．(5)(ax)′＝eq\x(\s\up1(09))axln__a(a＞0，且a≠1)．(6)(ex)′＝eq\x(\s\up1(10))ex．(7)(logax)′＝eq\x(\s\up1(11))eq\f(1,xlna)(a＞0，且a≠1)．(8)(lnx)′＝eq\x(\s\up1(12))eq\f(1,x)．4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝eq\x(\s\up1(13))f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)g(x)]′＝eq\x(\s\up1(14))f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．特别地：[cf(x)]′＝eq\x(\s\up1(15))cf′(x)(c为常数)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\x(\s\up1(16))eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．5．复合函数的导数一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝eq\x(\s\up1(17))yu′·ux′，即y对x的导数等于eq\x(\s\up1(18))y对u的导数与eq\x(\s\up1(19))u对x的导数的乘积．1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．2．两类切线问题的区别(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．1．(多选)下列求导运算正确的是()A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(x2·2x)′＝2x·x(2＋xln2)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(xsinx－cosx,x2)答案：BC解析：由a为常数知(sina)′＝0，A错误；(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，B正确；(x2·2x)′＝(x2)′·2x＋x2·(2x)′＝2x·2x＋x2·2xln2＝2x·x(2＋xln2)，C正确；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(（cosx）′x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2)，D错误．故选BC.2．(人教A选择性必修第二册习题5.1T1改编)某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为()A．9.1米/秒 B．6.75米/秒C．3.1米/秒 D．2.75米/秒答案：C解析：因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒．3.(人教A选择性必修第二册习题5.1T10改编)函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为()答案：A解析：由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＞0.4．已知函数f(x)＝(x＋1)sinx，则eq\o(lim,\s\do6(t→0))eq\f(f（t）－f（0）,t)＝________．答案：1解析：因为f′(x)＝sinx＋(x＋1)cosx，所以eq\o(lim,\s\do6(t→0))eq\f(f（t）－f（0）,t)＝f′(0)＝1.5．(人教A选择性必修第二册习题5.2T11改编)设曲线y＝e－2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a的值为________．答案：－1解析：∵y＝e－2ax，∴y′＝e－2ax·(－2ax)′＝－2a·e－2ax，∴在点(0，1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－2a·e0＝－2a，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，∴－2a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，∴a＝－1.考向一导数的运算求下列函数的导数：(1)y＝tanx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝eq\r(3,3x＋1)；(4)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))).解：(1)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq\f(（sinx）′cosx－sinx（cosx）′,cos2x)＝eq\f(1,cos2x).(2)因为y＝x3＋eq\f(1,x2)＋1，所以y′＝3x2－eq\f(2,x3).(3)y′＝[(3x＋1)eq\s\up7(\f(1,3))]′＝eq\f(1,3)(3x＋1)－eq\s\up7(\f(2,3))·(3x＋1)′＝eq\f(1,3)(3x＋1)－eq\s\up7(\f(2,3))·3＝(3x＋1)－eq\s\up7(\f(2,3)).(4)因为y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq\f(1,2)xsin4x，所以y′＝－eq\f(1,2)sin4x－eq\f(1,2)x·4cos4x＝－eq\f(1,2)sin4x－2xcos4x.1.(2025·山东临沂联考)已知函数f(x)＝ex－f′(1)x，则()A．f(1)＝－eq\f(e,2) B．f(2)＝e2－eC．f′(1)＝－eq\f(e,2) D．f′(2)＝e2－e答案：B解析：因为f(x)＝ex－f′(1)x，所以f′(x)＝ex－f′(1)，则f′(1)＝e－f′(1)，所以f′(1)＝eq\f(e,2)，则f(x)＝ex－eq\f(e,2)x，所以f(1)＝eq\f(e,2)，f′(2)＝e2－eq\f(e,2)，f(2)＝e2－e.2．(多选)下列求导运算正确的是()A．[log3(5x)]′＝eq\f(1,xln3)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinx,x2)))′＝eq\f(2xcosx－4sinx,x3)C．[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2D．(2x＋cosx)′＝2xln2－sinx答案：ABD解析：对于A，[log3(5x)]′＝(log35＋log3x)′＝eq\f(1,xln3)，A正确；对于B，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinx,x2)))′＝eq\f(2cosx·x2－2x·2sinx,（x2）2)＝eq\f(2xcosx－4sinx,x3)，B正确；对于C，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2·3＝9(3x＋5)2，C不正确；对于D，(2x＋cosx)′＝2xln2－sinx，D正确．