平面解析几何初步（易错必刷60题12种题型）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点复习（湘教版选择性必修第一册）原卷版及全解全析

专题02平面解析几何初步（易错必刷60题12种题型专项训练）

题型一已知两点求斜率、已知斜率求参数题型二直线与线段相交关系求斜率范围

题型三五大直线方程题型四中点坐标公式及直线所过定点

题型五过两条直线交点的直线系方程题型六对称问题

题型七三类距离公式题型八线段和与差的最值问题

题型九圆的两种方程题型十点与圆的位置关系

题型十一切线与切线长弦长问题

题型十二由直线与圆的位置关系及圆的位置关系确定参数

题型一已知两点求斜率、已知斜率求参数

1.（23-24高一上•湖南•阶段练习）若直线/：），=丘-6与直线X+），-3=0相交，且交点在第一象限，则直

线/的倾斜角0的取值范围是（）

A.｛0|O°v0v6O。｝B.｛。|30。<。<60。｝

C.｛6>|30°<6><90°｝D.｛，|60。<。<90。｝

2.（22-23高二上•河北保定•期末）直线后—），-3=0的倾斜角为（）

n「兀八冗一2兀

A.-B.-C.-D.—

3643

3.（22-23高一上•陕西宝鸡・期末）下列说法中正确的是（）

A.两条平行直线的斜率一定相等B.两条平行直线的倾斜角一定相等

C.垂直的两直线的斜率之积为-ID.互相垂直的两直线的倾斜角互补

22

4.（23-24高二下•广西贵港•期末）已知双曲线C：*-亲-IW〉。,”〉。）的一条渐近线的倾斜角小于S，则

2的取值范围为（）

a

A.B.（0,G）C.等，+8D.乎］

5.（23-24高二下•重庆•期末）函数1y=屈\1的图象在点（01+G）处的切线的倾斜角为（）

n

A.NBD.

6-7c72

题型二直线与线段相交关系求斜率范围

6.（22-23高一下・甘肃兰州•期末）过点尸（3,3）的直线/与线段MN相交,M（2,-3）,7V（-3,-2）,则/的斜率k

的取值范围为（）

A.—^k<—B.-4k&6C.k«一或女26D.AV—或火之一

656565

7.（23-24高一下.江苏无锡.期末）已知点A（l,3）,8（-2,-1）,若直线1：y=&（x-江+1与线段43相交,则实数

k的取值范围是（）

1

A.—,+00B.-2,—

22

；

C.(-oo,-2)U,+8D.(-00,-2]

8.123-24高二上•山东威海.期末）已知点4-2,4）,若直线丁=依与线段A3有公共点，则（）

A.Ze(-8,-2]53,+功B.ke[—2,3]

9.（23-24高二上•四川凉山・期末）已知两点4（-1,5）,8（0,0）,若直线/:（〃+l）x-（2攵-2）y+2A-6=0与线

段A8有公共点，则直线/斜率的取值范围为（）

A.[—1,1]B.（-co,-Ul,+<o）

C.（fD.[-1,0卜[1,+8）

10.（23-24高二上.安徽六安.期末）已知AASC的顶点4L-D,仇-1,1）,C（3,7）,点P在线段BC上运动,若

直线AP的斜率&存在，则攵的取值范围为（）

A.（^C,-1]<J[4,-KO）B.[-1,4]

