2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

第一节直线的倾斜角、斜率与直线的方程课标解读考向预测1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．近几年高考对本节内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线的方程，以常规题型常规解法为主要方向，常结合圆锥曲线考查．预计2026年高考会继续考查直线与其他知识的交汇融合，以运算为主．必备知识—强基础1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，eq\x(\s\up1(01))x轴正向与直线leq\x(\s\up1(02))向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为eq\x(\s\up1(03))0°≤α<180°．3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的eq\x(\s\up1(04))正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝eq\x(\s\up1(05))tanα(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．(3)斜率与倾斜角的联系如图，当直线l的倾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，α越大，直线l的斜率k越eq\x(\s\up1(06))大；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，α越大，直线l的斜率k越eq\x(\s\up1(07))大．4．直线的方向向量同斜率的关系若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(y,x)．5．直线的截距若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距．截距可正、可负，也可以为零．6．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式eq\x(\s\up1(09))y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式eq\x(\s\up1(10))y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\x(\s\up1(11))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式eq\x(\s\up1(12))Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用注意：当直线与x轴不垂直时，可设直线方程为y＝kx＋b；当直线与y轴不垂直时，可设直线方程为x＝my＋n．1．特殊直线的方程(1)过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的直线方程为x＝x1．(2)过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的直线方程为y＝y1．(3)y轴的方程为x＝0．(4)x轴的方程为y＝0．2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．3．两直线的夹角公式若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k2－k1,1＋k1k2)))．题组一走出误区——判一判(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα．()(3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等．()答案：(1)√(2)×(3)×题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第一册习题2．1T3改编)若直线经过两点A(m，1)，B(2－3m，2)，且其倾斜角为135°，则m的值为()A．0 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)答案：D解析：经过两点A(m，1)，B(2－3m，2)的直线的斜率为k＝eq\f(2－1,2－3m－m)＝eq\f(1,2－4m)，又直线的倾斜角为135°，所以eq\f(1,2－4m)＝－1，解得m＝eq\f(3,4)．故选D．(2)(人教A选择性必修第一册习题2．2T2改编)设x，y为实数，已知直线的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＋y＝()A．4 B．3C．－1 D．1答案：D解析：因为A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是斜率k＝2的直线上的三个点，所以kAB＝kAC＝2，所以eq\f(7－5,x－3)＝eq\f(y－5,－1－3)＝2，解得x＝4，y＝－3，则x＋y＝1．故选D．(3)(人教A选择性必修第一册习题2．2T10改编)如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：B解析：因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，将直线方程Ax＋By＋C＝0化为y＝－eq\f(A,B)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(C,B)))，由AC<0，且BC>0，可得直线的斜率k＝－eq\f(A,B)>0，在y轴上的截距为－eq\f(C,B)<0，所以直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选B．(4)(人教A选择性必修第一册2．2．2练习T3改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0．综上，直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0．考点探究—提素养直线的倾斜角与斜率(1)直线y＝－eq\r(3)x＋3的倾斜角为()A．30° B．60°C．120° D．150°答案：C解析：设直线y＝－eq\r(3)x＋3的倾斜角为α，因为直线的斜率为k＝tanα＝－eq\r(3)，所以α＝120°．故选C．(2)已知点A(－1，2)，B(2，eq\r(3))，P(1，0)，Q是线段AB上的动点，则直线PQ的斜率的范围为____________，直线PQ的倾斜角的范围为____________．答案：(－∞，－1]∪[eq\r(3)，＋∞)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4)))解析：如图，kPA＝eq\f(2－0,－1－1)＝－1，kPB＝eq\f(\r(3)－0,2－1)＝eq\r(3)，则直线PQ的斜率的范围为(－∞，－1]∪[eq\r(3)，＋∞)．因为直线PA，PB对应的倾斜角分别为eq\f(3π,4)，eq\f(π,3)，则直线PQ的倾斜角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4)))．确定倾斜角与斜率范围的常用方法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可1．已知直线l的方程为xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))答案：B解析：直线l的方程为xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，则直线l的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)sinα∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，故k＝tanθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以当k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))时，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))；当k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))时，θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))．