平面基本事实与推论讲义（导图+要点+技巧+归纳+巩固）-2026年高考数学复习之立体几何（新高考）-原卷版

第04讲平面基本事实和推论

目录

思维导图......................................................................................2

高考分析......................................................................................2

学习目标......................................................................................3

知识要点......................................................................................4

解题策略......................................................................................5

题型归纳......................................................................................5

题型01:平面的概念及表示.................................................................5

题型02:空间位置的画法...................................................................7

题型03:平面分空间区域的数量问题........................................................10

题型04:平面的基本性质及辨析............................................................12

题型05:四点共面........................................................................15

题型06:空间直线共面问题................................................................22

题型07:空间线共点问题..................................................................25

题型08:空间点共线问题..................................................................30

题型09:由平面的基本性质做截面问题......................................................32

题型10:平面的基本性质的计算问题........................................................35

题型11:平面的综合问题..................................................................39

巩固提升.....................................................................................44

三思维导图

8:线共点平面基本事实和推3:平面的表示

论

三m高考分析

一、考情定位

平面的基本事实与推论是立体几何的公理体系核心，在高考中以基础工具角色出现，多作为选择题、填空题的

基础考点或解答题的推理起点，难度以中低档为主，核心考查直观想象与逻辑推理素养。近五年全国卷及新高考卷

中，该考点常与空间点线面位置关系判断、异面直线判定、共面/共线/共点证明等结合命题，单独命题较少，多融

入几何体（如正方体、长方体、棱锥）背景考查。

二、核心考点与命题方向

1.基本事实与推论的概念辨析：考查对基本事实1（不共线三点定平面）、

基本事实2（线在面内判定）、基本事实3（两面相交定交线）及三个推论（线外点、相交线、平行线定平面）

的准确理解，常以命题真假判断形式出现，易错点集中在“三点定平面”需排除共线情况、“线面关系”的误

判等。

2.点、线、面位置关系证明：高频考查“点共线”“线共面”“线共点”三类证明题。点共线多依据基本事实3,

证明点在两平面交线上；线共面常用基本事实1及推论先定一个平面，再证其余直线在该平面内；线共点则先

证两线交于一点，再证该点在第三条直线上。

3.与几何体结合的应用：依托正方体、长方体等常见几何体，考查平面确定、异面直线判定、截面图形分析等，

常结合三视图、直观图综合命题，需用基本事实快速判断空间元素位置，为后续计算（如夹角、距离）铺垫。

4.符号语言与图形语言转化：要求能熟练将文字描述转化为符号语言和图形语言，这是解题的基础，命题中常

除含对转化能力的考查。

三、命题趋势

1.注重基础，稳定考杳：考点与难度长期稳定，不会出现偏难怪题，核心是对基本事实的准确应用与逻辑严谋

性的考查。

2.融合性增强：与空间向量、几何体表面积体积、异面直线所成角等考点结合更紧密，强调知识的连贯应用。

3.新高考侧市:实践：新高考卷更注市与生活实际或创新儿何体结合，考杳空间建模能力，如以折叠图、截面图

为背景，考查平面基本事实的灵活运用。

四、解题策略与备考建议