C.（-oo,4]D.1-1,+oo）

题型三五大直线方程

11.（23・24高二上.河南'漂河.期末）直线/：3x-4y+12=0在y轴上的截距为（）

A.4B.-4C.3D.-3

12.（22-23高二下•河北石家庄•期末）过点八（4,-1）与8（0,7）的直线的斜截式方程是（）

A.y=-2x+7B.y=-2x-lC.y=2x+lD.y=-2x+4

13.（22-23高二下•河北石家庄•期末）过点。（-1,1）,且与直线“-）」3=0平行的直线方程是（）

A.x-y+2=0B.x-y-2=0

C.x+y+2=0D.x+y-2=0

14.（23-24高二上•江苏南京•期末）方程（a-Dx-y+%+l=0（，cR）所表示的直线（）

A.恒过点（-2,3）B.恒过点（2,3）

C.恒过点（2,-3）和点（2,3）口.恒过点（-2,3）和点（3,2）

15.（23-24高二上.上海奉贤.期末）直线3x-y+l=0的法向量可以为（）

A./?=（3,1）B./7=（1,3）

C.//=（-1,3）D.//=（3,-1）

题型四中点坐标公式及直线所过定点

16.（23-24高二下.甘肃白银.期末）已知直线/：⑪+），-.+2=0与圆C：（x-2尸+（），+1尸=9交于两点，

则当弦A"最短时•直线/的方程为（）

A.3x+y+l=OB.x+2,y4-3=0C.2x+y=0D.x+y+\=0

17.（2024•北京•三模）已知8（1,0）,若点P满足PA1PB,则点尸到直线/:〃心-6）+心，-1）=0的

距离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

18.（23-24高二上•福建福州•期末）直线/：心-）」2&+2=0伏wR）过定点。若p为圆。:（x-2）2+（），-3）2=4

上任意一点，则IPQI的最大值为（）

A.1B.3C.4D.2

19.（23-24高二上•贵州毕节•期末）若直线g+），-4〃?-1=0的斜率小于0,那么该直线不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

20.（23-24禽一上.四川南充.期末）直线or-y+2=0（4£R）与圆V+），2-6.v=0交于A8两点，则|力£?|的最

小值是（）.

A.3B.6C.2夜D.45/2

题型五过两条直线交点的直线系方程

21.（23-24高二上.河南南阳.期末）点尸为两条直线2x-3y+l=0和x+y-2=。的交点，则点P到直线/：

米-），+&+2=0的距离最大为（）

A.立B.石C.-D.5

55

22.（23-24高二上•四川凉山.期末）经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线

2工一丁一1=。的直线方程为（）

A.x-2y-6=0B.x+2y-2=0

C.2x-y-3=0D.2x+y-2=0

23.（23・24高二上•湖南.期末）若三条不同的直线4：〃+y+2=（）,/2:x+y-l=（）,4"-），+3=。不能围成

一个三角形，则。的取值集合为（）

A.{-1,1}B.{4,1}C.-D.{4,-1/}

24.（23-24高二上•广西•期末）已知两直线y=x+24与>=的交点在圆9+）,2=8的内部，则实数2的取

值范围是（）

A.-1<左<1B.-2<k<2

C.-3<k<3D.-V2<k<41

25.（23-24高二上•重庆・期末）已知直线4:〃氏—y—2〃?+4=0（〃?eR）与直线小工+加），—26—4=0（相cR）相

交于点、/）,则P到直线1+），=0的距离d的取值范围是（）

A.",4匈B.[264@C.（2夜,4码D.[2立3&]

题型六对•称问题

26.（22-23高二上•河南开封•期末）已知圆Ci：V+）3=4与圆G关于直线2x+y+5=0对称,则圆G的标

准方程为（）

A.(x+4)2+(y+2)2=4B.(x-4)2+(y-2)2=4

C.(x+2)2+(y+4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=4

27.（23-24高二上•山东泰安・期末）点P（2,3）关于直线x+y+2=0的对称点的坐标为（）

A.(-3,-2)B.(-2,-3)C.(-5,-4)D.(-4,-5)

28.（23-24高二上•四川成都・期末）圆C:（x7『+（y-1）2=2关于直线/：产X-1对称后的方程为（）

A.(x-2)2+y2=2B.(x+2)2+y2=2C.x2+(y-2)2=2D.x2+(y+l)2=2

29.（22-23高二上•云南临沧・期末）已知半径为3的圆C的圆心与点夕（-2,1）关于直线x-），+l=0对称，则

圆C的标准方程为()

A.(x+1)2+(y-l)2=9B.(x-1)2+(y-1)2=81

C.x2+(y+\)2=9D.x2+y2=9

30.(23-24高二上.安徽黄山・期末)圆历："-2)2+()，-1)2=1与圆N关于直.线工-)，=0对称，则圆N的方程

为()

