2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第三节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式

第三节三角恒等变换课标解读考向预测1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数式的化简与求值，重在考查公式的正用、逆用以及变形运用．预计2026年高考可能单独考查，也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，应增强转化与化归思想的应用意识，选择题、填空题、解答题均有可能出现，难度中、低档.必备知识—强基础1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝eq\x(\s\up1(01))cosαcosβ＋sinαsinβ．(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝eq\x(\s\up1(02))cosαcosβ－sinαsinβ．(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝eq\x(\s\up1(03))sinαcosβ－cosαsinβ．(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝eq\x(\s\up1(04))sinαcosβ＋cosαsinβ．(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq\x(\s\up1(05))eq\f(\a\vs4\al(tanα－tanβ),1＋tanαtanβ)．(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(\a\vs4\al(tanα＋tanβ),1－tanαtanβ)．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝eq\x(\s\up1(07))2sinαcosα．(2)公式C2α：cos2α＝eq\x(\s\up1(08))cos2α－sin2α＝eq\x(\s\up1(09))2cos2α－1＝eq\x(\s\up1(10))1－2sin2α．(3)公式T2α：tan2α＝eq\x(\s\up1(11))eq\f(2tanα,1－tan2α)．3．辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).1．两角和与差正切公式的变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）)＝eq\f(tanα－tanβ,tan（α－β）)－1.2．降幂公式：sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α).3．升幂公式：1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))eq\s\up12(2).4．其他常用变形sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).5．半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).注：此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来．题组一走出误区——判一判(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)当α是第一象限角时，sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2)).()(3)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()答案：(1)√(2)×(3)√题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第一册5.5.1练习T2改编)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值为()A.eq\f(7\r(2),10) B．－eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10) D.eq\f(\r(2),10)答案：B解析：因为α是第三象限角，所以sinα<0，则sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).(2)(人教A必修第一册5.5.2练习T1改编)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，则taneq\f(α,2)＝()A．2－eq\r(5) B．2＋eq\r(5)C.eq\r(5)－2 D．±(eq\r(5)－2)答案：C解析：∵sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，∴taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\r(5)－2.故选C.(3)(人教B必修第三册习题8－2BT3改编)已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π))且sinθ＝eq\f(4,5)，则sineq\f(θ,2)＝________，coseq\f(θ,2)＝________．答案：－eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(5),5)解析：∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π))且sinθ＝eq\f(4,5)，∴cosθ＝－eq\f(3,5)，eq\f(θ,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))，∴sineq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋\f(3,5),2))＝－eq\f(2\r(5),5)，coseq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－\f(3,5),2))＝－eq\f(\r(5),5).(4)(人教A必修第一册复习参考题5T13改编)已知α为锐角，且(tan10°－eq\r(3))sinα＝－2cos40°，则α＝________．答案：80°解析：因为(tan10°－eq\r(3))sinα＝－2cos40°，所以sinα＝eq\f(－2cos40°,tan10°－\r(3))＝eq\f(－2cos40°cos10°,sin10°－\r(3)cos10°)＝eq\f(－2cos40°cos10°,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin10°－\f(\r(3),2)cos10°)))＝eq\f(－2cos40°cos10°,－2sin50°)＝cos10°＝sin80°，又α是锐角，所以α＝80°.第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式考点探究—提素养和、差、倍角公式的简单应用(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝()A．－3m B．－eq\f(m,3)C.eq\f(m,3) D．3m答案：A解析：因为cos(α＋β)＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，又tanαtanβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，从而sinαsinβ＝－2m，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m.