1.抓核心规则，强化辨析：熟记基本事实与推论的文字、符号、图形三种语言，通过典型错题（如“三点定平

面”的反例）强化对易错点的认知。

2.掌握证明模板：针对共面、共线、共点问题，总结固定证明步骤，如共面问题“先定面一再证线在面内”，

共点问题“先找交点》再证交点在第二条线上”。

3.结合儿何体练转化：多以正方体、长方体为载体，练习将空间问题转化为平面问题，提升空间宜观想象能

力，熟练运用基本事实解决截面、异面直线判定等问题。

4.规范符号表达：解题时注意符号语言的规他使用，避免因表达错误导致逻辑漏洞，尤其在解答题的推理过程

中，需清晰呈现依据基本事实的推导步骤。

B学习目标

一、知识目标

1.理解平面“平、无限延展、无厚度”的抽象概念，掌握平面的规范画法（如用平行四边形表示）与符号表示

（如平面平面ABCD）。

2.熟记三个基本事实与三个推论的文字、图形、符号语言，明确其核心作用：基本事实1（不共线三点定平面）

用于确定平面；基本事实2（两点在面内则直线在面内）用于判定线在面内；基本事实3（两面有公共点则有

唯一交线）用于判定面交线与点共线；推论1（线与线外点定平面）、推论2（相交线定平面）、推论3（平行线

定平面）均为确定平面的常用依据。

3.清晰区分易混点，如“三点定平面”需满足“不共线”，避免对基本事实的条件与结论误读。

二、能力目标

1.能熟练实现文字、图形、符号三种语言的互译，准确描述空间点、线、面的位置关系

2.掌握“点共线”“线共面”“线共点”的证明方法：点共线用基本事实3证点在两平面交线上；线共面先由基

本事实或推论定一个平面，再证其余直线在该平面内；线共点先证两线交于一点，再证该点在第三条直线上。

3.能结合正方体、K方体等几何体，运用基本事实与推论分析空间位置关系，解决简单的截面、异面直线判定

等问题，提升空间直观想象能力。

三、素养目标

1.培养数学抽象素养，通过对生活实例（如三脚架、墙面相交）的观察，抽象出平面的基本性质，理解空间几

何的公理化体系。

2.强化逻辑推理素养，在证明点、线、面位置关系时，做到依据明确、步骤严谨，形成条理清晰的推理习惯。

3.提升直观想象素养，能通过画图、建模等方式将空间问题转化为平面问题，建立空间图形与数学语言的对应

关系。

三知识要点

一、基本事实

1、内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

/B-/

2、图形：/。・•。/

3、符号表示：4B,。三点不共线=＞存在唯一的平面。使月，B,CWQ

4、作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法

二、基本事实2

1、内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

2、图形：/

3、符号表示：AW/,BW1,且力BWgka

4、作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内

三、基本事实3

1、内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2、图形：V

3、符号表示：PEa,PW0=QCp=l且PW1

4、作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点

四、三个推论

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.

推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.

解题策略

核心思路：抓公理本质一转三种语言一套证明模板，围绕“确定平面、判定位置关系、证明共点/共线/共面”

三大核心，用公理与推论搭建逻辑桥梁，确保推理严谨。

一、三种语言互译类（文字f符号一图形）

•策略：紧扣定义，规范表达，建立“文字描述一符号标注一图形绘制”的对应关系。

・解题要点：

1.文字转符号：牢记核心符号（点W线、线U面、面。面二线）

2.符号转图形：按符号含义画图，平面用平行四边形表示，交线用实线，隐藏线用虚线，标注关键点与线；

3.易错规避：区分“u”（线与面、面与面）和“6”（点与线、点与面），避免符号混用。

二、确定平面类（判断平面个数、证明平面唯一）

・策略：优先用“基本事实1+三个推论”，抓“不共线三点、相交线、平行线、线与线外点”四大定面条件。

•典型场景与解法：

1.已知点和线，求平面个数：如“空间4个点，无三点共线，能确定几个平面？”——分“四点共面（1个）”

和“四点不共面（4个）”两种情况，依据“不共线三点定平面”；

2.证明平面唯一：如“证明过直线I和线外一点P的平面唯一”——用推论1（线与线外点定平面），再反证：

假设存在两个平面a、B过।和P,由基本事实1,不共线三点（P及।上两点）确定唯一平面，矛盾，故平面唯

三、共点、共线、共面证明类（高频题型）

1.共线问题（证明多点共线）

•策略：用“基本事实3（两面有公共点，则有唯一交线）”，核心是“证明所有点都在两平面的交线上“。

・解题步骤：

1.找两个过目标点的平面Q、P（可利用几何体的面或由基本事实确定的平面）；

2.证明这些点是a与。的公共点；

3.由基本事实3,公共点必在交线I上，故多点共线。

2.共面问题（证明多线共面）

•策略：“先定面一再证线在面内”，优先选“相交线或平行线”定面（推论2、3）,避免复杂逻辑。

•解题步骤：

1.取其中两条直线h、12,由推论2（相交线定面）或推论3（平行线定面）确定平面a；

2.证明其余每条直线都在c内（用基本事实2：直线上有两点在a内，则直线ua）;