A.(x+l)2+(y+2)2=lB.(x-2)2+(y+l)2=l

C.(x+2)2+(y+l)2=lD.(x-1)、。，-2/=1

题型七三类距离公式

31.(22-23高二下•浙江温州•期末)已知圆C：W+),2=4,点产为直线x+y-4=0上一动点，过点夕向圆C

引两条切线%,PB,A,B为切点，则线段/W长度的最小值为()

A.2>/2B.3及C.4D.4夜

32.(23-24高二上.新疆・期末)点M(L2)到直线3x+4y-6=。的距离为()

A.-2B.2C.-1D.1

33.(23-24高二上•江苏南京•期末)已知AI为圆C:f+)，2=4上两动点，且C4_LC8,则弦A8的中点M

到直线工+y-4=0距离的最大值为().

A.OB.2&C.3拒D.4

34.(23-24高二上•陕西渭南•期末)已知直线/：x+y=0和圆C:(x-l)2+(y-l)2=2,则直线/与圆C()

A.相切B.相离

C.相交D.相交且过圆心

35.(23-24高二上.山东济宁•期末)若圆/+)，2=产(「>0)上恰有3个点到直线工-)，+2&=0的距离为1,

则r=()

A.1B.2C.3D.4

题型八线段和与差的最值问题

36.(23-24高二上•重庆・期末)椭圆E：£+y2=i的左、右焦点分别是6，F2,P是椭圆E上的点，过。作

4

圆Q:f+(y_2)2=l的一条切线，切点为月，则归回的最大值为()

A.2>/2B.>/7C.275D.|V3

37.（22-23高一下•河北石家庄•期末）设〃?£/?,过定点人的动直线％+=0和过定点8的动直线

mr-y一加+3=0交于点P（x,y）,则1Pd1期的最大值是（）

A.5B.10C.—D.历

2

38.⑵-24高二上•安徽•阶段练习）设，〃eR过定点A的直线x+〃D-〃=0和过定点4的直线以-）-〃+3=0

交于点P，则|川+21PM的最大值为（）

A.5B.275C.710D.5a

39.（22-23高二下•陕西西安•期末）设〃wR,过定点A的动直线x+冲=0和过定点H的动直线

心-了-〃7+3=0交于点P（x,y）,则|网・|尸身的最大值是（）

A.7sB.屈C.5D.10

40.（2024•福建泉州•模拟预测）已知圆。:/+），2+如一2），=0关于直线/:（4+1卜一殁—1=。（〃力—1）对称，/

与。交于A,B两点，设坐标原点为。，则|。川+|。用的最大值等于（）

A.2B.4C.8D.16

题型九圆的两种方程

41.（22-23高二下•河北石家庄•期末）若圆f+丁+蛇一3=（）的圆心是（1,0）,则该圆的半径为（）

A.4B.3C.2D.1

42.（22-23高二上•河北保定•期末）直线/：x-），+l=0与圆O:/+y2—2x—3=0交于A8两点，则VAO3的

面积为（）

A.V3B.2C.25/2D.立

2

43.（22-23高一上.北京丰台.期末）已知圆£:/+）,2=1与圆。2：/+）/-81+7=0.则圆G与圆C的位置

关系是（）

A.相离B.相交C.内切D,外切

44.（23-24高二上.江苏南京.期末）已知宜线/:水+力=/，圆。:/+）,2=产，其中r>0.若点尸（/勿在圆。

外，则直线/与圆C的位置关系是（）.

A.相交B.相切C.相离D.相交或相切

45.（23-24高二上.甘肃庆阳•期末）圆M：（x-l『+y2=4与圆N:f+）,2+4x+2y=0的位置关系为（）

A.相交B.内切C.外切D.相离

题型十点与圆的位置关系

46.（23-24高二下•云南楚雄・期末）设点?（不⑼，若在圆+-2尸=3上存在“小两点，使得四边形

CMPN为正方形,则与=（）

A.±1B.±2C.±\[2D.±——

2

47.（23-24高二上.江苏宿迁.期末）已知点在圆C：（工-4+（>+。）2=4的外部，若圆C上存在点N

使/CPN=60。，则正数。的取值范围为（）

A.1<61<—B.

