初中七年级数学下册“探索三角形全等的条件（SAS）”学习任务单（北师大版）

初中七年级数学下册“探索三角形全等的条件（SAS）”学习任务单（北师大版）

  一、课标与核心素养解析

  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域。核心要求是探索并掌握三角形全等的判定定理“边角边”（SAS）。该部分知识是构建平面几何演绎证明体系的关键基石之一。从核心素养视角分析，本节课旨在达成以下目标：在几何直观与空间观念层面，引导学生通过作图、观察、比较，直观感知SAS条件对于确定三角形形状与大小的唯一性；在逻辑推理层面，经历从“合情推理”的猜想到“演绎推理”的论证的完整过程，初步体会公理化思想，掌握运用SAS进行几何证明的规范表述；在模型观念层面，理解SAS是判定两个三角形结构关系的一个强有力的数学模型，并能在解决实际测量和几何问题中建立模型意识；在应用意识层面，通过将实际问题抽象为几何模型并用SAS解决，感受数学与现实世界的联系。

  二、学情前测与起点分析

  教学对象为七年级下学期学生。其认知起点分析如下：知识层面，学生已经学习了三角形的基本概念、全等形的定义及性质（对应边相等、对应角相等），并初步接触了尺规作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角）。技能层面，具备一定的动手操作、观察比较和小组合作能力。思维层面，正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对于“确定性”和“唯一性”的数学思想尚需直观经验支撑。潜在认知障碍预测：第一，容易混淆“边边角”（SSA）与“边角边”（SAS）的条件差异，忽视“夹角”这一核心要素；第二，在初步接触几何证明时，对证明的必要性缺乏认同，逻辑链条的构建存在困难；第三，尺规作图操作不精确可能导致探究结论出现偏差。因此，教学设计需强化“夹角”的体验，通过反例对比深化理解，并搭建循序渐进的推理阶梯。

  三、学习目标（可观测、可评价）

  基于以上分析，设定本课时具体、可观测的学习目标如下：

  1.知识与技能：通过尺规作图实验与推理，归纳出三角形全等的一个判定条件——“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”（SAS），并能准确辨析该条件中“夹角”的关键性。能用符号语言规范表述SAS定理，并初步应用于解决简单的几何证明和计算问题。

  2.过程与方法：经历“创设情境-提出猜想-操作验证-推理证明-应用拓展”的完整探究过程，积累数学活动经验，发展合情推理与演绎推理能力。在对比“SAS”与“SSA”的过程中，学习举反例的数学方法。

  3.情感、态度与价值观：在探究活动中体验数学的确定性和严谨性，感受几何证明的价值。通过解决蕴含SAS原理的实际问题（如测量），增强数学应用意识与合作交流能力。

  四、教学重难点及突破策略

  教学重点：三角形全等的SAS判定条件的探索过程、归纳总结及其简单应用。

  教学难点：理解“两边及其中一边的对角”不能判定三角形全等（即SSA的不确定性）；初步运用SAS进行几何证明的逻辑表述。

  突破策略：对于重点，采用“任务驱动、分层探究”策略，设计环环相扣的作图、剪切、对比任务，让学生在活动中自主建构知识。对于第一个难点，利用几何画板动态演示，展示满足“SSA”条件的两个三角形不全等的情形，并鼓励学生动手尝试画出反例，在对比中强化“夹角”意识。对于第二个难点，采用“脚手架”支持，提供证明步骤的思维框架和语言模板，通过师生共析、同伴互评等方式，逐步规范证明书写。

  五、教学资源与工具准备

  教师准备：多媒体课件（内含几何画板动态演示文件）、实物投影仪、三角板、圆规。

  学生准备（每组）：学习任务单、三角板、直尺、圆规、量角器、剪刀、质地较硬的纸（如卡纸）若干张、彩笔。

  六、教学实施过程详案（总计约90分钟）

  （一）阶段一：情境锚定，任务导引（预计用时：8分钟）

  教学活动流程：

  1.情境呈现：多媒体展示一幅图片（或讲述一个故事），内容是：为保护一座倾斜的古塔，需在其对面地面上确定一点，建造一个等高的钢架支撑点。测量员已经测出古塔底部某点A到其对面选定点B的距离（AB），以及由A、B两点望向塔顶C形成的视角∠A和∠B的大小。但由于塔身危险，无法直接测量AC和BC的长度。提出问题：能否在对面安全区域，仅利用已知数据AB、∠A、∠B，“”出一个与三角形ABC全等的三角形，从而间接确定支撑点的高度和位置？