故选A.(2)已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，tan2θ＝－4taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，则eq\f(1＋sin2θ,2cos2θ＋sin2θ)＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C．1 D.eq\f(3,2)答案：A解析：由θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，tan2θ＝－4taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，得eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(－4（tanθ＋1）,1－tanθ)，则－4(tanθ＋1)2＝2tanθ，则(2tanθ＋1)(tanθ＋2)＝0，解得tanθ＝－2或tanθ＝－eq\f(1,2)，因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以tanθ∈(－1，0)，所以tanθ＝－eq\f(1,2)，则eq\f(1＋sin2θ,2cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ,2cos2θ＋2sinθcosθ)＝eq\f(tan2θ＋1＋2tanθ,2＋2tanθ)＝eq\f(\f(1,4)＋1－1,2＋（－1）)＝eq\f(1,4).故选A.直接利用和、差、倍角公式化简求值的策略策略一记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”策略二注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用策略三注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用1.若tanαtanβ＝2，则eq\f(cos（α－β）,cos（α＋β）)的值为()A．－3 B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D．3答案：A解析：由题意，得eq\f(cos（α－β）,cos（α＋β）)＝eq\f(cosαcosβ＋sinαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ)＝eq\f(1＋tanαtanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3.故选A.2．(2025·陕西西安西光中学高三上期末)已知tanθ＝eq\f(2,3)，则sin2θ－cos2θ＝__________．答案：eq\f(7,13)解析：解法一：由tanθ＝eq\f(2,3)，得sinθ＝eq\f(2,3)cosθ.因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以cos2θ＝eq\f(9,13)，则sin2θ－cos2θ＝2sinθcosθ－2cos2θ＋1＝－eq\f(2,3)cos2θ＋1＝eq\f(7,13).解法二：sin2θ－cos2θ＝eq\f(2sinθcosθ－cos2θ＋sin2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ－1＋tan2θ,tan2θ＋1)＝eq\f(\f(4,3)－1＋\f(4,9),\f(4,9)＋1)＝eq\f(7,13).3．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，若eq\f(sin（α＋β）,cosβ)＝4，则tan(α＋β)＝________．答案：eq\f(16,7)解析：因为sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，因为eq\f(sin（α＋β）,cosβ)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosβ)＝sinα＋cosαtanβ＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)tanβ＝4，所以tanβ＝－eq\f(17,4)，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－\f(3,4)－\f(17,4),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4))))＝eq\f(16,7).和、差、倍角公式的逆用与变形用(1)sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．1答案：B解析：sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝sin(180°－71°)cos(360°－64°)＋cos71°sin64°＝sin71°·cos64°＋cos71°sin64°＝sin(71°＋64°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).故选B.(2)eq\f(1＋tan\f(7π,12),1－tan\f(7π,12))＝()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)答案：A解析：因为eq\f(1＋tan\f(7π,12),1－tan\f(7π,12))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tan\f(7π,12),1－tan\f(π,4)tan\f(7π,12))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(7π,12)))＝taneq\f(10π,12)＝taneq\f(5π,6)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－taneq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),3).故选A.(3)(2025·湖北武汉高三模拟)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，则α＝________．答案：－eq\f(π,12)解析：由cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，得cos2α－sin2α＝eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)，因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以cosα－sinα≠0，则cosα＋sinα＝eq\f(\r(2),2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，得α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，则α＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，解得α＝－eq\f(π,12).公式逆用与变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用．(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的．4.