2026年高考数学专题专练专题13 空间几何体与体积表面积计算（原卷版）

专题13空间几何体与体积表面积计算目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01简单几何体的概念和性质题型02表面积题型03体积题型04求角与距离题型05综合运用第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1.中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r为圆半径a为正方形边长h为矩形的长，b为矩形的宽，抗弯截面系数(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．2．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（

）

①圆的面积为；②椭圆的长轴长为；③双曲线两渐近线的夹角正切值为；④抛物线的焦点到准线的距离为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（

）A． B． C． D．4．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）平方尺.A． B． C． D．01简单几何体的概念和性质1.用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．．2．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（

）．

A．和； B．和； C．和； D．和．3．如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（

）

A． B． C． D．4．如图，ABCD是四面体.已知，，以下两个语句中：①棱AB与棱CD一定相等；②棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（

）A．①，②都正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①，②都错误02表面积5．已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（

）．A． B． C． D．6．某圆锥高为1，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为7．已知，则直角三角形绕斜边旋转一周所形成的几何体的侧面积为.8．已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为.9．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为．03体积10．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（

）A．四棱锥 B．四棱锥C．三棱锥 D．三棱锥11．如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为.12．已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱与底面成角为，则该棱锥体积为.13．已知四棱台的侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，，则四棱台的体积为.14．已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为．04求角与距离15．如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为.16．顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为．（精确到）17．给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（

）A． B． C． D．18．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为米．（结果精确到0.01米）

19．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为.05综合运用20．已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是．21．已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则．22.，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为.23．如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（

）①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为.A．0 B．1 C．2 D．324．已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论：①三角形SPQ面积的最大值为2；②三棱锥体积的最大值为；③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为．以上所有正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3

1．已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（

）A．9 B．8 C．6 D．2．若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（

）A． B． C． D．3．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为．4．如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有条.

5．已知点C在以AB为直径的球面上，若，则．6．圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为．7．已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比．8．已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为9．设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的体积为10．圆柱容器内部盛有高度为2的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为．11．对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：0~1010~2525~5050~100①小雨②中雨③大雨④暴雨小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级．（只填入雨水等级所对应的序号）12．正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是．13．图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为.

14．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则.15．如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱.光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为.

16．如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（

）A． B． C．2 D．17．已知正四面体的棱长为6，设集合，点平面，则表示的区域的面积为（

）A． B． C． D．18．三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（

）①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为.A．①②都是真命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是假命题19．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，．店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A比图B最多节省的彩绳长度为．20．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为

21．如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为.22．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位）23．正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是．24．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为.25．陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）．已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为．26．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为3，底面半径为2．(1)求该圆锥侧面展开图的圆心角；(2)设、为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的大小．27．如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点．(1)判断直线与的关系，并说明理由；(2)若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积．.28．将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．

(1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的