  2.任务拆解与引导：

  教师引导：“要‘’三角形，即构造一个与之全等的三角形。我们已知全等三角形需要三个要素（边、角）全部对应相等。但现在我们已知的数据是‘两角及其夹边’（ASA），我们后续会学习。今天，我们先探究一种更常见的情形。假如测量员测得的是两边及其夹角，例如：已知两条线段a,b和一个角∠α，其中∠α是线段a和b的夹角。我们能否唯一地作出一个三角形？作出的三角形是否都全等？”

  3.明确核心问题：将实际情境抽象为数学模型——“给定三角形的两边及其夹角，这个三角形的形状和大小是唯一确定的吗？”

  4.引出课题：这就是我们今天要探究的三角形全等的条件。请大家翻开任务单，开始我们的探索之旅。

  设计意图：通过真实的工程测量问题创设情境，激发学生学习兴趣和解决问题的欲望。将实际问题抽象为数学问题，体现模型观念。自然引出本课核心探究问题，为后续活动定向。

  （二）阶段二：活动探究，建构新知（预计用时：35分钟）

  任务一：动手操作，初步感知（预计用时：12分钟）

  任务单指引：

  1.作图：请每位同学独立完成。

  已知：线段a=8cm，线段b=6cm，∠α=60°。

  求作：△ABC，使得BC=a=8cm，AC=b=6cm，∠C=∠α=60°。

  （提示：回忆尺规作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角。）

  2.操作验证：用剪刀剪下你画出的三角形。与同组四位同学剪下的三角形进行比较（可以重叠，或用直尺量角器测量其余边角）。

  3.记录与思考：你们小组五个人的三角形能够完全重合吗？这说明了什么？

  4.初步归纳：根据以上活动，请用文字语言尝试归纳你的发现：“当两个三角形满足______时，这两个三角形全等。”

  教师巡视与指导：重点关注学生尺规作图的规范性（尤其是角的顶点和边的对应关系），提醒学生标注顶点字母。参与小组讨论，引导学生用“完全重合”或“对应边角相等”来描述结论。

  小组汇报与教师点拨：请一个小组展示他们的三角形并进行重叠演示。教师利用实物投影展示不同小组的作品，强调尽管是独立作图，但只要满足“两边及其夹角”相等，作出的三角形都全等。引导学生初步归纳出“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”。

  任务二：深入辨析，理解关键（预计用时：15分钟）

  任务单指引：

  1.变式作图：现在改变条件。已知：线段a=8cm，线段b=6cm，∠β=45°，其中∠β是边a的对角（即已知a,b和a的对角∠β）。

  尝试作出△DEF，使得DE=a=8cm，DF=b=6cm，∠E=∠β=45°。

  （提醒：先画出草图，思考角的位置。∠E是边DE的对角吗？我们已知的是DE和DF，以及∠E，∠E是DE和DF的夹角吗？）

  2.探究与发现：请尽可能作出满足上述条件的三角形。组内交流，看看大家作出的三角形都一样吗？能完全重合吗？

  3.对比分析：将“任务一”的条件（两边及其夹角）与“任务二”的条件（两边及其中一边的对角）进行对比。哪一个条件能保证作出的三角形是唯一的、全等的？哪一个不能？关键区别是什么？

  教师深度介入：此任务是突破难点的关键。教师巡视时，预见学生可能只作出一种情形的三角形（锐角三角形），或感到困惑。此时，教师不急于给出答案，而是鼓励学生多尝试。随后，教师利用几何画板进行动态演示：

  在几何画板中，固定线段a（DE）和角∠β（∠E）。让线段b（DF）以点D为圆心，长度为半径旋转。展示满足DF=b的点F可能有两个位置（分别位于DE两侧），从而可以画出两个不全等的三角形（一个锐角三角形，一个钝角三角形）都满足“SSA”条件。

  引导学生观察并总结：“两边及其夹角”（SAS）能唯一确定三角形；“两边及其中一边的对角”（SSA）不能唯一确定三角形（除非是直角三角形等特殊情况）。

  任务三：数学表达，形成定理（预计用时：8分钟）

  任务单指引：

  1.文字语言：请用精炼的数学语言复述我们发现的结论。

  2.图形语言：在下方空白处，画出两个全等的三角形△ABC和△A‘B’C‘，并用符号标记出满足SAS条件的具体边和角。

  3.符号语言：如果……那么……请用“如果…那么…”的形式写出判定定理，并用数学符号表示。

  在△ABC与△A‘B’C‘中，

  ∵______=，______=，______=，

  ∴△≌△（）。

  师生共同完善：教师引导学生规范表述：“判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。”简写成“边角边”或“SAS”。强调“分别”和“夹角”二词。共同完成符号语言的填空，强调对应顶点写在对应位置，括号内注明理由“SAS”。形成完整的认知结构：生活问题→操作感知→辨析理解→数学表达。