3.若直线过a内一点且平行于a内直线，也可由推论3证明直线UQ。

3.共点问题（证明多线共点）

・策略：“先找交点一再证交点在第三条线上”，分步转化，减少直接证明的难度。

・解题步骤：

1.取其中两条直线I】、12,证明它们相交于点P（如kca,l2ca,且不平行，则相交）；

2.证明点P在第三条直线卜上（常用基本事实3:证明P是两个平面的公共点，b是两平面交线）；

3.同理可证P在其余直线上，故多线共点。

四、与几何体结合的位置关系判断题

・策略：“依托几何体结构一用公理验证”，常以正方体、长方体为背景，判断异面直线、截面是否存在等。

•解题关键：

1.利用几何体的隐含条件（如正方体中棱与棱平行/垂直、面与面相交）；

2.判定异面直线：先假设两直线共面，用基本事实与推论推出矛盾，再确定为异面直线；

3.分析截面图形：用基本事实3确定截面与几何体各面的交线，进而判断截面形状。

三题型归纳

题型01:平面的概念及表示

【典型例题1】“点/在直线/上，/在平面夕内”用数学符号表示为（）

A.Ae/,leaB.Adi,Iua

C.Au/,IwaD,AG/,Tua

【答案】D

【解析】平面的概念及其表示、平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题

由点线面的位置关系及其表示即可得解.

“点力在直线/上，/在平面夕内”用数学符号表示为Ae/,lua.故选:D.

【变式训练1-1】如果点A在直线门上，而直线。又在平面。内，那么可以记作（）

A.AuouaB.AuawaC.Aea^aD.AEaa

【变式训练1-2】如图所示的平行四边形MNP。表示的平面不能记为（）

C.平面。D.平面MNPQ

【变式训练1-3】用符号表示“点4不在直线，〃上，直线加在平面7内”，正确的是（）

A.muaB.Aemt”?wa

C.ActmfmuaD.A^ni,mea

题型02:空间位置的画法

【答案】D

【解析】空间位置关系的画法

按照画法原则进行判断即可.

对于A,图中没有画出平面。与平面£的交线，故A不正确；

对B,C,图中的虚实线没有按照画法原则去画，故B,C不正确;

对D,符合画法原则，故D正确，

故选：D

【解析】空间位置关系的画法

直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可.

若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误；

平面与平面相交时，两个平面相交干直线，而不是点，B错误;

直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误；

两直线异面满足作图规范.

故选：D

【典型例题3】看图填空：

(1)直线ACc直线30=

(2)平面A46AC平面A$GR=

(3)平面AGCAc平面

(4)平面AGCAc平面。出80=

(5)平面4月G。平面4c平面B|GC8二

(6)直线［直线用Be直线8c=.

【答案】0直线八倒直线AC直线OQ用B,

【解析】空间位置关系的画法

根据图形立接判断即可.

(1)AC与交于点。，..直线ACc宜线80=0;

(2)平面A用84与平面4蜴。12的交线为A4,•.平面A罔BAc平面AAGR=直线44；

(3)平面AGCA与平面A4c。的交线为AC,.•.平面AGCAc平面4?CQ=直线AC;

(4)平面ACO与平面。/出。的交线为OQ,.•.平面AGCAc平面。蜴3。=直线O。；

(5)平面AMGA,平面人心阴，平面线GC8的公共点是用，

.•・平面A4GA〕平面4484c平面B,C,CB=片；

(6)直线AM,直线&B,直线8c的交点为.•.直线A与n直线与8c直线BC=4.

故答案为：0；直线A瓦；直线AC；直线。Q；4；st.

【变式训练2-1】请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形.

【变式训练2-3】将下列符号语言转化为图形语言:

(1)/1$a,aua.

(2)。06=当9Q且9后

(3)aZa,aC\a=A

{4}aC\P=af(7Cly=c,/3C\y=bfaC\bC\c=O.

【变式训练2・4】1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形.

平面人次)与平面BDC交于BD,平面4BC与平面AOC交于AC.

(2)将卜.面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示.

aB=l、Awl,ABua、ACuB.

题型03:平面分空间区域的数量问题

【典型例题1】三个不互相重合的平面将空间分成〃个部分，则〃的最小值与最大值之和为()

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析】平面分空间的区域数量

求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解.

按照三个用面中平行的个数来分类：

(1)三个平面两两平行，如图1,可将空间分成4部分；

(2)两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2,可将空间分成6部分；

图2

(3)三个平面中没有平行的平面：

(i)三个平面两两相交且交线互相平行，如图3,可将空间分成7部分；

(ii)三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4,可将空间分成8部分;

(iii)三个平面两两相交且交线重合，如图5,可将空间分成6部分，

图5

图3图4

所以三个不平面将空间分成4、6、7、8部分，〃的最小值与最大值之和为12.