故选ABD.考向二导数的几何意义角度1求切点的坐标(2025·湖南名校联考)过点(3，0)作曲线f(x)＝xex的两条切线，切点分别为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，则x1＋x2＝()A．－3 B．－eq\r(3)C.eq\r(3) D．3答案：D解析：因为f(x)＝xex，所以f′(x)＝(x＋1)ex，设切点坐标为(x0，x0ex0)，所以f′(x0)＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0·(x－x0)，所以－x0ex0＝(x0＋1)ex0(3－x0)，即(－xeq\o\al(2,0)＋3x0＋3)ex0＝0，依题意关于x0的方程(－xeq\o\al(2,0)＋3x0＋3)ex0＝0有两个不同的解x1，x2，即关于x0的方程－xeq\o\al(2,0)＋3x0＋3＝0有两个不同的解x1，x2，所以x1＋x2＝3.故选D.求切点坐标的一般步骤若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．答案：(e，e)解析：设点P(x0，y0)，∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝1＋lnx，∴曲线y＝xlnx在点P处的切线斜率k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e，y0＝elne＝e，∴点P的坐标为(e，e)．角度2求切线的方程(1)(2024·全国甲卷)曲线f(x)＝x6＋3x－1在(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)答案：A解析：f′(x)＝6x5＋3，所以f′(0)＝3，故切线方程为y＝3(x－0)－1＝3x－1，故切线的横截距为eq\f(1,3)，纵截距为－1，故切线与坐标轴围成的面积为eq\f(1,2)×1×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).故选A.(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________．答案：y＝eq\f(1,e)xy＝－eq\f(1,e)x解析：当x＞0时，y＝lnx，设切点为(x0，lnx0)，由y′＝eq\f(1,x)，所以y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)，所以切线方程为y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－lnx0＝eq\f(1,x0)(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即y＝eq\f(1,e)x；当x＜0时，y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由y′＝eq\f(1,x)，所以y′|x＝x1＝eq\f(1,x1)，所以切线方程为y－ln(－x1)＝eq\f(1,x1)(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝eq\f(1,x1)(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝eq\f(1,－e)(x＋e)，即y＝－eq\f(1,e)x.求曲线的切线方程的方法(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时，解题步骤如下：提醒：“在点P处的切线”一定是以点P为切点；“过点P的切线”，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．1.函数y＝f(x)＝sin2x＋cosx的图象在点(0，1)处的切线方程为________．答案：2x－y＋1＝0解析：f′(x)＝2cos2x－sinx，故f′(0)＝2，故函数f(x)的图象在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.2．过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))作曲线y＝x3的切线，写出一条切线方程：________________．答案：y＝0或y＝3x＋2(写出一条即可)解析：由y＝x3可得y′＝3x2，设过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))作曲线y＝x3的切线的切点为(x0，y0)，则y0＝xeq\o\al(3,0)，则该切线方程为y－y0＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))代入得－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)－x0))，解得x0＝0或x0＝－1，故切点坐标为(0，0)或(－1，－1)，故切线方程为y＝0或y＝3x＋2.角度3求参数的值或取值范围(1)(2025·安徽A10联盟摸底)已知直线y＝ax与曲线f(x)＝ln(x＋b)相切于点(0，f(0))，则a＋b的值为()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：由题意，得直线y＝ax与曲线f(x)＝ln(x＋b)相切于点(0，f(0))，即切点为(0，0)，所以lnb＝0，解得b＝1，所以f(x)＝ln(x＋1)，则f′(x)＝eq\f(1,x＋1)，可得f′(0)＝1，即切线的斜率为k＝1，所以a＝1，所以a＋b＝2.故选B.(2)(2025·河南九师联盟开学考试)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≥0，,\f(2,x)，x<0，))g(x)＝kx－1，若关于x的方程f(x)＝g(x)有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是()A．{e} B．[e，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，0))∪{e} D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,8)))∪{e}答案：C解析：由题意，关于x的方程f(x)＝g(x)有2个不相等的实数解，即y＝f(x)与y＝kx－1的图象有2个交点，如图所示，当k＝0时，直线y＝－1与y＝eq\f(2,x)的图象交于点(－2，－1)，又当x≥0时，ex－1≥0，故直线y＝－1与y＝ex－1(x≥0)的图象无公共点，故当k＝0时，y＝f(x)与y＝kx－1的图象只有一个交点，不符合题意；当k>0时，若直线y＝kx－1与曲线y＝ex－1(x≥0)相切，则y＝f(x)与y＝kx－1的图象有2个交点，设切点为P(x0，ex0－1)，则k＝y′|x＝x0＝ex0，又直线y＝kx－1过点(0，－1)，所以eq\f(ex0－1－（－1）,x0－0)＝ex0，解得x0＝1，所以k＝e；当k<0时，若eq\f(2,x)＝kx－1，则kx2－x－2＝0，由Δ＝1＋8k＝0，可得k＝－eq\f(1,8)，所以当k＝－eq\f(1,8)时，直线y＝kx－1与y＝eq\f(2,x)的图象相切，由图得当－eq\f(1,8)<k<0时，直线y＝kx－1与y＝f(x)的图象有2个交点．