2026年高考数学复习讲义专题10 数列通项与求和专题（解析版）

专题10数列通项与求和目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点一数列通项真题动向必备知识求数列通项公式的常用方法命题预测题型1累加法题型2累乘法题型3构造数列法题型4倒数变换法考点二数列求和真题动向必备知识数列求和常用方法命题预测题型1分组转化法题型2裂项相消法题型3错位相减法法题型4倒序相加法命题轨迹透视从近三年高考试题来看，对数列的通项公式与数列求和考查仍是高考的热点,经常以选择题、填空题的形式出现,也常与数学文化结合命题,难度为一般;而对于等差、等比数列的证明以及求数列通项公式也是高考的热点,常在解答题中的第(1)问出现,难度中档以下.2026命题预测预计在2026年高考中，高考对数列求和的考查主要以解答题形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度为中等偏下,有时也常与函数、不等式等交汇命题.考点一数列通项1.（2025·天津卷T6），则数列（

）【答案】【解析】因为，所以当时，，当时，，经检验，满足上式，所以2.（2022·北京卷T15节选）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．证明为递减数列【解】由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，可得，所以，数列为递减数列，1.累加法形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．2.累乘法形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．3.构造数列法（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．4.倒数变换法形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．题型1累加法1．已知数列满足，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，所以.故选：C.2．在数列中，，，则.【答案】5【解析】由可得，故，，……,,相加可得，3．数列满足，且对任意的都有，则．【答案】21【解析】因为，所以，当时，，其中满足，故对任意的，所以数列的通项公式为，所以．4．已知数列满足，则.【答案】【解析】因，则.题型2累乘法5．若数列的首项，且，则数列的通项公式为.【答案】【解析】数列中，，，，．6．若数列满足，则.【答案】【解析】因为（1），所以（2），得,，所以有，所以.7．已知数列（）满足，且，则通项公式.【答案】【解析】由，得当时，.,以上各式两端分别相乘，得,即，，.又，适合上式..8．设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式.【答案】【解析】由，则又数列为正项数列，即，所以，即所以9．数列中，已知，，则通项等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对任意的，由可得出，.故选B.题型3构造数列法10．已知数列中，，，则．【答案】【解析】由，可得：，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以，11．数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【解析】数列中，由，得，即，而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，因此，即，所以数列的通项公式为.12．在数列{an}中若对于任意的正整数恒成立，则实数k的最大值为【答案】【解析】由有，且，故数列为首项为，公比为的等比数列，可得，不等式可化为，令，令，当时，取最大值，所以有最小值，若对于任意的正整数恒成立，所以，故实数k的最大值为.13．数列的首项，且（为正整数），令，则.【答案】【解析】因为数列的首项，且（为正整数），则，且，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，故，所以，，则，所以，数列为等差数列，故.14．已知，，则的通项公式为【答案】【解析】由递推关系式可得：，即，且由可得，故数列是以为首项，以1为公差的等差数列，则，，故数列的通项公式为：.15.已知数列满足，且，若，则（