33

W…I

C.0<«<—D.

33

48.（23.24高二上.湖北荆门.期末）已知圆。的方程为/+）,2一2阳+4用），+5〃/-36+3=0,若点（I,一2M在

圆外,则用的取值范围是（）

A.（fl）U（4,e）B.（1,+8）

C.（1.4）D.（4,+吟

49.（23-24高二上.湖南长沙.期末）已知P（aM在圆F+丁=4外，则直线依+b-4=0与圆的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.以上皆有可能

50.（23-24高二上•湖南长沙•期末）已知圆C:f+），2=9,直线/：〃­）,一加一2=0,/与圆C相交于A、B

两点，当弦长|人同最短时，直线/的方程为（）

A.>'-2=0B.2x-y=0

C.x+2y-5=0D.x-l=0

题型十一切线与切线长弦长问题

51.（23-24高二上•安徽淮北•期末）从原点向圆f+），2—6x+f77=（）引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长

4

为（）

52.（23-24高二上•安徽马鞍山•期末）由点P（T4）向圆/+）,2_41-6），+12=（）引的切线长是（）

A.3B.石C.MD.5

53.（23-24高二上•河北邯郸.期末）过直线，：x-y+4=0上的动点P向圆心为C（2,0）,半径为2的圆引两条

切线PAPB（48为切点），则四边形PACA的面积的最小值为（）

A.2>/7B.2x/14C.9D.3及

54.（23-24高二上.陕西西安•期末）自圆。:（“-3）2+（旷+2）2=1外一点。（八），）引该圆的一条乜级，切线长

等于点尸到原点。的长，则点尸的轨迹方程为（）

A.3x-2y+6=0B.6x-4y-l3=0C.3x-2y-6=0D.6x-4y+13=0

55.（23-24高二上・北京平谷•期末）已知半径为1的圆经过点42.3）,过点股（-2,0）向圆作切线，则切线长

的最大值为（）

A.V35B.2x/6C.厉D.4G

题型十二由直线与圆的位置关系及圆的位置关系确定参数

56.（22-23高二上•河北保定•期末）在直角坐标系工。），中，A（2,0）,8（0,2）,且圆M是以A8为直径的圆.

⑴求圆例的标准方程；

⑵若直线>=d+2与圆M相切，求实数&的值.

57.（22-23高二上•重庆・期末）已知以点4（一1,2）为圆心的圆与直线4"+2y+7=（）相切，过点8（-2,0）的动

直线/与圆4相交于

⑴求圆A的方程：

⑵当|MN|=2M时，求直线/的方程.

58.（23-24高二上.云南迪庆.期末）已知圆C经过点A（T1）和8（-2,—2）,且圆心在直线/：x+），-l=0上.

（1）求圆C的标准方程；

⑵若过点（-2,1）作圆C的切线，求该切线方程.

59.（23-24高二上•天津武清•期末）己知圆C过两点A（-2,0）,8（2,4）,且圆心C在宜线2公），-4=0上.

⑴求圆C的方程；

（2）过点P（6,百）作圆C的切线，求切线方程.

60.（23-24高二上.江苏南京•期末）已知小人分别为双曲线C:寸-），2=1的左，右焦点，过双曲线。左顶

点A的直线/与圆后：*-1)2+(,」1)?=5相切.

(1)求直线/的方程；

⑵若直线/与双曲线交于另一点只求△P6鸟的面积.

专题。1空间向量及其运算（考题猜想，易错必刷5大题型）

＞【题型一】距离问题

＞【题型二】线面角中的探索性句题

＞【题型三】二面角中的探索性句题

＞【题型四】折叠问题

＞【题型五］立体几何图形中的动点问题

＞【题型一】距离问题

一、单选题

1.（23-24高二下.福建原门.期末）在棱长为2的正方体中，E,F,G分别是棱BC,BB.t

。。的中点，过所作平面。，使得A或/。，则点A到平面。的距离是（）

A旧n3Mr5＞/i7n7炳

17171717

【答案】D

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面。的法向量，利用空间向量求出点到平面的距离.