综上所述，实数k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，0))∪{e}．故选C.处理与切线有关的参数问题的策略(1)依据：曲线、切线、切点的三个关系①切点处的导数是切线的斜率；②切点坐标满足切线方程；③切点坐标满足曲线方程．(2)方法：列出关于参数的方程(组)或不等式(组)并解出参数．提醒：注意曲线上点的横坐标的取值范围．1.(2025·湖北武汉模拟)已知曲线f(x)＝lnx＋eq\f(x2,a)在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为eq\f(π,3)，则a的值为________．答案：eq\r(3)＋1解析：曲线f(x)＝lnx＋eq\f(x2,a)的导数f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(2x,a)，∵曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为eq\f(π,3)，∴f′(1)＝1＋eq\f(2,a)＝eq\r(3)，∴eq\f(2,a)＝eq\r(3)－1，∴a＝eq\r(3)＋1.2．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝eq\f(（x0＋a）ex0,x0)，化简，得xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．角度4两曲线的公切线问题(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________．答案：ln2解析：设f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.设g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g′(x)＝eq\f(1,x＋1)，设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得eq\f(1,x0＋1)＝2，解得x0＝－eq\f(1,2)，则切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，a＋ln\f(1,2)))，切线方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋a＋lneq\f(1,2)＝2x＋1＋a－ln2，因为两切线重合，所以a－ln2＝0，解得a＝ln2.一般地，求曲线C1：y＝f(x)与C2：y＝g(x)的公切线l的方程有以下三种方法：(1)设切点分别为A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，公切线l：y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（x1）＝g′（x2），,f（x1）－x1f′（x1）＝g（x2）－x2g′（x2），))研究方程组解的情况．(2)设切点分别为A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，公切线l的方程为y＝kx＋b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝f′（x1）＝g′（x2），,f（x1）＝kx1＋b，,g（x2）＝kx2＋b，))研究方程组解的情况．(3)设切点分别为A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(f（x1）－g（x2）,x1－x2)(x1≠x2)．研究方程组解的情况，解的情况对应着公切线的情况．但要注意，求解方程时，一般可转化为研究函数的零点问题．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的图象的公切线的条数为()A．3 B．2C．1 D．0答案：A解析：设公切线与f(x)和g(x)的图象分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，又f′(x)＝2x－4，g′(x)＝－x－2，则g′(n)＝f′(m)＝eq\f(g（n）－f（m）,n－m)，得m＝－eq\f(n－2,2)＋2，代入化简，得8n3－8n2＋1＝0，构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1，则h′(x)＝8x(3x－2)，故函数h(x)在(－∞，0)上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))上单调递增，又极大值h(0)>0，极小值heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有3个解，故切线有3条．故选A.课时作业一、单项选择题1．若f(x)＝cos2x，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝()A．－1 B．1C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)答案：A解析：因为f(x)＝cos2x＝eq\f(1＋cos2x,2)，所以f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos2x,2)＋\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)×(－sin2x)×(2x)′＝－sin2x，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,2)＝－1.2.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝()A．0 B．2C．－2 D．－1答案：C解析：设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝kx＋b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,－2k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝2，))所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此f′(1)－f(1)＝1－3＝－2.故选C.3．