百师联盟2025届高三开年摸底联考数学B+答案

2025届高三开年摸底联考3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,B={x|x≤2},则A∩B=A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2,3}A.14.已知两个非零向量a和b,若b⊥(a-2b),|a|=|3b|,6.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,点A(x,6)D7.已知函数恰有一个零点，则a=A.0B.1开年摸底联考数学试题第1页(共4页)8.三棱锥A-BCD的四个顶点都在半径为5的球面上，并且AB=8,CD=6,则三棱锥A-BCD的体积的最大值为A.56B.48C.32二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.从{1,2,3}中随机取一个数记为a,从{4,5,6}中随机取一个数记为b,则下列说法正确的是C.设X=a+b,则X的数学期望E(X)=6D.设Y=ab,则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是1210.已知数列{am}的前n项和为Sn,且满足a₁=1,a₂=3,an+1=3an-2an-1(n≥2),则下列A.数列{an+1-an}为等差数列B.数列{an+1—2an}为等比数列C.aπ=2”—111.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M,N分别是棱A₁D₁,AB的中点，则下列选项正B.AD₁//平面MNC₁D.平面MNC₁截正方体所得的截面是五边形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.已知具有线性相关性的变量x,y,设其样本点为A(xi,y;)(i=1,2,3,…,10),经验回归方程为j=—3x+a,,则a=14.已知曲线C:x²+y²=2|x|+2|yl,x²+y²≠0,则曲线C围成区域内(含曲线C)格点(横坐标与纵坐标都为整数的点)的个数为开年摸底联考数学试题第2页(共4页)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知5cosA一(1)求角A的大小；(2)若a=3,求△ABC的周长l的取值范围.(1)若平面PAB⊥平面ABCD,求PC与平面ABCD所成角的正弦值；(2)若平面PBC与平面ABCD的夹角为,求PC的长.(1)求椭圆E的方程；(2)过点A(0,—3)的直线l与椭圆E交于B,C两点，△PBC的外心为Q,证明：直线l与直线OQ的斜率之积为定值，并求出该定值.开年摸底联考数学试题第3页(共4页)18.(17分)已知函数f(x)=1n(x+1),(1)比较f(x)与g(x)的大小；(2)证明19.(17分)某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列率传给另一位运动员.已知教练第一次传球传给了甲运动员，且教练第n次传球传给甲运动员的概率为pn.(1)求p₂,p₃;(2)求pn的表达式；(3)设qn=|2pn—1|,证明开年摸底联考数学试题第4页(共4页)2025届高三开年摸底联考数学参考答案及评分意见1.B【解析】由题意，得A={—1,0,1,2,3},2.B【解析】1.B【解析】由题意，得A={—1,0,1,2,3},2.B【解析】点，则f(x)在x=2左侧附近单调递减，右侧附近单调递增，即f(x)在x=2处取到最小值，且又f'(x)=2x,所以,解8.A【解析】设球心为O,连接OA,OB,OC,OD.设点C,D到平面OAB的距离分别为h₁,h₂,OCD的距离分别为h₃,h₄,则,当且仅当CD⊥平面OAB,AB⊥平面OCD时取等号.故选A.9.ABD【解析】记事件A=“从{1,2,3}中取到奇数”,事件B=“从{4,5,6}中取到奇数”,事件C=“a+b为奇数”,对于,B正确；对于C,X的可能取值为5,6,7,8,9开年摸底联考数学答案第1页(共6页)对于D,Y的可能取值为4,5,6,8,10,12,15,18,其中【解析】由BD=2DČ,得AD-AB=2(AČ-AD),开年摸底联考数学答案第3页(共6页)所以,当且仅当时取等号，所以m+n的最小值为13.9.5【解析】因为,所以x=2,y=3.5.因为经验回归直线经过样本中心点(x,y),所以3.5=-3×2+a,解得a=9.5.C在第一象限内的部分是圆心为(1,1),半径为√2的圆弧.同理，曲线C在第二、在坐标系中如图，由图可知，曲线C围成区域内格点的个数为25.又因为A∈(0,π),所以.…………………6分所以b=2√3sinB,c=2√3sinC.7分因为,所以……………………8分所以△ABC的周长l=a+b+c=3+2√3(sinB+sinC)10分所以,解得,所以………………………12分所以开年摸底联考数学答案第4页(共6页)又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PEC平面PAB,所以PE⊥平面ABCD.因为ECC平面ABCD,所以PE⊥EC,所以∠PCE为PC与平面ABCD所成的角.……………………3分故PC与平面ABCD所成角的正弦值为………………6分(2)取CD的中点F,连接EF,以E为坐标原点，EB,EF的方向分别为x,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0),C(1,4,0).……7分设P(0,2cosθ,2sinθ),θ∈(0,π),平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则BČ=(0,4,0),BP=(-1,2cosθ,2sinθ).………………8分由又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以,……………………11分所以,所以……………13分所以P(0,1,√3)或P(0,—1,√3),所以PC的长为√13或√29.……………………15分所以椭圆E的方程………………4分(2)解法一：设B(x1,y₁),C(x2,y2).由题意，或联立消去y,得(3+4k²)x²—24kx+24=0,……………………5分由△=(—24k)²—4×24(3+4k²)>0,得,…………………6分或所以,即…………8分又,y₁=kx₁—3,所以x1,x2为方程所以,解…………14分即直线l与直线OQ的斜率之积为定值2—√3………………………15分联立消去y,得(3+4k²)x²—24kx+24=0,①………5分由△=(—24k)²—4×24(3+4k²)>0,得……………………6分设△PBC的外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,因为圆过P(0,√3),所以F=-3—√3E,所以圆的方程为x²+y²+Dx+Ey-3—√3E=0,外心Q的坐标为……………………9分得(1+k²)x²+(D+Ek—6k)x+6—3E—√3E=0.②……………10分因为x₁,x2为方程①与②的两个根，所以…………………12分—√3…………………………14分即直线l与直线OQ的斜率之积为定值2—√3………………………15分且等号不恒成立………2分所以h(x)在(-1,+∞)上单调递增……………………4分又h(0)=0,所以当x∈(—1,0)时，h(x)<0;…当x∈(0,+∞)时，h(x)>0……………7分即当x∈(-1,0)时，f(x)<g(x);开年摸底联考数学答案第6页(共6页)取,得………………11分……………………13分分别取n=1,2,3,…,8,得……………14分即.……………………6分又因为,所以是首项为,公比为的等比数列.……7分所以,即………9分(3)证明：由(2)及题意，得……………