2025届山东省名校联盟高三下学期2月开学考试数学试题（含答案）

机密★启用前山东名校考试联盟2025年2月高三开学联考本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。,则A∩B=A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1}A.—1+3iB.—5+5iC.3+i3.已知a>b>c,则下列结论正确的是A.ac>bcBC.a'>b⁶D.a—c≥2√(a—b)(4.某商品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如表所示：广告支出费用x5根据表中数据可得回归直线方程为,则第三个样本点对应的残差为A.—0.8B.—0.25.已知等差数列{an}的项数为n(n≥6),若该数列前3项的和为3,最后三项的和为63,所有项的和为110,则n的值为A.10B.11C.126.已知A,B是椭圆的左、右顶点，点M为C上不同于A,B的一点，若∠AMB的最大值为,则C的离心率为7.在三棱锥P-ABC中，已知PA=BC=√3,PC=AB=√5,PB=AC=√6,则该三棱锥的体积为8.已知函数f(x)的定义域为,对于,满足,且当x∈[1,2]时，.若函数y=f(f(x))+a²-1(a>0)恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则A.n=9B.所有项的系数和为1C.没有常数项D.x⁵的系数为1410.设函数,已知f(x)在[0,2π]有且仅有3个零点，则A.f(x)在(0,2π)有且仅有2个极大值点B.f(x)在(0,2π)有且仅有1个极小值点C.f(x)在单调递增D.若f(x)在单调递减，则w的最小值为213.已知数列{an}满足an+1=3an-2an-1(n≥2,且n∈N*),a₁=1,az=3,则数列{an}的前10项和为15.(13分)且a≠b.(1)求C;(2)若D为AB边的中点，且AB=1,,求△ABC的面积.16.(15分)(1)当a=1时，求曲线y=f(x)过点(0,0)的切线方程；17.(15分)三棱锥C-A₁AB的体积为(1)设平面CAB与平面CA₁B,的交线为l,证(2)在线段CC₁上是否存在一点P,使得直线AP与平面ABC所成角的正弦值为?若存在，指出P点的位置；若不存在，说明理由.18.(17分)在直角坐标系xOy中，点Q到点的距离比到x轴的距离大,记动点Q的轨迹(1)求C的方程；(2)过C上一点P作抛物线E:x²=y-1的两条切线，切点分别为M,N.(ii)设两直线PM、PN与C在x轴上方(包括x轴)的交点分别为P,Q,R或S,T,Q,R,记三角形PQR和四边形STQR面积分别为S₁,S₂,若S₁≥m,S₂≥m恒成立，求m的最大值.19.(17分)设n∈N*,已知无穷数列{an}的各项均为正整数，且a₁=1,记数列{an}的前n项所构成的集合为A={a₁,a₂,…,an},对于任意正整数n,从集合A。中任取不同的若干项(取出的项数大于等于1,如果项数是1,运算结果是它本身),如果这些项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值所构成的正整数集合为B。,且B,={1,2,…,a₁+a₂+…+a},则称数列{a}为完美数列.(1)分别判断数列an=n和b=n²是否为完美数列，不需要说明理由；(2)若等差数列{an}是完美数列，求{an}公差的所有可能取值；(3)若从集合A,中任取不同的若干项之间进行加减法运算后所得的数的绝对值互不相同，且{an}为完美数列.证明：1山东名校考试联盟高三年级数学试题参考答案20252一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678BCDDACAD因为f(x)在x∈[1,2]上单调递减，且f(x)·,所以f(又因为令则令1=f(x),则f(1)=1-a²<1,y=f(x)图象如图所示，结合图象，则f(1)=1-a²中需提供一个根，则且该根位于之间，所又因为a>0,故答案为D.则(也可不求的解析式，直接利用得到该段上的性质，直接画出图象求值即可)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号911.【解析】对于A:若直线1与圆M相切，圆心到直线的距离·十+-1. 