辽宁省某中学2025-2026学年高二年级上册期中阶段测试 数学试题（含解析）

辽宁省实验中学2025-2026学年高二上学期期中阶段测试

数学试卷

一、单选题

1.直线5x+2y-l=0的一个方向向量是（）

A.（2,-5）B.（2,S）C,（一5,2）D.（5,2）

2.若直线/II平面。，且/的方向向量为（见2,0）,平面a的法向量为八/2）则加为（）

A.4B.1C.-1D.-4

3.已知在正四面体力8co中，M为棱8。的中点，。为△力CD的重心，设9=不，AC=b，而=1，则两=

（）

41-1-

A.—ab+—c

236

1-1r1.

C.-a+-b—cD.--a+-h+-c

236236

4.阿基米德（公元前287年一公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家.他利用“逼近法”

得到椭圆的面积为圆周率兀乘以椭圆的长半轴长和短半轴长，若椭圆。的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上,

且椭圆C的离心率为等，面积为4行兀，则椭圆C的方程为（）

5.如图，在平行六面体48CD-48|CQi中，AB=1,AD=1,—1,/.BAD=90°,

/切4=NDA4=60°,则线段8乌的长为（）

A.6B.MC.3D.5

6.已知直线4,，2的斜率分别为4,右，倾斜角分别为四,4（%・%/0），则“COS（%-％）<°”是“母2<0”

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.己知三楂锥尸-48C,平面力BC,AC1BC,PA=BC=2AC,则异面直线P"与力。所成角的余

弦值为（）

8.若直线/："-"34+1=0与曲线c：“^7=3-1有两个不同的交点，则实数”的取值范围是（）

2752石

5'4

二、多选题

9.下面四个结论正确的是（）

A.已知向量方=（1/户）,B=[-3,X,9）,若x<m，则他.为钝角

B,已知。=（2.0.-1）,万=（3,-2,5）,则向量方在向量入上的投影向量是工（3,-2,5）

3o

C.若直线at+勿+c=o经过第三象限，则他>0,bc<0

一2一4一3一

D.已知力，B,C三点不共线，对于空间任意一点。，若。尸=-]04+108+]。。，则尸，A,B,C

四点共面

10.已知正方体力88-44GA的棱长为1,则下列四个命题中正确的是（）

A.两条异面直线QC和4G所成的角为3B.直线42与平面48CO所成的角等于5

34

c点c到平面44。的距离为冬叵D.四面体3。。间的体积是:

33

11.已知椭圆。:=+《=1(4>/，>0)的左、右焦点分别为Z、招，且焦距为2c，离心率为e,直线

(Tb~

/:)，=去+h(keR)与椭圆交于4B两点,则下列说法中正确的有()

A.△力86的周长为4。B.若e=(,则|力却的最小值为3c

C.若力8的中点为"，则矶.〃=—5■D.若丽•正=41,则e的取值范围为骼，?

三、填空题

12.己知直线/：y=〃(x-2)+2,当k变化时，点P(-1,1)到直线/的距离的取值范围是.

13.已知点22,-1,3)关于坐标平面0刈的对称点为勺，点R关于坐标平面Oxz的对称点为鸟，点鸟关于y

轴的对称点为A，则|尸图=.

14.已知实数小歹满足(x-2『+(y-l)2=l,则z=J；]：的取值范围是.

四、解答题

15.已知直线/[：x+y+2=0：直线4:wx-2y+〃=0.

(1)若求实数一的值;

(2)若4〃4,且它们之间的距离为20，求直线4的斜截式方程.

16.已知两圆X2+y2—7.x—6)，+6=0和x?+y?—10x—12y+〃？=0.求：

(1)加取何值时，两圆相内切？

(2)当〃?=36时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

17.如图，在三棱柱44G中，侧棱CG垂直于底面48C,乙4cB=90。，AC=BC=2,CC,=3,

。，E分别是线段和上的点，且力。=1,CE=2,M为线段44的中点.

Ci

A.

D\\r

，一.一

⑴求证：GA/『平面DBXE；

(2)求直线AB与平面DBiE所成角的正弦值；

(3)求平面4"G与平面。8卢所成锐二面角的余弦值.

18.已知椭圆。：捺+营=1(4＞力＞0)的左右焦点分别为月，F2,短轴的上下端点分别为4，B2,长轴长

为2播，田乃为等腰直角三角形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)请求出过点。-应,曰[且与.椭圆C相切的直线方程，并表示为一般式：

(3)过左焦点片且与坐标轴不垂直的直线/,与曲线C相交于4B两点,的中点为M,求三角形“与入

面积的取值范围.

