2026年高考数学复习讲义专题05 方程的根与函数的零点（解析版）

专题05方程的根与函数的零点目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点方程的根与函数的零点真题动向必备知识知识点1函数的零点与方程的解知识点2三种函数模型的性质知识点3常见的函数模型知识点4利用导数研究函数的性质命题预测题型1求函数的零点题型2求函数零点或方程根的个数题型3判断零点所在区间题型4根据函数零点的个数求参数范围题型5根据函数零点范围求参数范围题型6数形结合法研究函数的零点题型7构造函数研究函数的零点命题轨迹透视从近三年高考试题来看，本章内容为高考必考内容，多集中于考查函数的零点，函数的应用，常结合函数的零点利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式的证明等问题，诸如求参数的范围、恒成立问题等.复习时，重点把握零点存在性定理，导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用.考点频次总结考点2025年2024年2023年方程的根与函数的零点第21题求函数零点或方程根的个数春考高考16、21题函数与方程的关系，函数与方程的综合运用春考高考9、19题函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型2026命题预测根据零点的情况求参数的取值范围，利用导数研究函数零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其他问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.考点方程的根与函数的零点1．（2023·上海·高考真题）函数(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.【答案】(1)不存在(2)且【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；（2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，，定义域为，假设为奇函数，则，而，则，此时无实数满足条件，所以不存在实数，使得函数为奇函数；（2）图像经过点，则代入得，解得，所以，定义域为，令，则的图像与轴负半轴有两个交点，所以，即，解得，若，即是方程的解，则代入可得，解得或.由题意得，所以实数的取值范围是且.2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；(2)若，求a的取值范围；(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．【答案】(1)不是；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）直接代入计算和即可；（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.【详解】（1）（1），，则不是中的元素.（2）法一：因为，则存在实数使得，且，当时，，其在上严格单调递增，当时，，其在上也严格单调递增，则，则，令，解得，则，则.法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，由图知，假设交点分别为，，联立方程组得（3）（3）对任意，因为其是偶函数，则，而，所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：其中，但其对应的值均未知.首先说明，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即，令，则，当时，即使让，此时最多7个零点，当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有3个零点，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，则最多在之间取得6个零点，以及在处成为零点，故不超过9个零点.综上，零点不超过9个.知识点1函数的零点与方程的解1.函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2.函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．3.函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．知识点2三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值的变化而各有不同知识点3常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)知识点4利用导数研究函数的性质题型1求函数的零点1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（

）A． B． C．或 D．和【答案】D【分析】直接解方程即得函数的零点.【详解】令，即，解得,所以函数的零点为和.故选：D2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】令，结合对数解方程即可得结果.【详解】令，即，可得，即，所以函数的零点是0.故选：A.3．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据指对数转化计算求解.【详解】由题意可得，即，则，故.故选：D.4．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点为（

）A．2 B．C．或 D．2和【答案】D【分析】根据零点定义结合对数运算计算即可.【详解】令，则，解得或．故选：D.题型2求函数零点或方程根的个数5．（25-26高一上·云南昭通·期中）函数的零点个数为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接解方程即可得答案.【详解】令，可得。解得，所以函数只有一个零点，故选：B．6．（2025·广西河池·三模）函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据分段函数的性质直接计算零点即可.【详解】令，符合题意；令或，，不符合题意，，符合题意.所以函数的零点个数为2.故选：B7．（2025高二下·湖南·学业考试）函数在区间上的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】令，解得，当时，分别计算出对应的值，找出符合的值即可得解.【详解】令，解得.当时，，符合条件；当时，，符合条件；当时，，符合条件；当时，，不符合条件；当时，，不符合条件.综上，在区间上，有三个解，即函数的零点个数为3.故选：D8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则在上的零点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【答案】B【详解】求函数在上的零点个数，即求函数的图象与函数的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数的图象与函数的图象在上的交点的个数为3．9．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由和都在上连续且单调递增，得在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点．再根据,可知函数有且只有一个零点.【详解】解：由和都在上连续且单调递增，得在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点．因为,,所以函数有且只有一个零点.故选：B.10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则方程的根的个数为（