综上所述，直线l的倾斜角θ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))．故选B．2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．答案：eq\f(1,3)－3解析：如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOC＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3．求直线的方程由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－eq\f(1,2)，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)，－3；(4)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)；(5)在x轴上的截距是－7，倾斜角是45°；(6)倾斜角为60°，与y轴的交点到x轴的距离是3．解：(1)由点斜式得y＋2＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0．(2)因为直线平行于x轴，所以直线的斜率等于0，由点斜式得y－2＝0×(x－4)，即y－2＝0．(3)因为在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)，－3，所以直线方程的截距式为eq\f(x,\f(3,2))＋eq\f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0．(4)由两点式得eq\f(y＋2,－4＋2)＝eq\f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0．(5)直线的斜率k＝tan45°＝1，由点斜式得y－0＝x＋7，即x－y＋7＝0．(6)直线的斜率为tan60°＝eq\r(3)，因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在y轴上的截距为±3，所以所求直线方程为y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3，即eq\r(3)x－y＋3＝0或eq\r(3)x－y－3＝0．求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时，要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0．(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，注意讨论B是否为0．3．(2025·陕西咸阳模拟)过点(－2，－3)，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程是________________．答案：3x－2y＝0或x－y－1＝0解析：①当直线过原点时，又直线过点(－2，－3)，则其方程为y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0．②当直线不过原点时，因为该直线在x轴、y轴上的截距互为相反数，所以设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，又直线过点(－2，－3)，则eq\f(－2,a)＋eq\f(－3,－a)＝1，解得a＝1，此时直线方程为x－y－1＝0．综上可得，所求直线方程为3x－2y＝0或x－y－1＝0．4．求适合下列条件的直线方程．(1)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；(3)已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，且l过点A(－4，3)．解：(1)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α．因为tanα＝3，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4)．又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0．(2)由题意，可知所求直线的斜率为±1．又过点B(3，4)，由点斜式，得所求直线方程为y－4＝±(x－3)，即x－y＋1＝0或x＋y－7＝0．(3)解法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，所以直线l的斜率k＝eq\f(3,2)，故直线l的方程为y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)，即3x－2y＋18＝0．解法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋4，y－3)，因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，整理可得直线l的方程为3x－2y＋18＝0．直线方程的应用(多考向探究)考向1直线方程与不等式的结合(2025·河南开封模拟)若直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，eq\f(a,b)＝()A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\r(2) D．eq\f(\r(2),2)答案：D解析：因为直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，则a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即b＝eq\r(2)a时，等号成立，所以直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2eq\r(2)，此时b＝eq\r(2)a，则eq\f(a,b)＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)．求解与直线方程有关的最值问题，一般是先根据题意建立目标函数，然后利用基本不等式(或函数)解决问题．5．(2025·河南信阳高级中学摸底)若直线mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)经过点(－2，－1)，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为()A．16 B．8C．4 D．2答案：B解析：因为直线mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)经过点(－2，－1)，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1(m>0，n>0)．所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)且2m＋n＝1，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(1,2)))时取等号，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为8．故选B．考向2直线方程与函数的结合某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，则公寓的最大面积为________m2(精确到1)．