2026年高考数学复习讲义专题03 函数的性质（单调性、对称性、周期性等）的综合应专题（解析版）

专题03函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性等)的综合应用目录01析·考情精解 202构·知能框架 203破·题型攻坚 2考点一函数及其表示 2真题动向必备知识知识点1函数及其表示知识点2分段函数命题预测题型1函数的定义域题型2函数的值域题型3函数的表示方法题型4分段函数考点二函数的基本性质 10真题动向必备知识知识1函数的单调性知识2函数的奇偶性知识3函数的对称性命题预测题型1函数的单调性题型2函数的最值题型3函数的奇偶性题型4函数的周期性题型5函数的对称性题型6函数新定义命题轨迹透视从近三年高考试题来看，若出现单一知识点,必定是送分题,如考查函数的定义域、单调性、奇偶性等;若出现综合性题目,大都以压轴题形式呈现,常综合函数的单调性、奇偶性、周期性命制,或将函数的性质融入函数的图象进行考查,函数的零点是考查的热点之一,需要结合导数、不等式等知识进行求解.考点频次总结考点2025年2024年2023年函数及其表示上海卷T2，4分上海卷T5，4分函数基本性质上海卷T14，4分2026命题预测备考时首先将学习重点放在以下几方面:函数的基本性质、二次函数与幂函数、指数函数与对数函数、函数的零点与方程的根、函数模型及综合应用.其次对常见的结论或方法要加强记忆与理解,例如:①基本初等函数的解析式;②常见函数定义域的求法;③函数解析式的求法;④函数图象的变换;⑤周期函数的常用结论;⑥函数零点的常见求法等.最后,要注重函数知识与不等式、方程、导数知识的综合问题,对于函数模型及综合应用,则需掌握常见的几类函数模型及其解题思路考点一函数及其表示1．（2024·上海·高考真题）已知则．【答案】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因为故，故答案为：.2．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是；【答案】【分析】分段讨论的范围即可.【详解】当时,根据指数函数的图象与性质知，当时,.综上:的值域为.故答案为：.知识1函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.知识2函数三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．知识3函数表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．知识4分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．题型1函数的定义域1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，解得，所以的定义域为．故选：A．2．（25-26高一上·云南·期末）函数的定义域是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知可得，解得且，所以函数的定义域是.故选：A.3．（25-26高一上·广东惠州·月考）函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】使有意义，只需：，即：且.故选：C4．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于，由解得，所以的定义域为.对于有，解得，所以的定义域是.故选：C5．（25-26高一上·辽宁·月考）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可得，解得且，所以定义域为.故选：D.题型2函数的值域6．（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为，当时，，从而，则，故函数的值域为．故选：D．7．（24-25高一下·贵州黔南·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，其中，为的小数部分，则，则，所以函数的值域为：.故选：A8．函数的值域（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数的定义域为，，所以函数的值域为，故选D.9．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】方法一：由得定义域为；因为单调递增，单调递减，所以单调递增；所以函数值域为．方法二：令，则，，所以，由于,故函数在上单调递减，且时，函数取到最大值2，所以函数值域为，故选A．题型3函数的表示方法10．（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由图象可知，所以，故选：D.11．（2025高二下·湖南·学业考试）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（

）（默认）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得，则，其中，则，则，故矩形的长关于宽的函数解析式为.故选：A12．（25-26高一上·浙江·期中）图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（

）A．（2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价.B．（2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价.C．（2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变.D．（2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变.【答案】A【解析】（2）直线向上平移，当乘客量为0时，差额绝对值变小，又收入为0，说明降低成本，两直线平行，说明票价不变；（3）：当乘客量为0时，差额未变，又收入为0，说明成本没变，直线的倾斜角变大，说明相同的乘客量时收入变大，即票价提高了.故选A13．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】首先一开始离自己家的距离最小，则AB错误；开始是走，所以在较短的时间内离家的距离增加的较慢，而后是跑，所以离学校的距离增加的较快，故C错误，D正确，故选D.14．（25-26高二下·四川南充·月考）对于函数，部分与的对应关系如表:x……123456789……y……745813526……若数列满足:，且对于任意，点都在函数的图象上，则（

）A．460 B．462 C．463 D．464【答案】D【解析】因为数列满足点都在的图象上，可得，又因为，可得，，，，，所以数列是以3项为周期的周期数列，且则，故选D.题型4分段函数15．（2025高一上·江西鹰潭·专题练习）已知函数那么的值是（

）A．8B．7C．6 D．5【答案】A【解析】，则故选A.16．（25-26高三上·天津河东·月考）设函数则的值为（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】D【解析】由题意有：，所以，故选：D.17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数，则（

）A．4 B． C． D．1【答案】B【解析】因为函数，所以可得，则.故选：B18．（25-26高一上·山东济南·期中）设函数（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【解析】因为所以，则.故选：A.19．（25-26高一上·广东汕头·期中）设，若，则等于（

