2026年高考数学复习讲义专题09 正余弦定理在解三角形中的综合应用（原卷版）

专题09正余弦定理在解三角形中的综合应用目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点正余弦定理在解三角形中的综合应用真题动向必备知识知识点1正弦定理知识点2余弦定理知识点3三角形面积公式命题预测题型1正、余弦定理解三角形题型2三角形解个数问题题型3判断三角形形状题型4三角形面积问题题型5三角形边长最值问题题型6三角形角度最值问题题型7三角形中线问题题型8三角形角平分线问题题型9解三角形与三角恒等变换题型10解三角形实际应用命题轨迹透视解三角形是上海卷数学的核心考点，每年必考1题，主要以选择题、中档解答题形式呈现。高频考查正弦定理、余弦定理及面积公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。考点频次总结考点2025年2024年2023年正余弦定理在解三角形中的综合应用上海卷T11，5分上海卷T8，5分2026命题预测预计在2026年高考中，运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题仍是考查的重点。结合三角恒等变换与三角函数图象与性质、解三角形的题目多以解答题形式出现，分值为10分。考点正余弦定理在解三角形中的综合应用1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则(精确到0.1度)2．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则．知识点1正弦定理1正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在中，若角、及所对边的边长分别为，及，则有2正弦定理的推广及常用变形公式在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则①；；；③④⑤，，（可实现边到角的转化）⑥，，（可实现角到边的转化）知识点2余弦定理1余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：；2余弦定理的推论；；知识点3三角形面积公式①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).【易错提醒】常用结论在三角形中的三角函数关系①②③④⑤⑥若⑦若或题型1正、余弦定理解三角形1．的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（

）A． B． C． D．2．在中，角所对的边分别为，，，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（

）A． B． C． D．或题型2三角形解个数问题4．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A． B．C． D．5．已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．6．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A． B．C． D．7．在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型3判断三角形形状8．在中，，则的形状是（

）.A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形9．在中，角的对边分别为，则“”是“为等边三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形11．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形题型4三角形面积问题12．在中，角的对边分别为.已知是函数的一个零点，，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C．24 D．4813．在中，已知，，则的面积为（

）A． B．4 C． D．14．在中，，，，则的面积为（

）．A．8 B．16 C．32 D．6415．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（

）A． B． C．9 D．18题型5三角形边长最值问题16．在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为，若，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．17．在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．19．在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．题型6三角形角度最值问题20．在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（

）A． B． C． D．21．在中，，则的最小值为（

）A． B． C． D．22．在中，向量与向量垂直，则的最大值为（

）A． B． C． D．23．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（

）A． B． C． D．24．在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（

）A． B． C． D．题型7三角形中线问题25．在中，，是的平分线，，，则（

）A． B． C． D．26．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（

）A． B． C． D．27．在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（

）A． B． C．1 D．题型8三角形角平分线问题28．在中，的角平分线交于，则（

）A． B． C． D．29．在中，，是的平分线，，，则（

）A． B． C． D．30．在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为，若，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．31．在中，的平分线交BC于点，若，则（

）A． B．2 C． D．题型9解三角形与三角恒等变换32．记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．33．在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．34．已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．35．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．36．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．题型10解三角形实际应用37．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（

）A． B． C． D．38．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（

）A． B． C． D．39．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A