【详解】在正方体/1BCO-Aq中，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(2,0,0),A(2,(),2),E(l,2,0),F(2,2,1),G((),0,1),

EA=(1,-2,2),GF=(2,2,0),AG=(-2,0,l),设平面。的法向量7=(x,y,z),

____________\n-EA.=x-2v+2z=0।

由AE//a,FGua,得〃_L,则，___,令z=3,得〃=(-2,2,3),

t\GF=2x+2y=0

|AG/i|_7_7>/17

所以点A到平面a的距离d=

kl-V17-17

故选：D

【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，

求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.

2.(23-24高二下.河南南阳•期末)在空间直角坐标系中，P(O.QO),A(1,O,O),〃(O2O),C(O,O,3),三角形43C

重心为G,则点尸到直线AG的距离为()

A.白B.叵C.亚

71717D-T

【答案】B

【分析】三角形ABC重心为G,所以GA?」)计算出中和而，得到而在而上的投影，根据勾股

定理计算即可.

【详解】在空间直角坐标系中，P(0,0,0),4(l,0,0)^(0,2,0),C(0,0,3),

<12、一-/22

三角形ABC重心为G,所以G-,-,1,方=(1,0,0),AG=\--,-A

\JJ/\JJ

_2

PAAG_~3_2V17

所以再在耳存上的投影为:由=近=一方，

3

所以点尸到直线AG的距离为:

故选：B

3.[23-24高二下.江苏徐州.期末)在棱长为4的正方体/WCQ-ABGR中，瓦EG分别为棱4B,局的

中点，点尸在棱GR上，且C『=3PR’则点G到平面PQ的距离为()

A.叵B..C.巫D.克

8241414

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和的，再利用点到平面距离的向量法，即可

求出结果.

【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4,

则尸(2,0,0),E(4,2,0),P(0,1,4),G(4,4,2),

所以乔=(-2,-2,0),FP=(-2,1,4),EG=(0,2,2),

设平面P■的一个法向量为力=(&)，,z),

”•EF-0f-2x-2y=033

味而=。'得到GS，+4Z=。,取…得到y=F=“所以"(L七),

\h-EG\

所以点G到平面PEF的距离为d=qrp

4.(23-24高二下.江西鹰潭.期末)在正四棱柱A8CQ-A8CQ中，已知A8=2AA=4,。为棱CQ的中点，

则线段OA在平面08。上的射影的长度为()

A.1B.x/7C.4D.叵

33

【答案】C

【分析】如图，以。为原点，所在的直线分别为七)"轴建立空间直角坐标系，然后求出平面

O〃C的法向量，利用空间向量求解即可.

【详解】如图，以。为原点，QAQCQA所在的直线分别为X，)"轴建立空间直角坐标系，则

A(4,0,0),5(4,4,0),C(0,4,0),0(0,2,2),

所以血=(-4,2,2),B5=(-4,-2⑵，在=(4.0,0),

设平面OBC的法向量为加=",)，,z),则

ifi-BO=-4.r-2v+2z=0

_,令y=i,则而=(o,i,i),

ni-CB=4x=0

AO•制4-

所以点A平面08c的距离为“=-^=2=2&,

阿V2

所以线段。4在平面03c上的射影的长度为

5.(23-24高二上•河北石家庄•期天)在如图所示的直四棱柱ABC。-A8cA中，底面ABC。是正方形,

AB=2,AA=3,M是8C的中点，点N是棱CG上的一个动点，则点儿到平面AA/N的距离的最小值为()

A.IB.cID,7

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，将则点A到平面的距离表示出来即可求得最值.