）A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【分析】转化问题为函数和函数的图象在上的交点问题，进而结合图象求解即可.【详解】原方程即为，变形得，要求方程根的个数，即求函数和函数的图象在上的交点个数，作出两函数的图象如图所示，

由图可知，两函数图象在上共有2个交点，故原方程共有2个根．故选：C.11．（25-26高三上·四川广元·月考）方程的实根个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数，分别画出函数图象即可判断.【详解】，令，方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数.画出函数图象，如图可知两个函数的图象的交点个数为1个，即方程的实根个数为1个.故选：B.题型3判断零点所在区间12．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.【详解】函数的定义域为，函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，而，所以函数零点所在的一个区间是.故选：C13．（25-26高一上·山西·月考）函数的零点所在的区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合函数单调性与零点存在性定理计算即可得.【详解】因为与都是增函数，所以为增函数，又，，所以的零点所在的区间为．故选：B．14．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·月考）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据指数函数和一次函数性质得到为单调递增函数，再利用零点存在性定义即可判断零点所在区间.【详解】因为指数函数在上单调递增，一次函数在上单调递增，所以函数在上单调递增.；；；；；因为函数在上单调递增，且，所以函数的零点所在区间为.故选：D.15．（25-26高一上·广东·月考）函数的零点所在区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的性质判断函数在上单调递增，由零点存在性定理判断即可.【详解】函数的定义域为，因为，在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，因为，，，，所以由零点存在性定理可知零点所在区间为.故选：C.16．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值123452025118则不一定包含零点的区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据零点存在性定理判断各选项即可．【详解】因为，，，且函数的图象是一条连续不断的曲线，所以函数在区间，，上均有零点．而，所以函数在区间上不一定有零点．故选：A．17．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用函数的单调性定义判断函数的单调性和趋势，确定零点个数，再根据零点存在定理计算判断选项即可.【详解】因的定义域为，任取，由，当时，则，故，且，此时，即，即函数在上单调递减；当时，则，故，且，此时，即，即函数在上单调递增.又，，当时，，故函数在上无零点，在上有一个零点.又，故函数的零点所在区间是.故选：C.题型4根据函数零点的个数求参数范围18．（2025高一上·全国·专题练习）若函数在上恰有一个零点，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】讨论二次函数的零点的分布求参数的范围.【详解】由函数在上恰有一个零点，当时，，令，解得，符合题意，当时，由，要使函数在上恰有一个零点，则，即，解得，即，当时，在上只有一个零点，符合题意；当时，要使函数在上恰有一个零点，则或，即或，解得或，即或，时，在上只有一个零点，符合题意；综上，实数的取值范围为或.故选：C.19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数在内至少有一个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数运算化简函数，结合对数函数在内至少有一个零点，进而真数等于0，然后利用二次函数有根列不等式组，即可求解.【详解】在内至少有一个零点，即在上有根（令，则），即在上有根．令，则在上的图象与轴有交点，且需满足，，所以即，又的图象的对称轴为，且，则，即．所以实数的取值范围为．故选：B.20．（24-25高二下·北京延庆·期末）若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分离参数，可转化为直线与曲线交点个数，数形结合可得参数范围.【详解】由已知有两个解，即有两个解，设，则直线与函数有两个公共点，又，可知当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且当时，，，作出函数图象如图所示，所以当直线与函数有两个公共点，则，故选：A.21．（24-25高一下·四川泸州·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意将问题转换为在上有解，故只需求函数在上的值域即可.【详解】，由题意关于的方程在上有解，令，因为在单调递增，所以在单调递增，又因为在单调递增，所以在单调递增，而，当时，，所以，故的取值范围为.故选：A.22．（25-26高一上·全国·课后作业）设．若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数k可取（

