2026年高考数学专题专练专题14 线面位置关系证明与空间向量应用（原卷版）

专题14线面位置关系证明与空间向量应用目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01空间向量的概念题型02共线、共面问题题型03线、面平行与垂直关系题型04求空间角题型05求距离题型06立体几何中的探究性问题第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）2．平面直角坐标系中，已知椭圆左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角的直线与交于，两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后，两点在新图象中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示.

(1)求折叠前的标准方程；(2)当时，折叠后，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.3．如图所示，水平地面上插有两根杆子和所在直线垂直于地面且米，所在直线与地面斜交.小明有一把卷尺.他在某时刻分别测出杆子和在阳光下影子的长度，称为一次操作.小明可以在白天的不同时刻进行多次操作.假设阳光为平行光，正午时分的影子长度为0.则下列说法正确的是（

）A．为求出的长度，小明至少需要进行2次操作B．为求出的长度，小明至少需要进行3次操作C．为求出的长度，小明至少需要进行4次操作D．无论进行多少次操作，小明都不能求出的长度4．印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用，如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为．

5．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）平方尺．A． B． C． D．6．在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若和两点之间的距离是，则和两点之间的“直角距离”的取值范围是．01空间向量的概念1．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（

）

A． B． C． D．2．如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（

）A．B．、、三点共线C．与是异面直线D．3．在四棱锥中，若，则实数组可能是（

）A． B． C． D．4．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是．5．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是．02共线、共面问题6．已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（

）A． B．C． D．7．已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．在空间直角坐标系中，向量若，则.9．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为．10．如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点.(1)若点是的中点，证明：与、共面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小；(3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值.03线、面平行与垂直关系11．已知平面和平面，直线，直线，则下列结论一定成立的是（

）A．若，则 B．若与为异面直线，则C．若，则 D．若，则12．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.13．如图，在三棱锥中，，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．(1)求证：直线平面；(2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．14．如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点．

(1)证明：直线与直线的位置关系为异面且垂直；(2)求直线与平面所成角的大小．15．如图，在正三棱柱中，，延长CB至D，使，是线段的中点．(1)求证：①直线平面；②；(2)求二面角的正弦值．04求空间角16．如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点．(1)若，求三棱锥的体积；(2)若，求异面直线与所成的角的余弦值．17．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：平面ADE；(2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值．18．如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．(1)求证：平面；(2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值．19．如图，该几何体由一个棱长为4的正方体与一个半圆柱拼接而成，圆心、分别为线段、的中点，动点在弧上滑动.(1)若点为弧的中点，求直线与平面所成角的大小；(2)若弧的长度为，求证：平面平面.20．如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面.(1)证明：平面平面；(2)若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.05求距离21．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．22．如图，正方体的棱长等于4，点是棱的中点．(1)求直线与直线所成的角；(2)若底面上的点满足平面，求线段的长度．23．在边长为2的正方体中，已知点是棱上的动点（包含端点）.(1)若为的中点（图1），求点到平面的距离；(2)若点与点重合（图2），求证：与平面的交点为等边的中心；(3)是否存在点使得与平面的所成角是，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由.06立体几何中的探究性问题24．如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点.(1)当时，证明:平面平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值.25．如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．26．如图，在棱长均为4的四棱柱中，平面，，为线段的中点.（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.27．如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB=2．

(1)求直线与底面所成角大小；(2)求证：；(3)求点C到侧面的距离；(4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．1．以下说法正确的个数为（

）①直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是②平面内两个非零向量的夹角的取值范围是③空间两条异面直线所成角的取值范围是A．0 B．1 C．2 D．32．若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则3．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（

）

A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题4．我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的.现将沿折起，使点移动到点，使得空间四面体恰好是一个“鳖臑”，则二面角的大小为（

）A． B． C． D．5．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为．6．已知空间向量，，共面，则实数7．正方体中，异面直线与所成角的大小为.8．如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为．

9．关于空间向量，以下说法错误的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则与的夹角是锐角C．已知向量是不共面的向量，则也是不共面的向量D．若对空间中任意一点，有，则四点共面10．在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（

）A．垂直于同一条直线的两条直线平行B．垂直于同一个平面的两个平面平行C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直11．在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（

）A．为 B．为的中点C．的轨迹长度为 D．为的中点12．如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（

）A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得13．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，则与的夹角为钝角的概率是（

）A． B． C． D．14．设三维空间中全体的点构成集合的非空真子集V满足：对任意P、和任意，存在，使得．已知，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件15．在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（

）A．椭圆的一部分 B．线段C．圆的一部分 D．抛物线的一部分16．如图，从这6个点中随机选取3个点，则这3点与原点共面的概率为.17．正四面体中，相邻两个面所成的锐二面角的大小为.18．如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则．

19．如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面.20．如图，已知圆锥，点在底面圆周上，，且，动点落在劣弧上．(1)求证：平面平面；(2)若点平分劣弧，过点分别作，垂足分别为两点，求二面角的大小．21．如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为.

(1)证明：平面；(2)求的长.22．如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合）(1)证明：平面平面；(2)若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值．23．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面的夹角的正弦值.24．已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.(1)求证：平面；(2)当时，求直线和平面所成角的大小.25．如图，在四棱锥中，平面，.(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.26．座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建