2026年高考数学复习讲义专题01 集合与逻辑（解析版）

专题01集合与逻辑目录01析·考情精解 202构·知能框架 203破·题型攻坚 3考点一集合初步 3真题动向必备知识知识1有限集的子集个数确定知识2根据两集合的关系求参数的方法知识3集合的运算性质命题预测题型1元素与集合的关系题型2根据集合的包含关系求参数题型3集合的交、并、补运算及求参问题题型4集合中的新定义问题考点二常用逻辑用语 12真题动向必备知识知识1命题真假判定知识2集合判断法判断充分条件、必要条件知识3根据充分、必要条件求解参数命题预测题型1命题真假判定题型2充分条件与必要条件命题轨迹透视从近三年高考试题来看，集合与常用逻辑用语均属基础考点，多以4分选择题形式呈现。集合部分重点考查交、并、补等基本运算，常与一元一次、二次不等式或指数、对数不等式解法交汇，需通过集合表示方法的转化与化简求解，数轴法和特殊值法是常用技巧。常用逻辑用语核心考点为充分条件与必要条件的判断，常与其他知识结合，兼具基础性与综合性。此外，全称量词与存在量词命题的真假判断偶有考查。整体侧重考查考生的逻辑思维能力与转化能力，注重逻辑推理素养的体现。考点频次总结考点2025年2024年2023年集合上海卷T1，4分上海卷T1，4分上海卷T13，4分常用逻辑用语上海卷T16，4分2026命题预测预计在2026年高考中，集合仍为必考基础考点，大概率以5分单选题形式出现，侧重交、并、补运算，多与一元一次、二次不等式交汇，需用数轴法辅助求解，偶涉含参问题或空集特例。常用逻辑用语与其他知识交汇，判断命题真假，整体难度不高。

考点一集合1．（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答.【详解】因为，由，得或，又，且，即有且，因此，所以.故选：A2．（2025·全国二卷·高考真题，3，5分）已知集合则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，故，故选：D.3．（2025·全国一卷·高考真题，2，5分）已知集合，，则中元素个数为（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【详解】因为，所以，中的元素个数为，故选：C．4．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则．【答案】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：5．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则．【答案】/【分析】根据补集的含义即可得到答案.【详解】根据补集的含义知.故答案为：.知识1有限集的子集个数确定若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．知识2根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．知识3集合的运算性质（1），，；（2），，；（3），，；（4）；【易错提醒】①一定要清楚符号“{的属性}”表示的是具有某种属性的的全体，而不是部分；②一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么③根据或求参数取值范围,忽略的情况题型1元素与集合的关系1.（2025·上海黄浦·二模）已知全集，集合，若中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线均对称，且，则中的元素个数至少有A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】因为,中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线对称，所以所以中的元素个数至少有8个，故选：C.2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，解得.故选：A.3．（2025·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（

）A．9 B．8 C．6 D．5【答案】C【解析】，共6个元素.故选：C.4．（2025·河北沧州·阶段练习）已知集合有16个子集，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为集合有16个子集，所以集合中有4个元素，分别为0，1，2，3，所以.故选:A题型2根据集合的包含关系求参数5.（2025·上海崇明一模）若集合满足，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，则或.故选：A6．（2025·上海金山·模拟）已知集合，，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为表示四个顶点分别为的正方形围成的区域(包括边界),而表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以.故选:B7．（2025·上海浦东模拟）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，，则，，则，所以的关系满足.故选：A8．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以或，所以或，所以，当时，，解得，满足；当时，要使，则，解得，综上，，即的取值范围是.故选：D9．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，又，，所以，解得，故选：B.10．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，当时，则，解得，综上所述，实数的取值范围是．故选C题型3集合的交、并、补运算及求参问题11．（2025·上海宝山·阶段练习）设全集为自然数集，．那么集合可以表示成（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合是所有偶数的集合，是所有4的倍数的集合.A选项，由于，所以A选项错误.B选项，由于，所以B选项错误.C选项，由于，所以，所以C选项正确.D选项，由于，所以D选项错误.故选：C12．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合，则（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设，所以.故选：B13．（2025·陕西榆林·模拟预测）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】全集，则，因为全集，集合，所以，所以.故选：D14．（2025··湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，所以，又，所以.故选：A15．（2025·广东肇庆·一模）已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为集合，所以或，又,所以.故选：A16．（2025·河南·开学考试）设集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，即{或}，所以.故选：B17．（2025·上海·阶段练习）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】因为全集，集合或，，在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则，，因此阴影部分区域所表示的集合为.故选：C.题型4集合中的新定义问题18．（2025·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（