故选：B

【典型例题2】（多选）下列说法正面的是（）

A.棱柱的侧面一定是矩形

B.三个平面至多将空间分为3个部分

C.圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成

D.任意五棱锥都可以分成3个三棱锥

【答案】CD

【解析】楂柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、由平面图形旋转得旋转体、平面分空间的区域数量

利用斜楼柱的侧面判断A;取三个相互平行的平面判断B;利用旋转体的定义判断C;利用五棱铢的结构特征判

断D作答.

对于A,斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误；

对于B,若三个平面互相平行，则这三个平面将空间分为4个部分，B错误；

对干C,圆台可由有角梯形以垂直底功的腰所在有线为旋转轴旅转一周形成，C正确；

对于D,五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形，所以任意五棱锥都可以分成3个三棱锥，D正确.

故选：CD

【变式训练3-1】空间不重合的三个平面可以把空间分成（）

A.4或6或7个部分B.4或6或7或8个部分

C.4或7或8个部分D.6或7或8个部分

【变式训练3-2】（多选）下列说法正确的是（）

A.棱柱的侧面一定是矩形

B.三个平面至多将空间分为4个部分

C.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台

D.任意五棱锥都可以分成3个三棱锥

题型04:平面的基本性质及辨析

【典型例题1】能确定一个平面的条件是（）

A.空间的三点B.一个点和一条直线

C.两条相交直线D.无数点

【答案】C

【解析】根据基本事实及其推论进行判断即可.

对于A,当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确；

对于B,当此点刚好在已知直线上时，有无数个平闿经过这条自线和这个点，故B不正确；

对于C,根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确；

对于D,给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确

故选：C.

【典型例题2】当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，口行车就稳了，这用到了（）

A.三点确定一个平面B.不在同一直线上的三点确定一个平面

C.两条相交直线确定一个平面D.两条平行直线确定一个平面

【答案】B

【解析】根据平面基本事实可得正确的选项.

自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线，

它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了，

故选：B.

【典型例题3】两个平面若有三个公共点，则这两个平面（）

A.相交B.重合

C.相交或市合D.以上都不对

【答案】C

【解析】根据平面的基本性质判断.

两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合.

故选：C.

【点睛】本题考杳平面的基本性质，平面的基本性质公理3中一定要注意三点不共线才能确定一个平面，属于基

础题.

【典型例题4】给出以下说法：

①共面的四点中，任意三点不共线；

②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；

③三条两两相交的直线在同一平面内；

④有三个不同公共点的两个平面重合；

⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面.

其中正确的个数是_____.

【答案】1

【解析】易知⑤正确；①错误，任意三点可能共线；

②错误，因为在空间中，这两条直线可能不在同一平面匕

③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内；

④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上.

所以正确命题的个数为1.

故答案为；1.

【典型例题5】空间中四点可确定的平面有（）

A.1个B.4个C.1个或4个D.1个或4个或无数个

【答案】D

【解析】点（线）确定的平面数量问题

根据确定平面的公理，结合平面图形以及三楂锥的几何性质，可得答案.

当四个点为平面四边形的四个端点附，只能确定唯一平面；

当四个点为三极链的四个端点时，可以确定四个不同的平面；

当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点.故选：D.

【变式训练4-1】在空间中，下列命题不正确的是（）

A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点.且在一条直线上

B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线

C.梯形可确定一个平面

D.任意三点能确定一个平面

【变式训练4-2】在下列条件卜，能确定一个平面的是（）

A.空间的任意三点B.空间的任意一条直线和任意一点

C.空间的任意两条直线D.梯形的两条腰所在的直线

【变式训练4-3］下列说法正确的是（）

A.三点可以确定一个平面

B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.四边形是平面图形

D.两条相交直线可以确定一个平面

【变式训练4-4】对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三

条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交.其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分

条件（）

A.®®B.®®C.③④D.