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)答案：B解析：由两角差的余弦公式，得cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝eq\f(1,2).故选B.5．tan50°－tan20°－eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°＝________．答案：eq\f(\r(3),3)解析：tan50°－tan20°－eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°＝eq\f(\r(3),3)＋eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°－eq\f(\r(3),3)tan50°tan20°＝eq\f(\r(3),3).6．(2025·安徽合肥高三模拟)已知sinα－eq\r(3)cosα＝1，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－2α))的值为________．答案：eq\f(1,2)解析：已知sinα－eq\r(3)cosα＝1，则2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinα－\f(\r(3),2)cosα))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，令β＝α－eq\f(π,3)，则α＝β＋eq\f(π,3)，即sinβ＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－2α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－2β－\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2β))＝cos2β＝1－2sin2β＝eq\f(1,2).角的变换(1)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________．答案：－eq\f(56,65)解析：因为α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以eq\f(3π,2)<α＋β<2π，eq\f(π,2)<β－eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，因为sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，所以cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(5,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(12,13)＝－eq\f(56,65).(2)(2025·四川成都高三模拟)已知角α，β满足tanα＝eq\f(1,3)，2sinβ＝cos(α＋β)sinα，则tanβ＝________．答案：eq\f(1,7)解析：因为2sinβ＝cos(α＋β)sinα，即2sin[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)sinα，所以2sin(α＋β)cosα－2cos(α＋β)sinα＝cos(α＋β)sinα，整理，得2sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα，变形得tan(α＋β)＝eq\f(3,2)tanα＝eq\f(1,2)，所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tan（α＋β）－tanα,1＋tan（α＋β）tanα)＝eq\f(1,7).1．三角公式求值中变角的解题思路思路一当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式思路二当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式或三角恒等变换把“所求角”变成“已知角”2.常用的拆角、配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)等．7.已知tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，tan(α－β)＝eq\f(1,3)，则tan(π－2α)＝()A．1 B．－1C．2 D．－2答案：B解析：∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴tan2α＝eq\f(tan（α＋β）＋tan（α－β）,1－tan（α＋β）tan（α－β）)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.又tan(π－2α)＝－tan2α，∴tan(π－2α)＝－1.故选B.8．(2025·河北唐山高三模拟)已知α，β满足sin(α＋2β)＝eq\f(5,12)，cos(α＋β)sinβ＝eq\f(1,3)，则sinα的值为________．答案：－eq\f(1,4)解析：因为sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(α＋β)cosβ＋cos(α＋β)sinβ＝eq\f(5,12)，所以sin(α＋β)cosβ＝eq\f(5,12)－cos(α＋β)sinβ＝eq\f(5,12)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,12)，所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝eq\f(1,12)－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,4).课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★考向和、差、倍角公式的逆用和、差、倍角公式的简单应用和、差、倍角公式的简单应用和、差、倍角公式的简单应用；和、差、倍角公式的逆用和、差、倍角公式的简单应用和、差、倍角公式的简单应用；和、差、倍角公式的逆用和、差、倍角公式的简单应用角的变换；和、差、倍角公式的简单应用和、差、倍角公式的逆用考点两角差的余弦公式的逆用两角和的余弦公式的正用两角差的正切公式的正用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式的正用；两角和的余弦公式的逆用二倍角的正、余弦公式的正用；两角差的正弦公式的正用两角和的正弦公式的正用；二倍角的正弦公式的逆用两角和与差的正弦公式的正用变换角利用两角差的正弦公式求值两角和的正、余公式的逆用；二倍角的正弦公式的逆用关联点诱导公式同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向和、差、倍角公式的逆用和、差、倍角公式的逆用和、差、倍角公式的逆用和、差、倍角公式的简单应用；和、差、倍角公式的逆用角的变换；和、差、倍角公式的简单应用和、差、倍角公式的逆用和、差、倍角公式的逆用和、差、倍角公式的简单应用角的变换；和、差、倍角公式的简单应用考点两角差的余弦公式的逆用二倍角的正切、余弦公式的逆用二倍角的余弦公式的逆用二倍角的正切、余弦公式的逆用；两角和的正弦公式的正用变换角利用两角和与差的正弦、余弦公式及倍角公式求值二倍角的正、余弦公式的逆用；两角和的正切公式的逆用二倍角的正、余弦公式两角和的正切、正弦公式的正用两角差的正、余弦公式的正用；变换角利用两角和的正弦公式求角关联点同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式诱导公式诱导公式；同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式诱导公式；同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式三角形的面积公式；三角函数的定义；同角三角函数的基本关系式一、单项选择题1．