）A． B． C．0 D．1【答案】CD【详解】因为，所以作出函数的图象如图所示．由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点．所以当时，方程有三个不同的实数解．结合选项知C，D正确．23．（2025·重庆·三模）已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意求出的范围，进一步可得周期的最小值，由此即可得解.【详解】当，则，有两个零点，则，所以，由知，最小正周期的最小值为.故选：D.24．（24-25高一下·云南·期中）已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，结合零点的个数可得，求解即可.【详解】因为，，所以，又因为函数在上恰有3个零点，所以，解得，所以的取值范围是．故选：A.25．（2025·四川凉山·三模）已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由诱导公式可得，得到，，分三种情况，得到不等式，求出实数m的取值范围.【详解】，，显然，故，，若，解得，若，解得，若，解得，综上，.故选：C题型5根据函数零点范围求参数范围26．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】易得函数在上单调递增，由求解.【详解】因为函数，在区间上单调递增，所以函数在上单调递增，由函数在区间上有零点，得即解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.27．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得.【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数，若在区间上存在零点，根据零点存在定理可知，只需满足，即，解得，所以实数的取值范围是．故选：D.28．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·月考）函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根据题意，由求解.【详解】解：因为函数在单调递增，且在内存在一个零点，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：B29．（21-22高一下·河南焦作·期末）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数得到函数为增函数，由题意可得，求解可得答案.【详解】，故在区间上恒成立在上单调递增.又函数在区间上存在零点，故，即，解得故选：C30．（25-26高一上·重庆巴南·月考）已知函数的两个零点分别在和内，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据零点存在性定理得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为函数的两个零点分别在和内，所以且所以解得，即故选：D题型6数形结合法研究函数的零点31.已知函数f（x）＝ex－（a∈R），讨论函数f（x）的零点个数.【解】由f（x）＝0，得xex＝a（x≠0）.设h（x）＝xex（x≠0），得h'（x）＝（x＋1）ex，令h'（x）＞0得x＞－1且x≠0，令h'（x）＜0，得x＜－1，所以h（x）在（－1，0）和（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减，所以h（x）min＝h（－1）＝－.又x＜0时，h（x）＜0，x＞0时，h（x）＞0，据此可画出h（x）的大致图象如图，所以①当a＜－或a＝0时，f（x）无零点；②当a＝－或a＞0时，f（x）有一个零点；③当－＜a＜0时，f（x）有两个零点.32.（2025·南昌模拟节选）已知函数f（x）＝x2＋bex（b∈R），若函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围.【解】函数y＝f（x）有3个零点，即关于x的方程f（x）＝0有3个根，也即关于x的方程b＝－x2ex有令g（x）＝－x2ex，则直线y＝b与g（x）＝－x2g'（x）＝x（由g'（x）＜0解得0＜x＜2；由g'（x）＞0解得x＜0或x＞2，所以g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增.g（0）＝0，g（2）＝－4e当x＞0时，g（x）＜0；当x→＋∞时，g（x）→0；当x→－∞时，g（x）→－∞，作出g（x）的大致图象如图所示，作出直线y＝b.由图可知，若直线y＝b与g（x）的图象有3个交点，则－4e2＜b＜即b的取值范围为（－4e2，033.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.(1)当时，求证：最大值小于；(2)若有两个零点，求实数k的取值范围.【解】（1）当时，，先证明：，令，其中，则，当时，，所以在上单调递增，即，则不等式在上恒成立，再证明：，令，其中，则，则当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，即，则不等式在上恒成立，所以有，证毕；（2）由得：，构造函数，由，因为，所以，即函数在上单调递增，由，根据单调性可得：再构造，则，则当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，即当时，由，可知，当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知，而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点，根据数形结合可得：.题型7构造函数研究函数的零点34.(2021·全国甲卷（理）T21节选)已知a>0且a≠1，函数f(x)=xaax(x>0).若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a【解】曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,可转化为方程xaax即方程lnxx=设g(x)=lnxx(x>0)，则g′(x)=1-lnx令g′(x)