【变式训练4-5】已知a，尸为平面，AfB,MfN为点,a为直线，下列推理错误的是（）

A.AEatAW8,a,B£au0

B.a,MW0,NWa,N£ga\Q=MN

C.a,力€£=a1B=A

D.Aea,B£a,M£a,AeptB£0,MW0,且力，B,M不共线=a,用fi合

【变式训练4-6】下列命题中真命题是（）

A.四边形一定是平面图形

B.相交于一点的三条直线只能确定一个平面

C.四边形四边上的中点可以确定一个平面

D.如果点A,B,Ce平面a,且A,B,Ce平面夕，则平面口与平面/为同一平面

【变式训练4-7】已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一

个平面、其中不正确的命题个数有（）个

A.0B.1C.2D.3

【变式训练4-8】给出下列四个结论：

①经过两条相交直线，有且只有一个平面；

②经过两条平行直线，有且只有一个平面；

③经过三点，有且只有一个平面；

④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式训练4-9】（多选）下列命题错误的是（）

A.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

B.四边形可以确定一个平面

C.经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个

D.经过两条平行直线，有且只有一个平面

【变式训练4・10］（多选）以下说法正确的是（）

A.一个平面长3m,宽2m

B.平面内有无数个点，平面可以看成点的集合

C.空间图形是由空间中的点、线、面所构成的

D.四边相等的四边形一定是平面图形

【变式训练4・11】空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定个平面.

【变式训练4-12】三条直线两两相交，它们可以确定的平面有个.

题型05:四点共面

一.基础型

基本规律

要判断四点共面，只要判断三点共面，弃证明第四个点在平面上，或者是证明四点在两条平行的直战上，选择后者，进行证

明.

【典型例题1】如图所示，在正方体A8CO-ABCA中，E,尸分甲J是和AA.的中点.求证：区C,),

四点共面.

【答案】证明见解析

【解析】证明线线平行，从而得到四点共面.

证明：连接ERCDltA,B.

由与尸分别是片3,月儿的中点，可得

又38〃。。，所以£尸〃C。，故区C,R,尸四点共面.

【典型例题2】如图，尸是△月3c所在平面外一点，D,E分别是ARIB和△比。的重心.求证：D,E,

A,。四点共面且。石=；HC

【答案】证明见解析

【解析】如图，连接PD,PE并延长,分别交力B,3C于点此N,连接MV,证明。E//跖V且。E=§

MN、原题即得证.

证明：如图，连接尸D正"并延长，分别交EC于点MN,

因为。，E分别是△E45,△EBC的重心，所以MN分别是.45,的中点，连接丽则“V//月。且

MN=；AC.

PDPF2

在△QMN中，因为一=—=-,

PMPN3

2

所以DEWMN且DE=-MN.

2i1

所以。七//4。且。七=§

则。E,A,。四点共面.

【典型例题3】在正方体中，E、尸、G、〃分别是该点所在楼的中点，则下列图形中E、F、G、H四点共

面的是（）

【答案】B

【解析】对于选项A,如下图，点E、F、H、M确定一个平面,

该平面与底面交于而点G不在平面月，，WF上，故七、F、G＞，四点不共面;

对于选项B,连结底面对角线AC,由中位线定理得FG〃AC,

又EHMAC、则EH//FG,故E、F、G、”四点共面

、，所确定的平面为正方体的底面，

而点G不在该平面内，故E、F、G、，四点不共面；

对于选项D,如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形,

即点£、G、H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为

而点尸不在直线外2上，故E、F、G、〃四点不共面.

故选：B

【变式训练5-1“】在三棱锥--ABC中，ABC为等边三角形,%_!_平面/1BG将三角形力C绕24逆时针

旋转至位置（如图），且二面角O—R4—8的大小为900.证明：At3,C,。四点共面，且AD工PB;

【变式训练5-1-2］如图，多面体43CG。七夕中，AB,ACt力。两的垂直，平面45C//平面力E尸G,平面

BEF//平面ADGC,AB=AD=DG=2tAC=EF=\.判断点8,C,F,G是否共面，并说明理由.

【变式训练5-1-3】下列选项中，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.

【变式训练5-1-4］（多选）如图，在四棱锥A-8COE中，底面四边形8cOE为梯形，BC//DE.设C。,

BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则（）

A.PQ=—1NB.PQHMN

C.M,N,P.Q四点共面D.四边形MN尸Q是梯形

二.四点共面探索型

【典型例题1】如图，在四棱锥P-A8CO中，底面A8CO为正方形，E为侧棱PC的中点，/>A_L底面48c

（1）在侧棱。。上是否存在点尸，使褥点A,B,E,尸四点共面？若存在，指出“点的位置，并证明；若不存

在，说明理由.

（2）求几何体BEC-AFD的体积.