答案：6017解析：在线段AB上任取一点P，分别向CD，DE作垂线，划出一块长方形地面，以BC，EA的交点为原点，BC，EA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则AB的方程为eq\f(x,30)＋eq\f(y,20)＝1．设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，20－\f(2x,3)))，则长方形的面积S＝(100－x)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(80－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(2x,3)))))(0≤x≤30)．化简得S＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(20,3)x＋6000(0≤x≤30)．当x＝5，y＝eq\f(50,3)时，S最大，其最大值为eq\f(18050,3)≈6017m2．求解与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)或某一变量的函数，借助函数的性质解题．6．(2025·浙江金华模拟)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．答案：eq\f(1,2)解析：由题意得A(2，0)，B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)．由于0≤b≤1，故当b＝eq\f(1,2)时，ab取得最大值eq\f(1,2)．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★考向求直线的方程直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率求直线的方程直线的倾斜角与斜率直线方程的应用求直线的方程直线的倾斜角与斜率求直线的方程直线的倾斜角与斜率考点点斜式方程直线的倾斜角直线的斜率两点式方程直线的斜率直线的一般式方程及辨析截距式方程直线的倾斜角截距式方程；点斜式方程；一般式方程直线的倾斜角；直线的斜率；直线的方向向量关联点基本不等式题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★考向直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率；求直线的方程直线方程的应用直线的倾斜角与斜率；求直线的方程求直线的方程直线的倾斜角与斜率；直线方程的应用直线的倾斜角与斜率；直线方程的应用直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率；求直线的方程考点直线的倾斜角直线的斜率；截距式方程与直线有关的最值问题直线的倾斜角；点斜式方程两点式方程；点斜式方程直线的斜率；截距式方程；与直线有关的最值问题直线的斜率；截距式方程直线的斜率直线的倾斜角；点斜式方程关联点基本不等式正切的二倍角公式二次函数的最值幂函数的单调性；不等式的性质同角三角函数的基本关系一、单项选择题1．过点(1，2)且方向向量为(－1，2)的直线的方程为()A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0答案：A解析：由题意可知，直线的斜率k＝eq\f(2,－1)＝－2，由点斜式，得所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0．故选A．2．已知直线x＋my－3＝0的倾斜角为30°，则实数m的值为()A．－eq\r(3) B．－eq\f(\r(3),3)C．1 D．eq\f(\r(3),2)答案：A解析：由题意可知，直线x＋my－3＝0的斜率为－eq\f(1,m)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝－eq\r(3)．故选A．3．如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2C．k1<k2<k3 D．k3<k2<k1答案：A解析：设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tanα1<0，tanα2>tanα3>0，即k1<0，k2>k3>0，所以k1<k3<k2．故选A．4．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0答案：C解析：由题意知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为eq\f(y－4,2－4)＝eq\f(x－2,3－2)，整理得2x＋y－8＝0．故选C．5．已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))答案：D解析：直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，∵kPA＝eq\f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq\f(－1－1,－2－2)＝eq\f(1,2)，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤eq\f(1,2)．故选D．6．已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则下列说法中错误的是()A．当B＝0时，直线l总与x轴相交B．当C＝0时，直线l经过坐标原点OC．当A＝C＝0时，直线l是x轴所在直线D．当AB≠0时，直线l不可能与两坐标轴同时相交答案：D解析：依题意，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．对于A，当B＝0时，A≠0，直线方程可化为x＝－eq\f(C,A)，此时直线l总与x轴有交点，A正确；对于B，当C＝0时，直线方程为Ax＋By＝0，此时直线l经过坐标原点O，B正确；对于C，当A＝C＝0时，B≠0，直线方程可化为y＝0，此时直线l是x轴所在直线，C正确；对于D，当AB≠0时，如x－y＋1＝0，直线l过点(－1，0)，(0，1)，即直线l与两坐标轴同时相交，D错误．故选D．7．(2025·重庆八中高三模拟)过点P(1，3)作直线l，若l经过点A(a，0)和B(0，b)，且a，b均为正整数，则这样的直线l有()A．1条 B．2条C．3条 D．无数条答案：B解析：∵a，b均为正整数，∴可设直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，将P(1，3)代入直线方程，得eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，当b＝3时，eq\f(1,a)＝0，方程无解，∴a＝eq\f(b,b－3)＝eq\f(b－3＋3,b－3)＝1＋eq\f(3,b－3)，∵a∈N*，eq\f(3,b－3)≠0，∴eq\f(3,b－3)∈N*，∴b－3＝1或b－3＝3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,a＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝6，,a＝2，))即满足题意的直线l有2条．故选B．8．(2025·上海向明中学高三模拟)直线(a2＋1)x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))答案：C解析：由题意知，若a＝0，则倾斜角为θ＝eq\f(π,2)，若a≠0，则斜率k＝eq\f(a2＋1,2a)＝eq\f(a,2)＋eq\f(1,2a)，①当a>0时，eq\f(a,2)＋eq\f(1,2a)≥2eq\r(\f(a,2)·\f(1,2a))＝1(当且仅当a＝1时取等号)，②当a<0时，－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a,2)＋\f(1,－2a)))≤－2eq\r(\f(－a,2)·\f(1,－2a))＝－1(当且仅当a＝－1时取等号)，所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))．综上，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))．