对于B:当m=1时，P(0,2),M(2,0),|PM|=√4+4=2√2,四边形PAMB的面积S=2SP对于D:m≠0时，,直线AB的方程所以直线AB经过定点因为PM⊥AB,所以∠MCA=90,因为在直线AB上，所以∠MCN=90°,即点C在以MN为直径的圆上，因为M(2,0),,所以圆,半径为因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。概率分别为所以小老鼠逃生概率方法二：设P表示n分钟老鼠留在i号格子的概率，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【解析】(1)因为acosA+asinA=bcosB+bsinB,由正弦定理得：sinAcosA+sin²3所以,k∈Z,或,k∈Z,所以1=b²+a²-√2ab①,所以4(CD)²=(CA²+(CB)²(2)方法一：f'(x)=e-2ax-1,且f(0)=0,因为x≥0,所以e*-I≥0,②当a>0时，令g(x)=f'(x)=eˣ-2ax-1,则g'(x)=eˣ-2a,令g'(x)=0→x=In2a,方法二：f'(x)=e-2ax-1,且f(0)=0,因为x≥0,所以e-I≥0,4又因为ABa平面CAB₁,AB₁c平面CAB₁,所以(2)方法一：由题意知，,设三棱锥C-AAB的高为h,因为AB=AC=3,AE=√2,所以CE⊥AB,因为CH1平面ABB₁A,AH,HE=平面ABBA,A(2,0,0),4(0,-2,0),B(0,2,0),B(-2,0,0),C(0,0设C₁(x,y,z),则CC₁=(x,y5因为三棱锥C-AAB的体积为,所以h=√5,因为CH1平面ABB₁A,AH,HEc平面ABBA,则A(√2,√2,0),B(-√2,√2,0),C(0,0,√5),6令x=0,则y=1-r²,故P(0,1-r²).又N(-1,t²+1),故PM=(1,21²),PN=(-1,21²),将P(1,t²)代入可得t²=2x₁t-x²+1,解得x₁=1±1.由x₁<x₂,可得x₁=1-1,x₂=1+1.联立y=2x₁x-x²+1和y=x²可得x²-2x₁x+x-1=0,解得x=x₁±1.直线QR的方程为y=21x+4-t²,点P到直线QR的距离联立y=2x,x-x²+1和y=x²可得x²-2x,x+x²-1=0,解得x=x₁±1.(xg,yR),切点M,N的坐标分别为(x₁,y₁)和(x₂,y₂所以x²-2x,x+x²-1=0,所以xo+xp=2x,所以M为PQ中点.同理，N为所以M(x₁,y₁),N(x₂,Y₂)满足方程²=2x1-y+2,所以直线MN的方程为y=2x-t²+2,所点P到直线MN的距离为所以所以S₁=4S△PLN=8.不妨令xs>0,xo>0.由情况一得直线PM的方程所以x²-2xx+x²-1=0,所=(xs+xe)²(xs-xg)=4x²√(xs+xe)²-4xsXg=4x²√4x²-4(令直线PM:y=2x₁x-x²+1中y=0得P(0,1-x²),所以1-x²<0,所以x²>1,则S₂=8x²>8.又S₁≥m,S₂≥m恒成立，则m≤8,故m的最大值为8.19.【解析】(1)数列aₙ=n是完美数列，而bn=n²不是完美数列。(2)设{an的公差d≥3,考虑A={a,a2},则2>a₁=1,2<1+d=a₂,而a₂-a₁=d>2,不符合题意.由(1)可知数列a。=n是完美数列，故{a}的公差可能是1.又数列a=2n-1是完美数列，故{a}的公差可能是2.因为1=a,2=a₂-a,3=a₂,4=a₁+a,故A₂={a,a2}中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值能够构成集合B₂={1,2,3,43.假设A={a,a₂,…,a}中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值能够构成集合B₀={1,2,…,a₁+a₂+…+an}.若1+a₁+a₂+…+a≤N≤a₁+a₂+…+a,则当n≥2时，N-a≥1+a₁+a₂+…+a-a+1=1+n²-(2n+1)=n(n-2)≥0,且N-a≤a₁+a₂+…+an.若N-aʙ+=0,则N=a₁:若l≤N-am≤a₁+a₂+…+a,则A={a₁,a₂,…,a分}中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值可以得到N-a₁,则N可由A₁={a,a₂,…,am₁3中若干项之间进行加法或减法运算后得到，故A={a,a₂,…,a