2026年高考数学专题专练专题08 数列的通项与求和问题9大题型（解析版）

专题08数列的通项与求和问题目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01累加法求数列通项题型02累乘法求数列通项题型03构造法求数列通项题型04取到数求数列通项题型05与关系法求数列通项题型06倒序相加法求和题型07分组(并项)法求和题型08裂项相消法求和题型09错位相减法求和第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1.（累加法求数列通项）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3n，则a6＝（）A.30 B.31C.45 D.46【答案】D【解析】由已知an＋1－an＝3n，∴a2－a1＝3，a3－a2＝6，…，a6－a5＝15，上述等式左右分别相加可得a6－a1＝3＋6＋9＋12＋15＝45，∴a6＝1＋45＝46.故选D.2.（累乘法求数列通项）已知，，则数列的通项公式等于A． B． C． D．【答案】C【解析】当n≥2时，，，显然成立，故选C3.（构造法求数列通项）已知数列满足，且，若，则（

）A．253 B．506 C．1012 D．2024【答案】B【解析】因为，所以.因为，所以，故为常数列，所以.由，解得，故选B4.（取到数求数列通项）已知数列中，且，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，即，所以为以为首项，公差为的等差数列，所以，所以.故选D.5.（与关系法求数列通项）已知数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【解析】由题意，当时，，两式相减得，，解得，在中，令，可得，故也满足，综上所述，所求即为.6.（倒序相加法求和）设，A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【详解】由于，故原式.7.（分组(并项)法求和）在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，．(1)求的通项公式；(2)求的前项和．【解】（1）依题意，，当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列，于是，即当为奇数时，，当为偶数时，，所以的通项公式是.（2）由（1）知，，.8.（裂项相消法求和）已知数列的首项为，前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，记数列的前项和为，求证：．【解】（1）由已知得，即，则，，，，等式左右分别相加可得，则；（2）依题意得，，则，又，所以，所以，即．9.（错位相减法求和）设正项数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和的取值范围．【解】（1）由得，，两式作差得，因数列为正项数列，则，令，则，则，则数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，故为奇数时，，数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，故为偶数时，，综上，数列的通项公式为；（2）由（1）可得，，设数列的前项和为，则，则，两式作差得，，则，令，则，则数列为递减数列，且，则，故，故数列的前项和的取值范围为.01累加法求数列通项4．设数列满足，且，则数列的前10项和为．【答案】【解析】因为数列满足，且，所以当时，，当时，上式也成立，所以，所以，则的前项和，所以数列的前10项和为．5．若数列满足，且（其中，），则的通项公式是．【答案】【解析】在数列中，，当时，，则，满足上式，所以的通项公式是.6．在数列中，，且，则.【答案】5【解析】，，…，各式累加得.7．在数列中，已知，且，则【答案】【解析】因为，所以，所以，，…，，将以上各式相加得.因为，所以，所以.02累乘法求数列通项8．已知数列满足，，则的通项公式为．【答案】【解析】因为数列满足，，则，所以，当时，，也满足，所以，对任意的，．9．若数列的首项，且，则数列的通项公式为.【答案】【解析】数列中，，，，．10．若数列满足,,则．【答案】【解析】得,,所以有,因此.1．数列中，已知，，则通项等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对任意的，由可得出，.故选B.03构造法求数列通项13．若数列满足，且，则数列的通项公式为.【答案】【解析】由，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，14．已知数列满足，且，则.【答案】【解析】由可得：，因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，即，故.15．已知数列满足且，则数列的通项公式为．【答案】【解析】因为，所以，即，即数列为首项3，公比为3的等比数列，则=，所以．11．设数列满足，且，则数列的通项公式为.【答案】【解析】.，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列.，所以.2．数列满足，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，所以所以，所以所以，所以，所以故选：D04取到数求数列通项16．已知数列满足，则.【答案】【解析】由已知得，，，，3．在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，由可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，所以，所以，故选：A.05与关系法求数列通项18．已知数列的前项和满足，则【答案】【解析】因为，所以.19．若数列满足，则数列的通项公式.【答案】【解析】因，则，两式相减得，当时，，不符合上式，故.20．记为数列的前项和，若，，则【答案】243【解析】，当时，有.当时，有.故，即，.又因为，则数列是公比为，首项为的等比数列.因此.当时，.21．数列的前n项和，则其通项公式.【答案】【解析】当时，.当时，，显然，所以数列的通项公式为.22．已知数列的前项和满足，则其通项公式．【答案】【解析】数列的前项和满足，当时，，当时，，满足上式，则．06倒序相加法求和23．已知为等比数列，且，若，则【答案】2017【解析】因为，同理，，….则24．设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得．【答案】【解析】∵f(x)＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝，∴由倒序相加求和法可知f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝25．已知函数，正项等比数列满足，则【答案】【解析】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到,因为的对称中心为，所以的对称中心为，所以，因为正项等比数列满足，所以，所以，所以，①，②，则①②相加得：即，所以.26．已知函数，数列是正项等比数列，且，(1)计算的值；(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值.【解】（1）因为函数，所以（2）因数列是正项等比数列，且，则，所以，同理，令，又，则有，故，所以.07分组(并项)法求和27．已知数列，是其前项的和，且满足.(1)求证：数列为等比数列；(2)记，求的表达式．【解】（1）时，，所以，当时，由,得，则，即，所以又，故就是首项为，公比为3的等比数列.（2）由（1）可得即.将代入得,所以=.28．等比数列的公比为2，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，，，解得，（2），.综上，29．已知等差数列满足：，公差，且、、恰为等比数列的前三项.(1)求数列与的通项公式；(2)若数列满足：，求数列前项和.【解】（1）由题意可知，，即，即，整理可得，因为，所以，，因此，.所以，，，则等比数列的公比为，故.（2）由（1）可得，所以，.30．已知数列满足：且，.(1)证明:数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，求的值．【解】（1）因为，，所以，又，所以，所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，所以，即，所以；（2），又，故，即，所以，解得.08裂项相消法求和31．已知数列的前项和满足条件，其中是正整数．(1)求证：数列成等比数列；(2)设数列满足．若，求数列的前项和．【解】（1）证明:由题意得，∴，又，解得，∴，∴数列是首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）得：，故，所以，令数列的前项和为，则，计算得，综上：数列的前项和为.32．设为数列的前项和，且是和8的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)令，数列的前项和为，证明：.【解】（1）解法1：因为是和8的等差中项，所以，即.①当时，，得.当时，，②①－②得，得，即.所以数列是以首项为8，公比为2的等比数列.所以.解法2：因为是和8的等差中项，所以，即.当时，，得.当时，，得.当时，，得.猜想：.（下面用数学归纳法证明）1当时，可知猜想成立，2假设时，猜想成立，即，依题意，得，得，又，得，则，得.即当时，猜想也成立.由1，2可知猜想成立，即.（2）因为，得，所以.由于，得，得，所以.33．设是等差数列的前项和，且，其中，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【解】（1）由题意得，根据等差数列前n项和与通项公式之间的关系，当时，，当时，，又当时，满足的通项公式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，，所以，所以数列的前项和.所以数列的前项和.34．已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)若是数列的前项和，求的最小值.【解】（1）设等差数列的公差为，由题意，即，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）由，.因为，即，所以为严格增数列，所以时，有最小值.09错位相减法求和35．已知数列的前项和为，且.(1)证明:为等比数列(2)求数列的通项公式(3)求数列的前项和【解】（1）由题意可得，即，两边同时除以可得，又，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得，当时，，化简可得，当时，代入也成立，所以.（3）因为，则，，两式作差可得，所以.36．已知等差数列的前项和为，若，.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)若，求数列的前项和.【解】（1）设公差为，则，，解得，故；；（2），故①，则②，式子①-②得，所以.37．已知数列各项均为正数，且满足，.(1)求证：数列为等比数列；(2)令，求数列的前项和.【解】（1）因为，则，又，所以，即，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）得，则，，，两式相减得即.38．数列满足，，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，.证明：当时，.【解】（1）因为，所以当时，，即，所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此；当时，，因为，所以，所以为常数，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此.故数列的通项公式为（2）由（1）知，①②①②得，所以令，则对恒成立，所以时，，所以当时，，即当时，1．已知数列满足，则.【答案】【解析】因为①，当时，②，①②得，所以，所以.2．在数列中，，且，则.【答案】4【解析】由题意可得，所以，，……，，累加得，所以，3．已知数列满足，，则数列的通项公式.【答案】【解析】若，则，即，这与矛盾，所以，由，两边同时除以，得，则，，，，上边的式子相加可得：，所以.4．已知等比数列的前n项和为，且满足，则．【答案】/【解析】当时，由，得，两式相减得，即，所以，所以，所以等比数列的公比，当时，，即，所以，解得.5．.【答案】【解析】令，则，两式作差得：所以6．若数列满足，，则（