(2025·江苏宿迁模拟)我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为eq\f(0,0)型，比如：当x→0时，eq\f(ex－1,x)的极限即为eq\f(0,0)型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(ex－1,x)＝eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(（ex－1）′,x′)＝eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(ex,1)＝1，则eq\o(lim,\s\do6(x→1))eq\f(x2－1,x3lnx)＝()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D．2答案：D解析：eq\o(lim,\s\do6(x→1))eq\f(x2－1,x3lnx)＝eq\o(lim,\s\do6(x→1))eq\f(（x2－1）′,（x3lnx）′)＝eq\o(lim,\s\do6(x→1))eq\f(2x,3x2lnx＋x2)＝2.故选D.4．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为()A．(1，3) B．(－1，3)C．(－1，3)或(1，1) D．(－1，3)或(1，3)答案：D解析：设切点P(x0，y0)，由f′(x)＝3x2－1，可得切线的斜率k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－1，所以3xeq\o\al(2,0)－1＝2，解得x0＝±1，当x0＝1时，可得f(1)＝3，此时P(1，3)；当x0＝－1时，可得f(－1)＝3，此时P(－1，3)．5．若曲线y＝alnx＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，则a＝()A.eq\f(1,24) B.eq\f(3,8)C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,2)答案：B解析：由题意知，y′＝eq\f(a,x)＋2x≥2eq\r(2a)，当且仅当x＝eq\r(\f(a,2))时，等号成立．因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以斜率k≥eq\r(3)，则eq\r(3)＝2eq\r(2a)，解得a＝eq\f(3,8).6．过点P(1，2)作曲线C：y＝eq\f(4,x)的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－8＝0 B．2x＋y－6＝0C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－5＝0答案：A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝eq\f(4,x)，得y′＝－eq\f(4,x2)，∴曲线C在A点处的切线方程为y－y1＝－eq\f(4,xeq\o\al(2,1))(x－x1)，把P(1，2)代入切线方程，得2－y1＝－eq\f(4,xeq\o\al(2,1))(1－x1)，化简得2x1＋y1－8＝0，同理可得曲线C在B点处的切线方程为2x2＋y2－8＝0，∵A，B都满足直线2x＋y－8＝0，∴直线AB的方程为2x＋y－8＝0.故选A.7.(2025·江西抚州模拟)如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以2cm3/s的速度向该容器内注入溶液，随着时间t(单位：s)的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当t＝π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为()A.eq\f(\r(3,150),3π)cm/s B.eq\f(\r(3,300),5π)cm/sC.eq\f(\r(3,300),6π)cm/s D.eq\f(\r(3,150),2π)cm/s答案：A解析：设注入溶液的时间为ts时，液体的高度为hcm，液面半径为rcm，作圆锥轴截面，如图所示，图中SO1为液体高度，则SO1＝h，BO1＝r，又SO＝25，AO＝5，由图可得，△SO1B∽△SOA，则eq\f(BO1,AO)＝eq\f(SO1,SO)，即eq\f(r,5)＝eq\f(h,25)，即r＝eq\f(1,5)h，则由eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)h))eq\s\up12(2)·h＝2t，解得h＝eq\r(3,\f(150t,π))，h′＝eq\f(1,3)eq\r(3,\f(150,πt2))，当t＝π时，h′＝eq\f(1,3)eq\r(3,\f(150,π3))＝eq\f(\r(3,150),3π)，即当t＝π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为eq\f(\r(3,150),3π)cm/s.故选A.8．已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，则eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)的最小值为()A.eq\f(\r(10),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(2\r(10),5) D.eq\f(2\r(15),5)答案：B解析：eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)的最小值可转化为函数y＝lnx－x＋2图象上的点与直线x＋2y－4－2ln2＝0上的点的距离的最小值，由y＝lnx－x＋2，可得y′＝eq\f(1,x)－1，与直线x＋2y－4－2ln2＝0平行的直线的斜率为－eq\f(1,2)，令eq\f(1,x)－1＝－eq\f(1,2)，得x＝2，所以切点的坐标为(2，ln2)，切点到直线x＋2y－4－2ln2＝0的距离d＝eq\f(|2＋2ln2－4－2ln2|,\r(1＋4))＝eq\f(2\r(5),5).故选B.二、多项选择题9．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝cosx B．y＝lnxC．y＝ex D．y＝x2答案：AD解析：由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A，f′(x)＝－sinx，存在x1＝eq\f(π,2)，x2＝－eq\f(π,2)，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于B，f′(x)＝eq\f(1,x)＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于C，f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)·f′(x2)＝－1；对于D，f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－eq\f(1,4)，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1.