）A． B．C． D．1【答案】A【解析】函数，而，则当时，，解得，矛盾；当时，，解得，因此；当时，，解得，矛盾，所以等于.故选：A20．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若，则整数a的值为（

）A．0 B．1 C．-1 D．-1或0【答案】D【解析】当时，，故满足题意；当时，，，故不满足题意；当时，，，故满足题意.综上，可得整数a的值为或.故选D考点二函数基本性质1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】D【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.【详解】∵，∴，当时，定义域上严格单调递减，此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.故选D知识1函数单调性与最值知识2函数的奇偶性、单调性与对称性题型1函数的单调性1．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B．[8，16]C． D．【答案】D【解析】函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为.因为该函数在上单调，因此，需满足：或，解得：或.故选：D2．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得或，∵在单调递增，而是增函数，由复合函数的同增异减的法则可得，函数的单调递增区间是.故选：D.3．（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，若为单调递增函数，则；当时，为单调递增函数，若是上的增函数，需有，解得．故选：B．4．（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是，故选：D.5.（24-25高二下·广东湛江·期末）已知是定义在区间上的减函数，且，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意得，解得，因为是定义在区间上的减函数，且，所以，解得，所以的取值范围是.题型2函数的最值6．（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】函数，单调递减，所以当时，函数的最大值是.故选：B.7．（25-26高一上·四川德阳·期中）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，所以在上单调递增，则,所以函数的值域是,故选：B8．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（

）．A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值【答案】B【解析】令，则．又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值.故选B．9．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）函数，的最小值为（

）A． B．0 C．5 D．+4【答案】B【解析】由在上单调递增，所以.故选：B10．（25-26高一上·北京顺义·期中）函数（）A．有最大值，也有最小值B．没有最大值，有最小值C．有最大值，没有最小值D．没有最大值，也没有最小值【答案】D【解析】由题意，令，因为，所以，则所求变为，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以在上单调递增，所以，即的值域为，所以没有最大值，也没有最小值.故选：D题型3函数的奇偶性11．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知幂函数是奇函数，则（

）A． B． C．1 D．4【答案】D【解析】由题意得，∴或，当时，是偶函数；当时，是奇函数.故选：D.12．（25-26高一上·江西南昌·月考）设为偶函数，当时，，则（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，，，即，，为偶函数，.故选：C.13．（25-26高一上·江西·月考）已知是定义域为R的奇函数，且当时，，则（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【解析】因为是定义域为R的奇函数，所以，令，可得，所以，令，则，所以.故选：C.14．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）已知是定义域为的偶函数，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】是定义域为的偶函数，，解得：，，.故选：A.15．（25-26高一上·陕西西安·期中）若为奇函数，则（

）A． B．2 C． D．－2【答案】A【解析】由题意得，则，因为为奇函数，则其定义域关于原点对称，则，则，其定义域为，则，则，则，定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，满足题意.则.故选：A.16．（25-26高一上·四川阿坝·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，则当时，，有，又函数是奇函数，则，故当时，.故选：D.题型4函数的周期性17．（25-26高三上·山西太原·期中）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（

）A． B． C．1 D．5【答案】B【解析】由题意得.故选：B.18．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数是周期为的奇函数，所以，又当时，，所以，则.故选：A.19．（25-26高三上·江苏宿迁·期中）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是定义在上且周期为2的偶函数，所以所以.故选：D.20．（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知是定义在上且周期为6的奇函数，当时，，则（

）A．-4 B．-2 C．2 D．4【答案】B【解析】由于的周期为6，因此，又因为是定义在上的奇函数，所以，又由条件得：，所以故选：B21．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则．【答案】/【解析】，题型5函数的对称性22．（24-25高二下·辽宁·期末）若曲线关于点中心对称，则（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解析】因为函数的定义域为R，且曲线关于点中心对称，所以，即.故选：D.23．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）把函数的图象关于y轴对称后得到的图象，则的图象与函数的图象关于（

）A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称【答案】D【解析】由题意知，.因为指数函数与对数函数（且）互为反函数，图象关于直线对称，所以的图像与函数的图像关于直线对称.故选：D.24．（25-26高一上·河南·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（）A． B．C． D．【答案】A【解析】若，则，故，由函数的图象关于点成中心对称图形，则.故选：A25．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】当，即时，单调递增，排除ABC选项，又，即的图象关于对称，D正确.故选：D26．（25-26高三上·吉林松原·月考）设定义域为R，对任意的都有，且当时，，则有（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以关于对称，因为当时，，单调递增，所以当时，单调递减，因为，所以.故选：B27．（25-26高一上·山东潍坊·期中）定义在上的函数的图象关于点对称，且有，则．【答案】【解析】因为函数的图象关于点对称，所以，即，又因为，所以，由可得：，所以，题型6函数新定义28．（25-26高一上·四川成都·期中）对于任意实数，定义，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，故选：C29．（25-26高一上·福建莆田·月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和牛顿，阿