  （三）阶段三：推理证明，深化理解（预计用时：15分钟）

  教学活动：从“操作确认”到“推理证明”的升华。

  教师引导：“通过作图、重叠，我们直观确认了SAS可以判定全等。但数学结论需要逻辑的保证。我们能否用更基本的事实（比如全等定义，或者更基本的公理）来证明它呢？这是数学严谨性的体现。”

  1.分析思路：我们要证明“在△ABC和△A‘B’C‘中，如果AB=A’B‘，AC=A’C‘，∠A=∠A’，那么△ABC≌△A‘B’C‘”。根据全等形的定义，需要证明三个对应边相等、三个对应角相等。已知了两边一角，还需证明______。

  （引导学生思考：需要证明第三边BC=B‘C’，以及另外两对角∠B=∠B‘，∠C=∠C’。）

  2.启发性讲解（采用“脚手架”策略）：由于学生首次正式接触基于判定定理的证明，教师采用分析法引导，并呈现部分证明过程框架。

  设想：如果我们能把△ABC“移动”到与△A‘B’C‘完全重合的位置，就能说明它们全等。如何“移动”？已知∠A=∠A‘，我们可以先将∠A与∠A’重合，因为AB=A‘B’，所以点B与点B‘重合；因为AC=A’C‘，所以点C与点C’重合。那么，连接BC和B‘C’，由于两点确定一条直线，所以边BC与边B‘C’也必然重合。因此，两个三角形完全重合，即全等。

  教师指出，这种“重合”的思路是朴素的，在欧几里得几何中，这通常基于“运动不变性”的直观。在教材的后续编排中，可能会将SAS作为公理接受，或在更严格的体系下给予说明。对于七年级学生，当前首要目标是理解和应用该定理。

  3.规范书写示范：教师板书一个完整的证明示例。

  已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE。

  求证：△ABC≌△ADE。

  证明：在△ABC和△ADE中，

  ∵AB=AD（已知），

   ∠BAC=∠DAE（已知），

   AC=AE（已知），

  ∴△ABC≌△ADE（SAS）。

  强调步骤：①列出条件所在的两个三角形；②按SAS顺序排列三个条件，并注明依据；③给出结论。

  设计意图：此环节旨在衔接直观感知与逻辑推理，让学生体会数学的严谨性。通过思路分析和规范书写示范，帮助学生跨越几何证明的初始门槛，掌握运用SAS进行证明的基本格式。

  （四）阶段四：分层应用，迁移拓展（预计用时：25分钟）

  任务四：基础应用，巩固新知（预计用时：10分钟）

  任务单设置3-4道基础练习题，由浅入深。

  1.（识图辨析）如图，已知AB=AC，AD=AE，请问△ABE与△ACD全等吗？为什么？请写出证明过程。

  2.（条件补充）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，要使△ABC≌△DEF，可以添加的一个条件是______（根据SAS判定）。

  3.（简单证明）如图，C是线段AB的中点，CD=CE，∠DCA=∠ECB。求证：△ADC≌△BEC。

  学生独立完成，教师巡视，关注证明格式的规范性。通过投影展示学生解答，进行即时点评与修正。

  任务五：综合迁移，解决问题（预计用时：15分钟）

  回归导入情境的变式与拓展：

  1.问题解决：若测量古塔得到的数据是：从地面点A、B测得到塔基点O的距离AO、BO，以及∠AOB的大小（即两边及其夹角）。请用本节课所学知识，解释如何在地面安全区△AOB，从而确定塔基点O在图纸上的对应位置。

  （学生口述步骤：先作∠A‘O’B‘=∠AOB，再在两边上分别截取O’A‘=OA，O’B‘=OB，连接A’B‘，则△A’O‘B’≌△AOB。）

  2.拓展探究：小明设计了这样一个方案测量池塘两端A、B的距离：先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE。测量DE的长度就是AB的长度。你认为他的方案可行吗？用数学原理加以解释。

  引导学生将实物图转化为几何图形，找出两个潜在的三角形（△ABC和△DEC），分析已知条件（CA=CD，CB=CE，∠ACB=∠DCE），利用SAS证明全等，从而得出AB=DE。

