2026届安徽省阜阳市颍州区第三中学高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2026届安徽省阜阳市颍州区第三中学高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．92．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则线段的长为（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.53．已知函数在区间（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（0，1] D．（﹣1，0）4．设m,n是两条不同的直线，α A．若m⊥β，n⊥β ， n⊥α，则m⊥αC．若m⊥n, n∥α，则m⊥α D．若m⊥n5．为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．数列的前项和为（）A． B． C． D．6．已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知，且，则（）A． B． C． D．8．l：的斜率为A．﹣2 B．2 C． D．9．若直线与直线平行，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．010．在区间上随机选取一个数，则满足的概率为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数fx=Asin12．对于任意实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是______13．函数的最小值是．14．某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选__________参加比赛．15．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．16．已知数列中，且当时，则数列的前项和=__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若关于的不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围.18．已知数列满足：，，.（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）记（），用数学归纳法证明：，19．如图，是边长为2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.20．已知圆的方程为．（1）求过点且与圆相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；（3）是圆上一动点，，若点为的中点，求动点的轨迹方程．21．已知数列，.(1)记，证明:是等比数列；(2)当是奇数时，证明:；(3)证明:.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件的可行域，如图，画出可行域，，，，平移直线，由图可知，直线经过时目标函数有最大值，的最大值为9.故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2、A【解析】

设，可得，求得，在中，运用余弦定理，解方程可得所求值．【详解】设，可得，且，在中，可得，即为，化为，解得舍去），故选．【点睛】本题考查三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3、C【解析】

由题意可得在上为减函数，列出不等式组，由此解得的范围.【详解】∵函数在区间上是增函数，∴函数在上为减函数，其对称轴为，∴可得，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题.4、A【解析】

依据立体几何有关定理及结论，逐个判断即可。【详解】A正确：利用“垂直于同一个平面的两条直线平行”及“两条直线有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面”，若m⊥β且n⊥β ，则m//n，又n⊥α，所以m⊥αB错误：若m∥β, ， β⊥α，则C错误：若m⊥n, n∥α，则m可能垂直于平面α，也可能平行于平面α，还可能在平面D错误：若m⊥n ， n⊥β ， β⊥α，则【点睛】本题主要考查立体几何中的定理和结论，意在考查学生几何定理掌握熟练程度。5、D【解析】

利用等差数列的通项公式与求和公式可得，再利用，可得，，．即可得出．【详解】解：为等差数列的前项和，且，，．可得，则公差．，，则，，，．数列的前项和为：．故选：．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6、C【解析】

由题意得出关于的不等式的解集为，由此得出或，在成立时求出实数的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数的取值范围.【详解】由题意知，关于的不等式的解集为.（1）当，即．当时，不等式化为，合乎题意；当时，不等式化为，即，其解集不为，不合乎题意；（2）当，即时．关于的不等式的解集为.，解得．综上可得，实数的取值范围是．故选：C．【点睛】本题考查二次不等式在上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.7、D【解析】

根据不等式的性质,一一分析选择正误即可.【详解】根据不等式的性质,当时,对于A,若,则,故A错误;对于B,若,则,故B错误;对于C,若,则,故C错误;对于D,当时,总有成立,故D正确;故选:D.【点睛】本题考查不等式的基本性质,属于基础题.8、B【解析】

先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率.【详解】由题得直线的方程为y=2x,所以直线的斜率为2.故选：B【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、B【解析】

两直线平行表示斜率相同或者都垂直x轴，即。【详解】当时，两直线分别为：与直线，不平行，当时，直线化为：直线化为：,两直线平行，所以，，解得：，当时，两直线重合，不符，所以，【点睛】直线平行即表示斜率相同，且截距不同，如果截距相同则表示同一条直线。10、D【解析】

在区间上，且满足所得区间为，利用区间的长度比，即可求解．【详解】由题意，在区间上，且满足所得区间为，由长度比的几何概型，可得概率为，故选D．【点睛】本题主要考查了长度比的几何概型的概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用长度比求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、f【解析】分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到A=2，然后算出函数的周期T=π，利用周期的公式，得到ω=2，最后将点（5π代入，得：2=2sin（2×5π12+φ所以fx的解析式是f详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得A=2，又∵函数的周期34T=5π将点（5π12，2）代入，得：2=2sin所以fx的解析式是f点睛：本题给出了函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题．12、【解析】

对a分类讨论，利用判别式，即可得到结论．【详解】（1）a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，恒成立；（2）a﹣2≠0时，，解得﹣2＜a＜2，∴﹣2＜a≤2故答案为：．【点睛】对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x轴的交点个数；四是，区间端点值.13、3【解析】试题分析：考点：基本不等式.14、乙；【解析】

一个看均值，要均值小，成绩好；一个看方差，要方差小，成绩稳定．【详解】乙的均值比甲小，与丙相同，乙的方差与甲相同，但比丙小，即乙成绩好，又稳定，应选乙、故答案为乙．【点睛】本题考查用样本的数据特征来解决实际问题．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的稳定），这样比较易得结论．15、【解析】分析：分类讨论截距为0和截距不为零两种情况求解直线方程即可.详解：当截距为0时,直线的方程为，满足题意；当截距不为0时,设直线的方程为,把点代入直线方程可得，此时直线方程为.故答案为.点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.16、【解析】

先利用累乘法计算，再通过裂项求和计算.【详解】，数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了累乘法，裂项求和，属于数列的常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对时，利用二次函数的图象进行分析求解.【详解】当时，不等式对一切实数都成立，所以成立；当时，由题意得解得：；综上所述：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，注意运用分类讨论思想进行求解，同时也要结合二次函数的图象进行问题分析与求解.18、（1）证明见解析，；（2）见解析【解析】

（1）定义法证明：；（2）采用数学归纳法直接证明（注意步骤）.【详解】由可知：，则有，即，所以为等差数列，且首相为，公差，所以，故；（2），当时，成立；假设当时，不等式成立则：；当时，，因为，所以，则，故时不等式成立，综上可知：.【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3）证明命题成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.19、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）取的中点，连接，由平面平面，得平面，再证即可证明（2）证明平面，再根据面面垂直的判定定理从而进行证明．【详解】（1）取的中点，连接，因为，且，.所以，.又因为平面平面，所以平面，又平面，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）连接，由（1）知，又，，所以四边形是平行四边形，所以.又是正三角形，为的中点，∴，因为平面平面，所以平面，所以平面.又平面，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以平面平面.【点睛】本题考查了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的判定定理，考查空间想象和推理能力，熟记定理是关键，是一道中档题．20、（1）和；（2）或；（3）【解析】

（1）分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径求解；（2）根据弦长，可求圆心到直线的距离，利用距离公式，可求直线斜率；（3）利用求轨迹方程的方法(代入法)求解.【详解】（1）当斜率不存在时，过点的方程是与圆相切，满足条件，当斜率存在时，设直线方程：，直线与圆相切时，，解得：，.所以，满足条件的直线方程是或.（2）设直线方程：，设圆心到直线的距离，，解得或，所以满足条件的直线方程是或.（3）设，那么，将点代入圆，可得.【点睛】本题考查了直线与圆相切，相交的问题，属于基础题型，这类求直线的问题，需分斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线与圆相切时，利用圆心到直线的距离等于半径求解，当直线与圆相交时，可利用弦长公式和圆心到直线的距离求解直线方程.21、(1)见解