）A．253 B．506 C．1012 D．2024【答案】B【解析】因为，所以.因为，所以，故为常数列，所以.由，解得，故选B16.已知数列满足且，其前项和为，则_____．【答案】9【解析】因为，所以，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，.题型4倒数变换法17.已知数列满足，若，则．【答案】【解析】由题得，则等式两边同取倒数得，则，，则数列为公差为2的等差数列，则，当，则，则18．已知数列满足，则.【答案】【解析】由已知得，，，，19．数列中,,,则数列通项公式【答案】【解析】因此数列为常数列，20．在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，由可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，所以，所以，故选：A.考点二数列求和1．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为．【答案】【解析】根据等差数列的求和公式，.2．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求；【答案】189【解析】由题意得，3．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.(1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求．【解】（1）由题意证明如下，，在数列中，，，∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列.（2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1，∴，即，在中，，∴，当且时，∴，∴∴.题型1分组转化法1．已知数列中，，（n为正整数）．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【解】（1）已知，等式两边同除得，且所以是以为首项，以为公差的等差数列.则，解得.（2）数列的前n项和为，根据等差数列等比数列前n项和公式可得，所以数列的前n项和.2．已知数列满足.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；写出的具体展开式，并求其值.【解】（1）由，得，即时，且，所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.（2）由（1）知数列是等比数列，公比为3，且首项，从而，所以，.3．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上.(1)求和的通项公式；(2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.【解】（1）因为，所以当时，，所以，所以，所以，又，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，因为点在函数的图象上，所以，即，又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以；（2）因为是所有的正偶数，又，所以，所以.4．在等差数列中，，且，，构成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．【解】（1）在等差数列中，，设公差为，由，，构成等比数列，可得，即有，得．因为当时，，不满足题意，舍去，所以，．（2）由（1）得，则，递增，由，可得时，正整数n的最小值为7．题型2裂项相消法5．已知数列的前项和满足条件，其中是正整数．(1)求证：数列成等比数列；(2)设数列满足．若，求数列的前项和．【解】（1）证明:由题意得，∴，又，解得，∴，∴数列是首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）得：，故，所以，令数列的前项和为，则，计算得，综上：数列的前项和为.6．已知数列满足.(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；(2)记，证明：.【解】（1）由，两边取倒数，可得，即有数列是首项，公差的等差数列，由等差数列的通项公式，可得，故.（2）由，可得7．记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解】（1）由已知，，即，解得（舍）或，.（2）由（1）得，，，8．已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585，(1)求数列的前项和；(2)，数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值．【解】（1）根据题意，设等差数列的前三项分别为，则，解得或，又数列为递增数列，所以，，.（2）由（1）得，，则，.因为是单调递增，，又，所以有最小值.题型3错位相减法法9．已知数列的前项和为，且.(1)证明:为等比数列(2)求数列的通项公式(3)求数列的前项和【解】（1）由题意可得，即，两边同时除以可得，又，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得，当时，，化简可得，当时，代入也成立，所以.（3）因为，则，，两式作差可得，所以.10．已知数列满足(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求的前项和【解】（1）因为，所以，又，所以，∴数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∵，∴，∴令两式相减，所以所以，又，∴11．已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求使得成立的所有的值；(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．【解】（1）设等比数列的公比为，则，整理得，解得，或（舍去），所以，所以；（2）由题可得，易得，当时，令，得，，所以，使得成立的所有的值为1，3，4；（3）由题可得，所以，所以，，两式相减得，所以．12．已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列.(1)证明：数列是等比数列，并写出通项公式；(2)若，设，求数列的前项和；(3)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.【解】（1）各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列．则：①，当时，，解得：．当时，②，①②得：，整理得：，所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列．所以：．（2）由于：，所以，则，所以①，②，①②得：，解得：．（3）设，则：，当，2，3时，，当时，，即，故的最大值为1，不等式对一切正整数恒成立，只需即可，故：，解得：或，所以的取值范围是：．题型4倒序相加法13．已知函数，数列是正项等比数列，且，(1)计算的值；(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值.【解】（1）因为函数，所以（2）因数列是正项等比数列，且，则，所以，同理，令，又，则有，故，所以.14．已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前2024项和.【解】（1）因为点均在函数的图象上，所以，当时，，即，当时，，因为满足上式，所以；（2）因为，所以，因为，所以，所以①，又②，①+②，得，所以.15．已知函数.(1)求证为定值；(2)若数列的通项公式为（为正整数，、、、），求数列的前项和；(3)设数列满足，.设.若（2）中的满足，恒成立，试求的最大值.【解】（1）证明：，因此，.（2）解：由（1）可知，，则，其中，即，所以，，且，，①，②①②得，因此，.（3）解：因为，，对任意的，，则，则，所以，，因为，则，所以，，所以，数列单调递增，因为，，，当时，的最小值为，因为恒成立，则，解得，所以，正整数的最大值为.16．设函数，．(1)解方程：；(2)令，求证：；(3)若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【解】（1）因为，，，所以，解得，所以．（2）因为，所以．因为，故．（3）由题知因为是实数集上的奇函数，所以，所以，解得，所以，又因为，所以，即解得．所以，在实数集上单调递增．由得，又因为是实数集上的奇函数，所