2026年高考数学专题专练专题11 轨迹方程与定点定值问题（原卷版）

专题11轨迹方程与定点定值问题目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01轨迹方程题型02定点问题题型03定值问题题型04定直线问题第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1.命题：直角坐标系中动点到定点的距离比到轴的距离大2；命题：动点的坐标满足方程．则是的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动，记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.以为坐标原点，方向为轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若，且，则的方程为.3．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形（Cassinioval）.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线，则的最大值为.4．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是．（填上你认为所有正确的序号）

①双纽线C关于原点O中心对称；②双纽线C上满足的点P只有1个；③；④的最大值为．5．某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）．(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程；(2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3m的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至0.1米）6．如图所示的玩具在底座上有一个圆洞，洞内有一块圆板，熊猫的模型通过细杆连接在圆板的边缘上.把圆板沿圆洞边缘滚动（注意不要有滑动），就会看到细杆上端的熊猫一边沿钢丝滑动，一边还转动着憨态可掬的身体，非常有趣.已知牵钢丝的两根柱子竖立在底座上，其竖立的位置连线经过圆洞的圆心，圆洞的半径长(1)证明：仅当圆板的半径长时，玩具可以实现上述效果；(2)现对此玩具进行装饰，在圆板上某条半径的中点处安装了一个小灯.当圆板滚动时，求该小灯的轨迹（灯的大小忽略不计）.01轨迹方程1．已知平面，直线，点，平面之间的距离为，则在内到点的距离为且到直线的距离为的点的轨迹是（

）A．圆 B．两个点 C．四个点 D．两条直线2．已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．已知方程所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的个数是（

）（1）当时，曲线表示一条直线（2）当时，曲线表示椭圆（3）存在实数，使得曲线为等轴双曲线（4）存在实数，使得曲线为抛物线A． B． C． D．4．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为.5．在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．02定点问题6．已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线l与椭圆相交于不同两点，且直线的斜率之积为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为直角三角形，求直线的斜率；(3)试问：动直线l是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由．7．已知椭圆，点为的上顶点．(1)求椭圆C的离心率；(2)求椭圆上动点到点的距离的最大值；(3)设与两坐标轴均不垂直的直线与椭圆交于异于的两点和，设直线的斜率分别为、，当时，判断直线是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由．8．已知动圆过定点，且与直线相切，其中.(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标；(3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标.9．已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点．(1)分别求的方程．(2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D．（i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．10．已知圆，直线的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、．(1)当的横坐标为时，求的大小；(2)求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标；(3)求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标．03定值问题11．已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点．(1)求椭圆的离心率；(2)若，直线的方程；(3)求证：为定值．12．已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点.(1)若直线，求两点坐标；(2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.13．已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点．(1)求椭圆的离心率；(2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值．14．已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为；(1)求椭圆的方程；(2)若点为椭圆上的一个动点，，不在直线上，求面积的最大值，并指出面积最大时点的坐标；(3)若直线与椭圆交于A，B两点，记直线的斜率为，且，问的面积是否为定值？如果是，求出该定值：如果不是，请说明理由：15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，(1)求椭圆的焦距和离心率.(2)若点是椭圆任意一点，判断是否为定值，并说明理由.(3)斜率为的直线与椭圆交于，两点，的中点为，的中点为，到直线的距离为，椭圆的右顶点到直线的距离为，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.04定直线问题16．已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为.(1)求双曲线的方程；(2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.17．如图所示的折纸又称＂工艺折纸＂，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4圆形纸片按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为，且；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕.这些折痕围成的一个图形.(1)以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形的标准方程；(2)求经过点，且与直线夹角为的直线交椭圆于两点，求的面积．(3)设为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线交于点，求证在定直线上，并求出定直线方程.18．已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合.(1)求双曲线的焦距和离心率；(2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；(3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程.19．如下图所示：曲线是与组成的，与其中的两个交点分别记作、，点在第一象限，点在第三象限.(1)如图1，设，，，求点的坐标和；(2)如图2，设四边形的四条边都与曲线相切，时，求四边形的面积；(3)如图3，在轴右侧的曲线上有两点、，直线经过点（点在上）.当时，是否存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称？若存在，求直线的方程，若不存在请说明理由.1．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（

）A． B．C． D．2．已知A、B是空间中的两个定点，若△PAB为正三角形，则点P的轨迹为（

）A．两个点 B．一个圆 C．一个平面 D．一个球面3．已知，，为坐标原点，动点满足，其中、，且，则动点的轨迹是（

）A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆C．焦距为的双曲线 D．焦距为的双曲线4．已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（

）.A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线5．在长方体中，点在矩形内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，则点的轨迹是（）A．线段 B．圆的一部分C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分6．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（

）

（1）方程，表示的曲线在第二和第四象限；（2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；（3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；（4）曲线上有个整点横、纵坐标均为整数的点.A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4）7．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，则下列命题：①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.真命题的序号是______.A．①② B．②③ C．③④ D．①④8．已知曲线．当时，①曲线所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线上的点到原点的距离的最大值为．则（

）A．①成立②成立 B．①成立②不成立C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立9．已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是．10．已知圆C：．(1)过的动直线l与圆C：交于A、B两点．若，求直线l的方程；(2)从圆C外一点Q向该圆引一条切线，切点为M，若（O为坐标原点），求动点Q的轨迹方程．11．某市轨道交通s号线的线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求轨道交通s号线的线路示意图所在曲线的方程：(2)规划部门在设计s号线线路的一个站点G时，考虑到景点Q为客流量巨大的热门景点，为了最大程度便于轨道交通s号线的乘客到达景点Q，应该如何设置站点G的位置？12．已知曲线和点，动点C在曲线上，(1)若线段AC的中点为M，求动点M的轨迹方程；(2)若动点P满足，求动点P的轨迹方程；(3)若，求的重心G的轨迹方程．13．在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.(1)试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）；(2)已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）.14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为．(1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率；(2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标；(3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值．15．设是正实数，抛物线的方程为为的焦点，经过的直线与相交于、两点，且在的上方.已知当的倾斜角为时，的横坐标为(1)求的值；(2)若的面积为4，求的方程；(3)过点作准线的垂线，垂足为点，求证:直线恒经过一定点.16．已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点．(1)求的标准方程；(2)若的斜率为1，且，求的值；(3)是否存在，使恒为定值？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由．17．已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为.(1)求的值及的面积；(2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.18．已知圆，圆．若动圆C与圆外切，且与圆内切，设圆心C的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)已知双曲线，过其右顶点A作直线分别交曲线E和双曲线于点（异于点A），作直线分别交曲线E和双曲线Γ于点（异于点A），设直线与直线交点为H，（ⅰ）求证：点的横坐标乘积为定值，并求出该定值．（ⅱ）求证：点H在定直线上，并求出该定直线的方程．19．已知椭圆的标准方程为，定点，直线l与椭圆交于两点且不过原点．(1)求椭圆的焦点坐标，并且指出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围（直接写出结果，可以不用证