【答案】(1)/为侧梭PO中点，证明见解析；(2)：

【解析】(1)取点尸。的中点尸，得到斯//C。，进而证得EF//48,得到A,B,E,r四点共面.

(2)由B4_L平面A8CO,证得CD_LE4,进而证得CO_L面必。，得到C£>_LPZ),利用线面垂直的判定定理

证得尸力，平面AM,结合1/=匕-3皿一匕3的尸，即可求解・

(1)解：当A,B,E,广四点共面时，尸为侧棱尸。中点.

证明如下：

取点PO的中点尸，由E分别是PC中点，所以EF//CD,

又因为6//八4,所以比7A45,

所以A,B,E,尸四点共面.

(2)解：因为尸A_L平面A8CD,COu平面4ACQ,所以CQ_L%,

又因为CO_LAO,且Q4cAO=A,所以CO_L面总。，

又由PDu平面R4O,所以C£)_LPD,

因为EF/ICD,所以EF上PD,

又因为尸是PO中点，PA=ADf所以4/_LPD,

又由AF「EF=F,所以尸。_L平面AE/L

所以几何体EBC-£4。的体积：

一匕T呵•,PA_g，SA8".-P尸=g_d（l+2）•夜.亚二*

V=VP.AHCD

【变式训练5-2-1］如图，在四棱锥P—ABC。中，P4_UMA8CO,

ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点尸在PC上，且柒=：.

iL3

(1)求证：CO_L面尸AD；

⑵设点G在依上，且黑=义.判断是否存在这样的尤，使得力，E,F,G四点共面，若存在，求出入的值；

rri

若不存在，说明理由.

【变式训练5-2-2］几何体E-A8CO是四棱锥，△A8O为正三角形，BC=CD=2,N8CO=I20。，M为线段

AE的中点.

⑴求证：DM//平面BEC;

⑵线段所上是否存在一点N,使得DM.MC四点共面？若存在，请找出点N,并证明；若不存在，并说明理

由.

三.四点共面翻折型

基本规律

翻折题型，翻折前和糊折后在同一个平面内点线面，则相对位置关系不变。充分利用这个“相对不变”的性质解决翻折问题题

型

【典型例题1】在矩形A8C。中，44=4,人。=2.点分别在A氏。。上，且4E=2,C尸=1.沿E/将四边形

AE")翻折至四边形AEF。，点4任平面BC庄.

(1)求证：C。//平面A'8E；

(2)A,8,C,。'四点是否共面？给出结论，并给予证明；

【答案】(1)证明见解析；(2)不共面，证明见解析；(3)1.

【解析】(1)由O'F〃A'E得。'尸〃平面AEB,FC//EB得FC//平面A'EB,从而得平面。TC"平面

A'EB,即可证明CD'〃平面A'E平;

(2)假设伉。四点共面，则AD//BC或A'DC3C=Q,只要证明这两个结论不成立即可：

(1)证明：因为。'"//A'E,)尸0平面4'殖，A'Eu平面A'£3,

f

所以DT//平面AEBf

因为FCI/EB,尸C<z平面A'£B,E8u平面AE8.

所以尸C〃平面

又因为尸CcD/=尸，所以平面ORC〃平面/VEB,

因为。>'u面。FC,所以CD//平面

(2)A,注C,。四点不共面.

证明：假设A,。,5,C四点共面,则A'DV/BC或A7/c5C=Q.

若AO//8C,又因为A'。'0平面6CFE,BCu平面BCFE,

所以4/7〃平面BCFE,ADu平面4£>'庄,平面BC庄c平面KDFE=EF,

所以A'Q7/EV(与已知矛盾，舍去)

若A'〃c3C=Q,所以Qw平面AG7。，Qw平面BCFE

根据基本事实3,所以Qe稗

所以AD,8c防交于一点（与已知矛盾，舍去）；

综上所述，四点不共面.

【变式训练5-3・1】图1是由矩形人8G〃，RtZXAOE和菱形A8C0组成的一个平面图形，其中AB=2,

AE=AF=\fZBAD=60°,将该图形沿力。折起使得与4歹重合，连接CG,如图2.

（1）证明：图2中的C,D,E,G匹点共面；

⑵求图2中三棱锥C-WX7的体积.

【变式训练5-3-2］在A8C中，ZABC=90°t分别以边48和8C为一边向外侧作矩形和菱形反才'G

（如图1）,满足由=8G,再将其沿力3,右。折起使得3。与4G重合，连结斯（如图2）.