(2025·广东惠州高三调研)cos50°cos160°－cos40°sin160°＝()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)答案：D解析：cos50°cos160°－cos40°sin160°＝sin40°·cos160°－cos40°sin160°＝sin(40°－160°)＝－sin120°＝－eq\f(\r(3),2).故选D.2．在△ABC中，若cosA＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(3,5)，则cosC的值为()A.eq\f(7,25) B.eq\f(18,25)C.eq\f(24,25) D．－eq\f(24,25)答案：C解析：在△ABC中，由cosA＝eq\f(4,5)，得sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(3,5)，由cosB＝－eq\f(3,5)，得sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4,5)，∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＋eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(24,25).故选C.3．(2025·湖南长沙高三模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α))＝eq\f(1,3)，则sinα＝()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(\r(2),3)答案：A解析：由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α))＝eq\f(1,3)，得taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α))＝eq\f(tan\f(3π,4)－tanα,1＋tan\f(3π,4)tanα)＝eq\f(1,3)，解得tanα＝－2，故sinα＝－2cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝eq\f(4,5)，由于α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故sinα＝eq\f(2\r(5),5).故选A.4．(2025·福建泉州高三模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－sinα＝eq\f(2,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝()A．－eq\f(5,9) B．－eq\f(1,9)C.eq\f(1,9) D.eq\f(5,9)答案：B解析：由题意，得eq\f(2,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－sinα＝eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(1,9).故选B.5．已知α为第三象限角，且sin2α－2＝2cos2α，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4)))的值为()A．－eq\f(7,10) B.eq\f(7,10)C．－eq\f(7\r(2),10) D.eq\f(7\r(2),10)答案：D解析：sin2α－2＝2cos2α⇒sin2α－2＝2(1－2sin2α)⇒sinα＝±eq\f(2\r(5),5)，因为α为第三象限角，所以sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(5),5)，所以sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4,5)，cos2α＝1－2sin2α＝－eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2α－cos2α)＝eq\f(7\r(2),10).故选D.6．(2024·福建福州高三质量检测)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,4)，则sin2α的值为()A.eq\f(7,8) B.eq\f(\r(15),8)C．－eq\f(\r(15),8) D．－eq\f(7,8)答案：D解析：解法一：由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,4)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)sinα＝eq\f(1,4)，即cosα＋sinα＝eq\f(\r(2),4)，等式两边同时平方，得1＋sin2α＝eq\f(1,8)，所以sin2α＝－eq\f(7,8).故选D.解法二：sin2α＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2)))＝－eq\f(7,8).故选D.7．若sin(2α－β)＝eq\f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq\f(1,2)，则sin2αcosβ＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)答案：B解析：由sin(2α－β)＝eq\f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq\f(1,2)，得sin2αcosβ－cos2αsinβ＝eq\f(1,6)①，sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝eq\f(1,2)②，由①＋②，得2sin2αcosβ＝eq\f(2,3)，所以sin2αcosβ＝eq\f(1,3).8．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(5π,6)))＝eq\f(5,13)，则sin(α－β)的值为()A.eq\f(16,65) B.eq\f(33,65)C.eq\f(56,65) D.eq\f(63,65)答案：A解析：由题意可得α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β－eq\f(5π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(5π,6)))＝－eq\f(12,13)，所以sin(α－β)＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(5π,6)))))＝－eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝eq\f(16,65).二、多项选择题9．(2025·广西柳州高三模拟)下列等式成立的是()A．sin15°cos15°＝eq\f(1,2)B．sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝1C．