）A．511 B．1023 C．1025 D．2047【答案】B【解析】由题意知:，则有，，，，，由累加可得，即.故选:B.7．已知数列的项满足，而，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，则，，，，，，累乘可得，所以，又，所以，经检验时也成立，所以.故选：B8．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，当时，，当时，，当时，也满足，∴数列的通项公式为，，故选：C9．在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，由可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，所以，所以，故选：A.10．在数列中，，，，记数列的前项和为，则（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【解析】因为，，，所以，，，，，，，所以是以为周期的周期数列，且，，，，所以.故选：B11．已知数列，当时，.【答案】99【解析】，则.解得.12．数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【解析】数列中，由，得，即，而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，因此，即，所以数列的通项公式为.13．若数列满足，则.【答案】【解析】因为（1），所以（2），得,，所以有，所以.13．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为．【答案】【解析】因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以3为首项，以3为公差的等差数列，可知这两个数列的公共项所构成的新数列是以3为首项，以为公差的等差数列，所以数列的通项公式为：，则，则的前10项和为.14．已知数列满足，则的通项公式为【答案】【解析】已知，将换为，可得，那么（）.利用累乘法求（），由（）可得：观察发现，约分后可得（）.当时，，与已知相符.所以，.15．若数列满足，（，），则的最小值是.【答案】6【解析】由已知，，…，，，所以，，又也满足上式，所以，设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，因此在时递减，在时递增，又，，所以的最小值是6，16．在数列中，，，，则的前20项和（

）A．621 B．622 C．1133 D．1134【答案】C【解析】设，，则，.由已知可得，，即，所以为以2为首项，2为公差的等差数列，.，即，所以为以1为首项，2为公比的等比数列，.所以，的前20项和.故选：C.17．数列满足，则数列的前9项和为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由数列满足，当时，，两式相减，可得，所以，当时，可得，所以数列的通项公式为，当时，，所以数列的前9项和为.故选：A.18．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（

）A．9 B．17 C．26 D．34【答案】D【解析】依题意，，由，得，当时，，即函数的图象关于点对称，，由等差中项的性质得，则，所以数列的前13项和为：.故选：D19．已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为．(1)设且，求x的取值范围；(2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．【解】（1）由题设，又且都不为