）A．5 B． C． D．【答案】D【解析】根据新定义，集合，则，则，则可知所有元素之和为．故选：D19．（2025·贵州黔东南·二模）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误；对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误；对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误，对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确；故选：D.20．（2025·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（

）个．A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【解析】根据题意，，则集合的非空子集的个数是.故选：B21．（2025··河北·开学考试）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【解析】结合题意：因为，所以，解得，即，所以全集，由可得，所以，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为.故选：B.22．（2025·广东·二模）若集合，，定义集合且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，则，又且，则，故选C23．（2025··上海宝山·阶段练习）新定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的子集个数为（）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【解析】由自恋数的定义可知一位正整数的自恋数组成集合，解不等式得，所以，所以，故其子集个数为，故选：C24．（2025··上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合同时满足：①；②(其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为,,,；当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为,,；当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为，综上所述，的所有“好子集”的个数为8.故选：B25．（2025··上海·期中）已知全集为无理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，若中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割.对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（

）A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素【答案】C【解析】由题意，将无理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，对于A中，若集合，则集合没有最大元素，中有一个最小元素，所以A正确；对于B中，若集合，则集合没有最大元素，中也没有最小元素，所以B正确；对于D中，若集合，则集合中有一个最大元素，中没有最小元素，所以D正确；对于C中，无论怎样“优分割”，都不可能使得集合中有最大元素，且中有最小元素，所以C不正确.故选：C.26．（2025·湖南长沙·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．【答案】7【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，，，，共7个．考点二常用逻辑用语1．（2025·北京·高考真题，7，5分）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，取，则，充分性成立；取，，则对任意，一定存在，使得，取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.故选：A.2．（2025·天津·高考真题，2，5分）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，则“”是“”的充分条件；又当时，，可知，故“”不是“”的必要条件，综上可知，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（

）①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题【答案】B【解析】对于①，不妨设椭圆方程为，，则椭圆上一点到距离为，当时，对称轴，可得，总存在使得，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确，对于②，对于给定的双曲线和点，显然存在最小值，而横坐标趋近于无穷大时，趋近于无穷大，，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误，故选：B知识1集合判断法判断充分条件、必要条件若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：c，：，则（1）若，则是的充分条件；（2）若，则是的必要条件；（3）若，则是的充分不必要条件；（4）若，则是的必要不充分条件；（5）若，则是的充要条件；（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.知识2根据充分、必要条件求解参数①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．知识3四种命题的关系及真假判1.四种命题间的关系2.四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假【易错提醒】正难则反的解题策略1.求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确.2.常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：原词等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个至多有n个至少有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个至少有(n＋1)个一个也没有题型1充分条件与必要条件1．（2025·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（

）条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要【答案】C【解析】充分性：根据诱导公式，因为，所以或，当时，；当时，；所以由不能必然推出，充分性不成立；必要性：因为，所以，此时，所以由可以推出，必要性成立；综上，是的必要非充分条件；故选：C.2．（2025·上海青浦·一模）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为幂函数的定义域为，且在上单调递增，又为奇函数，故在上单调递增，则由可推出，故充分性成立；由也可推出，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件.故选：C.3．（2025·上海杨浦·三模）“”是“”的（）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】D【解析】当时，，不能得出，不具备充分性，当时，正切值不存在，所以不能得出，也不具备必要性.故选：D.4．（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】当等号成立时，可知，两边同时平方得，化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是.故选：A.5．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分又不必要【答案】A【解析】若，则直线，直线，此时平行，若平行，则即，当时，平行，当时，直线，直线，此时也平行，故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件，故选：A.6．（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A.若，满足，不满足，故A不是充分条件；B.当满足，不满足，所以B不是充分条件；C.若，又因为，所以，所以C是充分条件；D.，，满足，不满足，故D不是充分条件.故选：C7．（2025·山东菏泽·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，所以，由得，因为，所以取不到等号，即，所以“”是“”的充分条件；又时，，所以“”不是“”的必要条件.综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A8．（2025·上海静安·一模）设a，，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】令，，满足，但，；当且时，能得到，所以“”是“且”的必要不充分条件.故选：.题型3命题真假判断9．（2025·上海青浦期末）下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③；④至少存在一个整数x，使得是整数．其中是真命题的为（

）．A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【答案】A【解析】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确；因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确；因为，故③正确；取，则是整数，故④正确.故选：A.10．（2025·上海闵行·期中）下列命题中：①关于x的方程是一元二次方程；②空集是任意非空集合的真子集；③如果，那么；④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（

）A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④【答案】B【解析】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题；②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题；③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题；④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题，故选：B11．（2025·江苏宿迁期末）以下四个命题中，真命题的个数是（

）①“若，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”.A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【