【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，

则A(2,0,0),M(1,2,0),丽=(-1,2,0),设N(0,2,/),(0</<3),丽=(-1,0J).

n-AM=-x+2y=0

设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z),则，

h-MN=-x+tz=()

设y=f,则x=2f,z=2,则1=(2//2),可=(0,0,3),

AAjn_6

所以点A到平面AMN的距离为

,5户+4

X0<r<9,4^5r+4<49,所以当，=3,5/+4=49时，

点A到平面AMN的距离取得最小值为玲詈.

故选：D.

>【题型二】线面角中的探索性问题

一、解答题

1.(23-24高二下•浙江宁波•期末)如图，在五面体A8COE/中，四边形A3c。为矩形，△以C为等腰直角

三角形，且FCJLF&面BCF±面ABCD,EF//AB,AB=4EF=4,BC=2四.

(1)求证：BELCF：

(2)在线段人8上是否存在点7,使得。丁与平面Ab所成角的正弦值为手？若存在，请求出B7的长度；

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

【分析】(1)利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理即得.

(2)取8C的中点。，以。为原点，建立空间直角坐标系，设BT=«0,WfW4),求出平面AC/的法向量,

再利用线面角的向量求法求解即得.

【详解】(1)由矩形ABC。，得AB_L8C,而平面皮尸_L平面力BC。，平面8c尸c平面A8C£>=8C,

平面488,则平面又CFu面BCF,于是48_Lb,

而万EF/IAB,424/=用月凡/"七平面然此，

因此CFJ•平面AME,又4Eu平面4?在，

所以3E_LC/.

(2)取8c的中点。，作3//A6,连接0。由(1)知，0x1平面8c户，

而。尸u平面则3_LOb,又广C_L所，FC=FB,则。尸_L8C,即Ox,O及O/两两垂直,

以。为原点，直线。工。用OF分别为K)，，z建立空间直角坐标系，

假定在线段AB上存在点T,使得。「与平面AC/所成角的正弦值为如，^BT=t(0<t<4),

3

则4(4,72,0),8(0,&,0),C(0,-V2,0)79(4,-72,0),F(0,0,72),TQ,五、0)，

C4=(4,2壶⑼于=(0,应心用=(1-4,272,0),

n-CA=4x+2y/2y=0

设平面ACF的法向量〃=(x,y,z)1则，令4=得3=(1,-0,75),

小&=。+显=()'

于是L，协=隔=岳，4+8邛'整理得2f+3=。，解得后或f=3,

所以在线段4y上存在点T,使得。丁与平面Ab所成角的正弦值为或，此时打二或8r=3.

32

2.：23-24高二下•广东广州•期末)如图，在五棱锥P-A8C。七中，PA_L平面ABCQE,AE//BC,AB//CD,

ACHED、Z44C=45',AB=?6,BC=2AE=4.

(1)求证：平面PC。_L平面PAC；

⑵己知直线P5与平面PCD所成的角为30"，求线段PA的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵2后

【分析】(1)由余弦定埋得AC_LAH,再由线面垂直的判定定理可得答案;

（2）做NEJ.AC交AC于点N,以A为原点，4E4&4C所在的直线分别为五）。建立空间直角坐标系,

设AP=/”>0）,求出丽、平面PC。的一个法向量，由线面角的向量求法求出/可得答案,

【详解】(1)Z48c=45,AB=2>!i，BC=4.