故选AD.10．若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x＞0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)的公切线，则()A．m＝－2 B．m＝－1C．n＝6 D．n＝7答案：AD解析：设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x＞0)相切于点(a，a3)，对于函数y＝x3(x＞0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a＞0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2；设直线y＝3x－2与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)相切于点(b，3b－2)，对于函数y＝－x2＋nx－6(x＞0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b＞0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b＞0，所以b＝2，n＝7.故选AD.11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2x))，g(2＋x)均为偶函数，则()A．f(0)＝0 B．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)答案：BC解析：因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2x))为偶函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋2x))，所以函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(3,2)对称，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2×\f(5,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋2×\f(5,4)))，即f(－1)＝f(4)，故C正确；因为f(x)的图象关于直线x＝eq\f(3,2)对称，所以f(x)＝f(3－x)，所以f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＝－g(3－x)，所以g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))对称，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝0，g(1)＝－g(2)，又g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)＝g(2－x)，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))＝2，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；不妨取f(x)＝1(x∈R)，经验证满足题意，但f(0)＝1，故A错误．故选BC.三、填空题12．(2025·山东济南摸底)曲线y＝lneq\f(1＋x,1－x)在点(0，0)处的切线方程为________．答案：y＝2x解析：易知函数的定义域为(－1，1)，因为y＝lneq\f(1＋x,1－x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，所以y′＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(1,1－x)，当x＝0时，y′＝1＋1＝2，又当x＝0时，y＝0，所以曲线y＝lneq\f(1＋x,1－x)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x.13．(2025·重庆南开中学二检)已知直线y＝kx－2与曲线y＝x－eq\f(1,x)相切，则k＝________．答案：2解析：y＝x－eq\f(1,x)，则y′＝1＋eq\f(1,x2)，设切点的横坐标为x0，则曲线y＝x－eq\f(1,x)在x0处的切线方程为l：y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,xeq\o\al(2,0))))·(x－x0)，将x＝0，y＝－2代入，得－2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,xeq\o\al(2,0))))(－x0)，解得x0＝1，则k＝1＋eq\f(1,xeq\o\al(2,0))＝2.14．(2024·广东省四校联考)对于二元函数z＝f(x，y)，若eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx，y0）－f（x0，y0）,Δx)存在，则称eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx，y0）－f（x0，y0）,Δx)为f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记为f′x(x0，y0)；若eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0，y0＋Δy）－f（x0，y0）,Δy)存在，则称eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0，y0＋Δy）－f（x0，y0）,Δy)为f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，记为f′y(x0，y0)．已知二元函数z＝f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x>0，y>0)，则f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值为________．答案：－eq\f(1,3)解析：根据偏导数的定义，在求对x的偏导数时，f(x，y)中y可作为常数，即函数可看作是x的一元函数求导，同理在求对y的偏导数时，f(x，y)中x可作为常数，即函数可看作是y的一元函数求导，所以f′x(x，y)＝2x－2y，f′y(x，y)＝－2x＋3y2，f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)＝2x0－2y0－2x0＋3yeq\o\al(2,0)＝3yeq\o\al(2,0)－2y0＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－\f(1,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,3)，所以f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值是－eq\f(1,3).四、解答题15．设函数f