  3.开放思考：你还能设计出其他利用SAS原理解决实际测量问题的方案吗？（课后小组合作完成）

  设计意图：基础应用环节旨在巩固定理内容和证明格式，确保全体学生掌握基本技能。综合迁移环节将知识重新应用于实际问题解决，完成“实际-理论-实际”的循环，深化对SAS数学模型价值的理解，提升应用能力和创新能力。

  （五）阶段五：反思梳理，评价延伸（预计用时：7分钟）

  1.知识结构梳理：教师引导学生以思维导图或提纲形式，共同回顾本节课的探索历程与核心收获。要点包括：一个定理（SAS）、一个关键（夹角）、一种方法（举反例否定SSA）、一条路径（探究-归纳-证明-应用）。

  2.学习评价与反思：任务单设置反思区。

  （1）我今天学到了……

  （2）我印象最深/感到困难的地方是……（3）我在证明过程的书写上需要注意……

  （4）我给自己本节课的表现打分（1-5分），理由是……

  3.分层作业布置：

  必做题：教材课后练习对应SAS部分的基础题和一道中等难度证明题。

  选做题（挑战性任务）：①探究：在什么特殊情况下，“SSA”也能判定两个三角形全等？（如两三角形均为直角三角形时，HL定理）②设计一个利用SAS测量校园内不可直接到达两点间距离的方案，并撰写简要报告。

  4.预告下节课内容：今天我们探究了“边角边”（SAS），三角形全等还有其他判定方法吗？例如，如果已知“两角及其夹边”（ASA），情况又会如何？请同学们提前思考。

  设计意图：通过梳理形成系统化认知，通过反思促进元认知发展。分层作业满足不同层次学生需求，选做题激发学有余力者的探究兴趣，并为后续学习埋下伏笔。预告新内容，建立知识间的联系。

  七、学习评价设计（全过程、多维度）

  1.过程性评价：

  课堂观察：记录学生在操作探究、小组讨论、发言汇报中的参与度、协作精神和思维深度。

  任务单评价：检查任务单各环节的完成质量，包括作图准确性、归纳概括的正确性、证明过程的逻辑性与规范性。

  2.形成性评价：

  课中小测（在应用环节嵌入）：设计一道快速判断题和一道简短的证明题，通过即时反馈了解学生当堂掌握情况。

  反思日志：通过任务单的反思区，了解学生的学习体验、困难点及自我认知。

  3.表现性评价（针对拓展任务）：

  对选做题“测量方案设计”的评价，可从方案的创新性、可行性、数学原理运用的准确性、报告的逻辑性等方面制定简易量规进行评价。

  八、板书设计规划（概念图式）

  板书分为三个区域：

  左区：核心探究历程

  问题：两边及其夹角→三角形唯一？→作图验证→归纳：SAS定理

  辨析：两边及一边对角（SSA）→作图探究/几何画板演示→结论：不一定全等（反例）

  中区：定理表述（重点）

  标题：三角形全等的判定（一）：边角边（SAS）

  文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

  图形语言：（绘制标准图形示例，标注对应边角）

  符号语言：在△ABC与△A‘B’C‘中，

   ∵AB=A‘B’，∠B=∠B‘，BC=B’C‘，

   ∴△ABC≌△A‘B’C‘（SAS）。

  右区：例题示范与要点

  例题：（规范书写示例）

  要点强调：①找对应边角；②“夹角”是条件关键；③证明格式规范。

  九、差异化教学支持策略

  1.对于学习基础薄弱的学生：提供“助学卡”，上面印有尺规作图步骤提示、SAS定理的三种语言表述模板、证明书写框架示例。在小组活动中，安排其担任“操作员”或“记录员”，从动手开始建立信心。教师巡视时给予更多个别指导。

  2.对于学有余力的学生：在完成基础任务后，鼓励其挑战“任务二”中独立画出SSA反例，并尝试解释几何画板动态演示的原理。邀请他们充当小组内的“小老师”，帮助同伴。提供拓展性思考题和研究性作业。

  3.对于一般程度的学生：鼓励他们积极参与每一个环节的讨论与分享，确保他们能清晰复述探究过程和定理内容，并能独立完成基础应用。

  十、教学反思与迭代预设（课后进行）

  本设计预计反思点包括：

  1.时间分配的合理性：探究环节与证明应用环节的时间比例是否需要调整？

  2.难点突破效果：通过SSA的作图与动态演示，学生是否真正理解了“夹角”的必要性？课堂反馈如何？

  3.证明教学的梯度：从操作验证到逻辑证明的过渡是否顺畅？学生对于证