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABX5Ccos45

=8+16-2x2\/2x4x^-=8,

2

所以4c2+.2=AC?,故AC_LAB,

因为AB//CO,所以AC_LCQ,

因为抬J_平面A88E,C£)u平面A8CQE,所以两_LC£),

因为ACc%=4,AC.Q4u平面PAC,所以COJ■平面RAC,

因为CDu平面PCD,所以平面尸COJ■平面PAC；

（2）做NE_LAC交AC于点N,所以四边形ENC。是长方形，

因为AE//5C,NBCA=45、，所以NN4E=45。，

因为AE=2,所以CD=NE=6,

由（1）知，AP,A3,AC互相垂直，以A为原点，

/W,AC,AP所在的直线分别为X），,z轴建立空间直角坐标系，

设"=X>0）,则尸（0,0"）,网2夜,0,0）,C（0,20,0）,D卜嫄,2夜,0）,

丽=（-2忘,（V）,斤二（0,2夜,-0,而=卜点,2点,T）,

设"=（Xy,z）为平面PCD的一个法向量,

/1PC=()2>/2y-/z=0_,4

则_,即｛Ll，令)，=&,则Z=一,X=0,

n-PD=()-\]2x+2y/2y-tz=O1

所以行=（（）,血,：

解得/=20,所以川0,。,2&),4(000),

所以线段帖的长为2夜.

3.(23-24高三上•江苏•阶段练习)如图，在四棱锥尸-ABCD中，△处£＞是正三角形，

=90",AB||CD,Ati=1CD=2BC=4,平面％£)_1_平面ABC。，M是棱PC上动点.

(1)求证：平面平面PA。；

(2)在线段PC上是否存在点M,使得直线4,与平面M8O所成角为30。？若存在，求出器的值;若不存在，

说明理由.

【答案】(1)证明见解析

14

(2)存在,另或w

【分析】(1)由题设证得人O_L4O,取AD的中点。，连结PO,应用面面垂直的性质证POJ■平面ABC。，

再由线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定证结论；

(2)取AB的中点N,连结ON,则ON//BD,构建空间直角坐标系，设而=4定，应用向量法，结合

线面角大小列方程求义，即可得结果.

【详解】(1)因为48〃CRCO=8C=2,/48C=90。，所以/BCD=90。,B。=2&,

在△ABD中^ABD=45°,A8=4,由余弦定理得=JAB?+6D2-2A8•BDcosZABD=2五，

所以A方+A力、人*即NA£>3=90°.AO_LM,

取AD的中点。，连结PO,因为△以;)是正三角形，所以POLAD,

又面以。_1_面ABCD,面面A8c£>=4),POu面PAO,

所以POJ•平面ABC。，又AOu平面A8CO,所以PO_LBD,

又ADA.BD,PO[}AD=OtPO,AQu平面总力，所以8。工平面心。,

又BDu平面8DW,所以平面用8O_L平面R4O.

(2)取AB的中点N,连结ON,则QN//B£>,所以ADJ_ON

以{OMOZV)耳为正交基底建立空间直角坐标系，

则A（0,一夜,0）,D（0,应,0）,网2&,60）«（展260）,网0,0,«）,

设PA/=/lPC，0京/IW1,贝IJ

DAZ=DP+PA?*=DP+2PC=（0,-x/2,^）+A（V2,2x/2,-^）=（s/2A,2x/2A-V2,x/6->/62）,

又用=（2也0,0）,设平面BDM的一个法向量为万=（.%Fz）,

[两•"=（）/V2Ax+V2（22-l）y+76（l-2）z=0

则§—，即彳,若z=2"l,

DBn=0[2V2x=0

取）=仅,6（/1-1）,2/1-1）,而=（0,也佝,

由直线AP与平面MBD所成角为30。，得

।_.\AP-n\|V6（2-1）+^（2A-1）

sin30°=\cos{AP,汾=',1=।/

222应•丁7尤一必+4

|A斗同V8-A/0+3（2-1）+（2A-1）

14

化简得10储-132+4=0解得2=/或/1=寸

PM14

当行=5或时，直线AP与平面3DW所成角为3()。.

1X--乙J

4.(23-24高二上.黑龙江大庆.期末)已知AQAC和VA8C均是等腰直角三角形，AC既是△左C的斜边又是

VA8C的直角边，且AC=2,沿AC边折叠使得平面24C_L平面ABC,M为斜边AB的中点.

（1）求证：AC1PM.

（2）在线段08上是否存在点N,使得CN与平面所成的角的正弦值为生画.若存在，求出绘的值；若

33PB

不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

cF*PNIfPN5

⑵存在‘而=严而=

12

【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可;

___PN

（2）以。为原点，DA，DM，而为I、）,、z轴正方向建立空间直角坐标系，设诟=2，求出直线CN

的方向向量与平面以8的法向量，由线面角的向量公式求出4,即可得出答案.