故选C．二、多项选择题9．下列说法正确的是()A．截距相等的直线都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示B．方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)能表示平行于x轴的直线C．经过点P(1，1)，且倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ·(x－1)D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0答案：BD解析：对于A，当截距相等且为0时，不可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示，A错误；对于B，方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)中，当m＝0时，变为y＋1＝0，此时与x轴平行，B正确；对于C，当倾斜角θ＝90°时，tanθ无意义，不能用y－1＝tanθ·(x－1)表示，C错误；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上任意一点，则eq\o(P1P2,\s\up6(→))∥eq\o(P1P,\s\up6(→))，其中eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，eq\o(P1P,\s\up6(→))＝(x－x1，y－y1)，所以(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，故经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，D正确．故选BD．10．(2025·河北衡水调研)已知直线l：eq\r(3)x＋y－2＝0，则下列说法中正确的是()A．直线l的倾斜角为eq\f(5π,6)B．直线l的斜率为eq\r(3)C．直线l不经过第三象限D．直线l的一个方向向量为v＝(－eq\r(3)，3)答案：CD解析：因为直线l：eq\r(3)x＋y－2＝0可以表示为y＝－eq\r(3)x＋2，所以直线l的斜率k＝－eq\r(3)，倾斜角为eq\f(2π,3)，故A，B错误；因为直线l的斜率k<0，在y轴上的截距b>0，所以直线l不经过第三象限，故C正确；取直线上两点A(0，2)，B(eq\r(3)，－1)，所以得到方向向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，3)，得到直线l的一个方向向量为v＝(－eq\r(3)，3)，故D正确．故选CD．三、填空题11．直线l的斜率为k，且k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),3)))，则直线l的倾斜角的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))解析：如图，当直线l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),3)))时，直线l的倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))．12．(2025·江西南昌模拟)设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________．答案：51解析：因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－eq\f(2,k－3)x＋2，由题意得－eq\f(2,k－3)＝－1，解得k＝5．直线l的方程可化为eq\f(x,k－3)＋eq\f(y,2)＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1．13．如图，某公园内有一个边长为20m的正方形ABCD区域，点M处有一个路灯，点M到AB的距离是6m，到BC的距离是8m，现过点M建一条直路分别交正方形区域两边于点P和点Q，若对△PBQ区域进行绿化，则此绿化区域面积的最小值为________m2．答案：96解析：如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则M(6，8)，根据题意可得直线PQ的斜率存在，设Q(a，0)(0<a≤20)，P(0，b)(0<b≤20)，则直线PQ的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，所以eq\f(6,a)＋eq\f(8,b)＝1，且1＝eq\f(6,a)＋eq\f(8,b)≥2eq\r(\f(6,a)·\f(8,b))，所以ab≥192，当且仅当eq\f(6,a)＝eq\f(8,b)＝eq\f(1,2)，即a＝12，b＝16时，等号成立，所以S△PBQ＝eq\f(1,2)ab≥eq\f(1,2)×192＝96，则此绿化区域面积的最小值为96m2．14．(2025·安徽合肥模拟)经过点(4，3)引l1，l2，l3三条直线，使它们的倾斜角的比依次为1∶2∶4，已知l2的方程为3x－4y＝0，则l1的方程为________________，l3的方程为________________．答案：x－3y＋5＝024x－7y－75＝0解析：设l1的倾斜角为α，则l2，l3的倾斜角分别为2α，4α，由l2的方程为3x－4y＝0，可知kl2＝eq\f(3,4)，所以tan2α＝eq\f(3,4)>0，tan4α＝eq\f(2tan2α,1－tan22α)＝eq\f(24,7)，所以l3的方程为y－3＝eq\f(24,7)(x－4)，即24x－7y－75＝0．由于4α∈(0，π)，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，由二倍角公式可得eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4)，解得tanα＝eq\f(1,3)或tanα＝－3(舍去)，故l1的方程为y－3＝eq\f(1,3)(x－4)，即x－3y＋5＝0．四、解答题15．已知▱ABCD的三个顶点分别为A(0，0)，B(3，0)，C(5，3)，求对角线AC，BD所在直线的方程．解：设D(x，y)，因为AC和BD的中点重合，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0＋5,2)＝\f(3＋x,2)，,\f(0＋3,2)＝\f(0＋y,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以D(2，3)，所以对角线AC所在直线的斜率为eq\f(3－0,5－0)＝eq\f(3,5)，对角线BD所在直线的斜率为eq\f(3－0,2－3)＝－3，所以对角线AC所在直线的方程为y－0＝eq\f(3,5)(x－0)，即3x－5y＝0，对角线BD所在直线的方程为y－0＝－3(x－3)，即3x＋y－9＝0．16．(2025·福建宁德第一中学校考)已知直线l在x轴上的截距为m，且在x轴、y轴上的截距之和为4．(1)若直线l的斜率为2，求实数m的值；(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．解：(1)依题意，直线在x，y轴上的截距都存在且不为0，设直线l的方程为eq\f(x,m)＋eq\f(y,4－m)＝1(m≠0且m≠4)，令y＝0，可得x＝m；令x＝0，可得y＝4－m，即直线l经过点(m，0)，(0，4－m)，所以直线l的斜率为k＝eq\f(4－m,－m)＝2，解得m＝－4．(2)设直线l的方程为eq\f(x,m)＋eq\f(y,4－m)＝1(m≠0且m≠4)，由直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点A，B，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,4－m>0，))解得0<m<4，又由A(m，0)，B(0，4－m)，可得S△AOB＝eq\f(1,2)|m||4－m|＝eq\f(1,2)m(4－m)＝eq\f(1,2)(－m2＋4m)＝－eq\f(1,2)(m－2)2＋2，当m＝2时，S△AOB取得最大值2，此时直线l的方程为eq\f(x,2)