cos105°cos75°－sin105°cos15°＝－1D.eq\r(3)sin15°＋cos15°＝1答案：BC解析：对于A，sin15°cos15°＝eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(1,4)，故A错误；对于B，sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝sin(75°＋15°)＝sin90°＝1，故B正确；对于C，cos105°·cos75°－sin105°cos15°＝cos(105°＋75°)＝cos180°＝－1，故C正确；对于D，eq\r(3)sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin45°＝eq\r(2)，故D错误．故选BC.10．已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是()A．cos(β－α)＝eq\f(1,2) B．cos(β－α)＝eq\f(1,3)C．β－α＝－eq\f(π,3) D．β－α＝eq\f(π,3)答案：AD解析：由题意，知sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ，将两式分别平方后相加，得1＝(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝2－2(sinβsinα＋cosβcosα)，∴cos(β－α)＝eq\f(1,2)，故A正确，B错误；∵α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴0<β－α<eq\f(π,2)，∴β－α＝eq\f(π,3)，故C错误，D正确．故选AD.11．已知α∈(π，2π)，sinα＝eq\f(tanα,2)＝taneq\f(β,2)，则()A．tanα＝eq\r(3) B．cosα＝eq\f(1,2)C．tanβ＝4eq\r(3) D．cosβ＝eq\f(1,7)答案：BD解析：因为sinα＝tanαcosα＝eq\f(tanα,2)，所以cosα＝eq\f(1,2)，又α∈(π，2π)，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，故A错误，B正确；因为taneq\f(β,2)＝sinα＝－eq\f(\r(3),2)，所以tanβ＝eq\f(2tan\f(β,2),1－tan2\f(β,2))＝－4eq\r(3)，cosβ＝eq\f(cos2\f(β,2)－sin2\f(β,2),sin2\f(β,2)＋cos2\f(β,2))＝eq\f(1－tan2\f(β,2),1＋tan2\f(β,2))＝eq\f(1,7)，故C错误，D正确．故选BD.三、填空题12．(2025·安徽合肥高三联考)sin2eq\f(π,12)－sin2eq\f(7π,12)＝________．答案：－eq\f(\r(3),2)解析：sin2eq\f(π,12)－sin2eq\f(7π,12)＝sin2eq\f(π,12)－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,12)))＝sin2eq\f(π,12)－cos2eq\f(π,12)＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).13．已知tan2θ＝－2eq\r(2)，eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,2)，则eq\f(2cos2\f(θ,2)－sinθ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝________．答案：－3＋2eq\r(2)解析：由tan2θ＝－2eq\r(2)，即eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－2eq\r(2)，解得tanθ＝eq\r(2)或tanθ＝－eq\f(\r(2),2).因为eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,2)，所以tanθ＝eq\r(2)且cosθ≠0，则eq\f(2cos2\f(θ,2)－sinθ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝eq\f(cosθ－sinθ,cosθ＋sinθ)＝eq\f(1－tanθ,1＋tanθ)＝eq\f(1－\r(2),1＋\r(2))＝－3＋2eq\r(2).14．已知α，β均为锐角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,6)))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝eq\f(5,13)，则sin(α＋β)＝________，cos(2α－β)＝________．答案：eq\f(33,65)eq\f(204,325)解析：因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝eq\f(5,13)，所以α＋eq\f(π,3)为第二象限角，β－eq\f(π,3)为第一象限角，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))))＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3))))＝eq\f(12,13)，所以sin(α＋β)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝eq\f(33,65)，cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π)＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))))＝－eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＋sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))))＝－eq\f(12,13)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))))－eq\f(5,13)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))))＝－eq\f(12,13)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－1))－eq\f(10,13)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(204,325).15．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝eq\f(cos2β,1－sin2β)，则()A．α＋β＝eq\f(π,2) B．α－β＝eq\f(π,4)C．α＋β＝eq\f(π,4) D．α＋2β＝eq\f(π,2)答案：B解析：tanα＝eq\f(cos2β,1－sin2β)＝eq\f(cos2β－sin2β,（cosβ－sinβ）2)＝eq\f(cosβ＋sinβ,cosβ－sinβ)＝eq\f(1＋tanβ,1－tanβ)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β)).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＝eq\f(π,4)＋β，即α－β＝eq\f(π,4).故选B.16．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于eq\f(355,113)，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则eq\f(1－2cos27°,π\r(16－π2))的值为()A．－eq\f(1,8) B．－8C．8 D.eq\f(1,8)答案：A解析：将π＝4sin52°代入eq\f(1－2cos27°,π\r(16－