图1图2

⑴判断力，C,F,叵四点是否共面。并说明理由:

（2）在图1中，BC=2AB=2,N6C户=120°,在图2中cos/ACF=-且，求多面体4SC-EZ/'的表面积.

5

四.五点共面

基本规律

五点共面题型，多借助于两条直线相交或者平行时共面这个性质来转换。寻找点在线上

【典型例题1】如图，"〃2,I国、〃分别交于A、B两点,，4与八，2分别交于C、。两点，E^AD.求

【答案】证明见解析

【解析】根据已知条件分析可知直线4、，2可确定一个平面“，证明出A、B、C、。、E均在平面a内，即可

证得结论成立.

证明：因为“〃2,则直线4、4可确定一个平面，记该平面为々，

因为A、Ce/）,B、Del2f贝IJA、B、C、Dea,则A/）ua,

因为EeAO,则Ewa,故A、B、C、D、£五点共面.

【变式训练5-4-1】已知4B、CD、E是空间中不同的五点，其中任意四点共面，求证：这五点共面.

【变式训练5-4-2］已知A、B、C、D、E是空间五个点，且线段CE、AC和8。两两相交，求证：A、B、

C＞。、石这五个点在同一平面上.

题型06:空间直线共面问题

【典型例题1】如图所示，S12=A,S…，/,n/3=c.求证：直线4,，2,4在同一平面内•

【答案】证明见解析

【解析】方法一：由4c4=A,可得4和/?确定一个平面a,再由BM,Ce/,,可得Bea.Cja、从而可

得&ua,进而可得结论，

方法二：由《c《=A，可得4和/2桶定一个平面a,由4c/3=8,可得A确定一个平面然后证两平面

重合即可

证明方法一（纳入平面法）

=.•"和乙确定一个平面a.

•.TCB,/.Be/,.又,「4ua,.同理可证Cwa.

Bwl-Ce/一..•.直线《，/2,&在同一平面内.

方法二（辅助平面法）

■."C/2=A,.•5和4确定一个平面

v/2n/3=^,.-./2,确定一个平面少.

,/e,l】ua、a.,.,Aw/2,/,c/7,/.4e/?.

同理可证8wa,Bw。，Cea,Ce£.

.•.不共线的三个点A,B,C既在平面。内，又在平面夕内，

・•・平面a和夕重合，即直线4,4,4在同一平面内.

【典型例题2】如图，已知直线a//b直线1与a,〃都相交，求证：过ab,/有且只有一个平面.

【答案】证明见解析

【解析】根据可确定一个平面，由A3在平面内可证明/在平面内，或d"确定一个平面Q,直线a,/确

定一个平面B,证明两平面重合亦可.

证法1:纳入法

直线a/〃?=>匕确定平面a,

Aea,Bea,,,,

lca=AnAea,=Sc,n/uana勿共面.

AeI,

1cb=B=>Beb

证法2：同一法

:ai!b,..a,方确定一个平面Q.

ac/=A,.•.直线a,/确定一个平面0.

又Bea、Bq>aua、au。.

二平面Q与B重合，故直线a,b,/共面.

【点睛】本题主要考查了确定一个平面的公理及推论，属于中档题.

【典型例题3】已知：/ua,DeafAelfBelfCd,D^l.求证：直线A28D,C£>共面于a.

【答案】证明见解析

【解析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，可证明结论.

Ae/,/ua/.Awa,。ea,ADua,

同理8。ua,CDua,

所以直线ADBDC。共面于a.

2.已知：a、Ac、d四条直线两两相交且不共点，求证：a、Zxc、d四线共面.

【答案】证明见解析

【解析】因为外次。、d四条直线两两相交且不共点，先由两条相交直线相交确定一个平面，再通过直线上两

点在一个平面内则该直线在这个平面内，即可证明

a、汰c、d四条直线两两相交且不共点，如图，

.•.这四条直线两两相交，则设相交直线。、人确定一个平面a.

设直线c与。、〃分别交于点从K,则〃,Kwa.

又H,Ksc,CUQ.

同理可证4ua,

「.a、b、c、d四条直线在同一平面a内.

【变式训练6-1】如图，在三棱锥A—BCO中，G,“分别为A8C与AAC。的重心，E,尸分别为8C,CD

的中点.求证：EH,FG,G”三线共面.