【详解】（1）取AC中点O,连接MO,PD,如图,

又M为A8的中点，.,.MQ//8C,

由AC_L8C,贝！1MDJ.AC,

又为等腰直角三角形，PALPC,PA=PC,:.PD上AC,

又MDcPD=D,MD,PDu平面PMD,..4CJL平面,

又PA/u平面PMZ),「.ACJLQW.

(2)由(1)知，PD±AC,

又平面PAC_L平面ABC,AC是交线，PDu平面PAC,

所以〃£）_!_平面ABC,即PO,ACtDM两两互相垂直，

故以。为原点，DA，DM，丽为x、〉,、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图,

则A(1,O,O),8(T,2,0),C(-l,0,0),P(0,0,l),

/.CP=(l,0,l),丽=(-1,0,1),BP=(1,-2,1),

设"=(芭y,z)为平面以4的一个法向量，

APn=-x+z=0

贝卜—令z=l,即万=(1』,1),

JPn=x-2y+z=0

若存在N使得av与平面如B所成的角的正弦值为噜'且篝=2,ow/wi,

则丽=4而=4(7,2,-1),解得N(—Z2/U—/l),则函=(1一2,241-4).

1—A+2A+1-A2_4y/66

贝昨osCM”卜

642(1-以+485仇万-42十233

整理得，48尤-324+5=0,

解得，/=）或4=［.

412

故存在N使得CN与平面E4B所成的角的正弦值为巫,

33

u—PN1—PN5

此时一二一或——=

PB4PB12

5.（23-24高二上.江西吉安•期末）如图，直四棱柱ABC/）-AB6R的棱长均为2,底面人BC。是菱形,

乙BAD吟,上为A5的中点，且CC］上一点〃满足。=/1反7（0</<1）.

（1）若2=；，证明：A.E1BP；

4

（2）若］</<1,且4七与平面尸皮）所成角的正弦值为巫，求葭

54

【答案】（1）证明见解析

⑵2=g

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明邓1户=0,即可得出结果;

（2）利用向量法列出儿£与平面28。所成角的正弦值为正的方程，求解即可得出结果.

4

【详解】（1）连接AC,3。交于点0,

•・•底面人AC。是菱形，・・・AC1AD,且AC,互相平分.

又A4=2,N4AO=1，AOA=OC=43T08=8=1,

连接AG,8Q交于点。一连接。。，

则。a1平面ABC。，

:・OB,OC,。。1两两相互垂直，故以。为坐标原点，OB,OC,。。1所在直线分别为x轴、＞轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.

则B(l,0,0),c(o,Ao),£>(-1,0,0),A(O,-AO),

A(0,-A/3,2),C,(0,^,2),E惇一日,0.

：.\E=；[,-2•.阮=(-l,&0),

AC?=(0,0,22),

・・・2=；时，BP=BC+CP=f-l,x/3,ij.

4

V\E-BP=-1+|-1=O,

；,\ELBP.

(2)由(1)or^BP=BC+CP=BC+2CC7=(-l,>/3,2/l),

。3=(2,0,0),A[E=,

设平面PBD的法向量为n=（A;.y,z）,

DBn=0.2.r=0,

则，

-x+Gy+24z=0.

/.x=0,令y=2\/5,得z=-±,

A

则万

设儿£与平面PBO所成角为a,

则“…H率用卜焉=%

化简得84/P-644+11=0,

解得";或“=£（舍去）・

所以）=5.

＞【题型三】二面角中的探索性问题

一、解答题

1.（23-24面二下•广东汕尾.期末）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面4BCD为矩形，QAJ_平面A8CDE为

。。的中点.

⑵若平面D4E与平面AEC的夹角为60,4。=1,A。=G,求AB的长.

【答案】（1）证明见解析

3

⑵A3=]

【分析】（1）证明演〃OE,再由线面平行的判定定理得证；

（2）由PA,AD,AB两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角即可得