【变式训练6-2】下列四个命题中，正确的是（）

A.不共面的四点中任意三点不共线

B.若点A,B,C,。共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面

C.若直线。，人共面，直线。，。共面，则直线8，c不一定共面

D.依次首尾相接的四条线段必共面

【变式训练6-3】如图，已知月，3,C,。是空间四点，且点力，B,。在同一直线/上，点。不在直线/

【变式训练6-4】已知〃也c,d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线〃力,c,d共面.

二.四线共面型

【变式训练6-5】如图，已知直线。〃力〃c,/ca=A,l0b=B,lcc=C.求证：a,b,c,/共面.

题型07:空间线共点问题

【提分秘籍】

基本规律

PE：a

?=>

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言表示为：°尸=/且

Pwl

【典型例题1］在空间四边形A8CZ）的边ABICCZXDA上分别取点E,EG,H,如果卯,所相交于一点M,

那么M一定在直线上.

【答案】BD

【解析】空间中的线共点问题、用定义证明线面关系

根据题意，直线EH、9G分别为平面八B/）、平面8C。内的直线，所以直线£”、FG的交点一定在平面八小）与

平面8CO的交线8。上，故得解.

由题意，MwEH且MeFG,

因为点E、〃分别在A8、4。上，而A8、A。是平面A8O内的直线，

所以EG平面A8O,平面A8O,

所以直线切u平面

所以Me平面ABD

因为点£、G分别在BC、CD±f而AC、6是平面BCD内的直线，

所以尸w平面8CO,6£平面8。。，

所以直线bGu平面3。。，

所以Mw平面BCD,

因此，直线EH与FG的公共点M在平面A3。与平面8c。的交线上,

因为平面A8DC平面BCD=BD,

所以点Me直线30.

故答案为：BD.

【典型例题2】如图，在正四棱柱A8CO-AMGA中，AB=2tM=4,E为儿。的中点，经过BE的截面与

棱。A,A片分别交于点凡G,宜线夕G与斯不平行.证明：直线3G,EF,AA,共点.

【解析】空间中的线共点问题

先设BG与EF有一公共点，再根据基本事实3证明该公共点在直线AA上即可

8EEG四点共面，4G不平行于打匕设AG\EF=Pf

又.IGu平面ABA4,Mu平面BG,£F均不平行于AA,

产为平面4与A。。A的公共点,

,平面ABBM平面ADDlAl=AA,,

根据基本事实3可得PwAA,

二.直线3G,EF,AA共点.

【典型例题3】如图所示，已知四面体A-88中，E,"分别是/IB,月。上的点，G,H分别是BC,8上的

点，且四边形石FHG是以砂；G"为底的梯形.求证：直线EG,FH,相交于同一点.

A

V

B2------、'c

【答案】证明见解析

【解析】先设两腰EG,切的延长线相交于一点P,再应用平面的基本性质证明三条线交于一点.

四边形EF”G是梯形，「•其两腰所在直线必相交.

设两腰EG,切的延长线相交于一点

EGu平面4BC,H7u平面48,.•.尸e平面43C,Pc平面力8.

又平面4BC「平面ACQ=AC,

..PeACt故直线EG,FH,月。相交于同一点.

【典型例题4】如图，在空间四边形498中，点H,G分别是力。C。的中点，E,/分别是边45,BC上

CFAE1

的点，H--=--=--求证：直线EH,"。,％相交于一点.

rtiLli3

【答案】证明见解析

【解析】连接ERGH,先证明G〃//£/"且GHHEF,从而得到与QG相交，设交点为月再证明

PwBD,进而即可结论.

如图所示，连接必；GH,

A

由H,G分别是力。，CD的中点，则G”〃AC,且G"=gAC,

CFAE13

x—则$〃AC,且C"

riiHij4

所以GH//EF,且GHKEF,所以E〃与产G相交，设交点为产,

又PeEH,EHu平面ABD,则尸£平面力RD,

同理Pw平面BCD,

又平面A8£)c平面BCD=BD,则PeBD,

所以直线EH,BD,FG相交于一点.

【变式训练7・1】如图所示，在正方体ABC。-48cA中，分别为A8,AA的中点.求证：CE,DF，DA三

线交于一点.

【变式训练7-2】空间四边形A8CD中，£,£6,“分别在4^。,。)。上，且满足

AE:EB=CF:FB=2:1,CG:GD=AH:HD=3:\.

求证：