19.已知圆方程、椭圆方程都是二元二次方程，但是二元二次方程可以表示多种曲线，甚至可以表示两条

直线，例如一/+2y—1=0”可以写为“(x+y-l)(x-y+1)=0”即表示直线“x+y-l=O和x-y+1=0”，

请解决如下问题

(1)已知方程2/+/-3.0—x-1=0表示两条直线，请写出这两关直线的一般式方程.

⑵已知方程/+岁+/=1表示中心在原点，经过“旋转”之后的椭圆，请求出该椭圆的对称轴所在的直线方

程，椭圆的长轴长，短轴长和焦距.

(3)已知旋转变换的规则如下：点P(MV)绕原点逆时针旋转。后得到点P'CV"),其中

现有二元二次方程13/+7/16=0,是一个中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E逆时针旋转。角

(。€[()仁))后所得的方程，请求出椭圆E的标准方程和。的值.

参考答案

题号12345678910

答案ACABAABDBDACD

题号11

答案ACD

1.A

【详解】直线的斜率左=，，所以直线的个方向向量为(2,51,

故选:A.

2.C

【详解】因为直线因平面

所以(〃7,2,0)(l,g,2)=0,

得mx1+2XI4-0X2=0,

得加二-1,

故选:C

3.A

【详解】在正四面体48CQ中，连接40并延长交CO于E,由。为"CO的重心，得E是CO的中点,

而M为棱的中点，则西=方+15+屈=一：荏+1万+3瓦5

=--x-CAC+^AD\+7B+-CAb-7B\=--h--c+a+-c--a=-a--h+-c.

32、)2、]3322236

【详解】设椭圆C的长短半轴长分别为仆人由椭圆。的离心率为*,得―="

2a2

则°=&/)，由椭圆。的面积为4、5兀，得Hm=4>/Lc，则必=4及，

因此〃=2无/=2,而椭圆C的焦点在y轴上,

所以椭圆。的方程为£+5=1.

48

故选：B

5.A

【详解】在平行六面体44c4与CQ中，取｛刀，而，怒｝为空间的一个基底,

由’44=/。=44=1,AHAD=90°,^BAAX=ZDAA}=60°,得力小力力=0,

JBAA^ADAA^-,而瓦工=瓦5+）方+万万=-1豆+4万+筋；，

2

因此|万万|=麴2—2而•茄一2而石；+2存•菊=6

故选：A

6.A

【详解】若cos（q<0,贝I］乌一田€（^+2/〃兀,技+2〃［兀）,〃7€Z,

又囚€（0,7T）,<72€（0,H）,可得因一％€（一兀，兀），

71

所以4一％6匕,可或四一4e-7U,---------

2

所以四，％中较大的倾斜角在（；，,内，其斜率为负，

较小的倾斜角在（0微）内，其斜率为正，所以桃<0,

所以“cos（%一见）<0"是“"2<。”的充分条件，

若快<。，不妨取邛，此时因告巴哈

所以85（四一％）=°，

所以“85（4-%）<0"不是“桃2<0”的必要条件.

故选:A.

7.B

【详解】如图：以力为原点，平行与8C的直线为x轴，

/c所在直线为y轴，力。所在直线为z轴，建立空间直角坐标系,

z.

pt

设H=5C=24C=2,则尸(0,0,2),8(2,1,0),C(0,l,0),

则而二(2』,-2),就=(0,1,0),

PB-AC|2x0+lxl+(-2)x0|1

所以直线所与4。所成角0的余弦值--------7i=7.

故选：B.

8.D

【详解】由/：h—y+3〃+l=0可得&(x+3)-y+l=0,

即直线/过定点力(-3,1),

由C：67=|"l可得百=匕：；；1,

即一+(»-1)2=4(”1)或,/+('+1)2=4(”一1),

由圆心（0,1）到直线/的距离7吗=2可得k=2叵或A=-挛（舍去）,

\l\+k255

即切线4c的斜率迈，同理可得3°=-£，

55

又E(-2,-1)1(21)，所以a=三三=一2,3=0,

-2+3

由图象可知，当0«左＜冬£或时，直线与曲线。有2个交点,

55

故选:D

9.BD

【详解】对于A,当x=-3时，=(1,1,-3),h=(-3,-3,9),1=-3九

此时〈1,5)=",故A错误;

对于B,向量了在向量石上的投影向量为同cos落%=芹［=旨*＜亲？=表(3,-2,5),故B正确;

对干C,令a=l,b=—l,c=0,则直线G+8+c=0为x—歹=0,且经过第三象限，但此时必＜0,灰=0,

故C错误;

一2一4一3一243

对于D,因为0。=-^。/+^。"-］。。，--+-+-=\,所以由空间向量共面定理的推论可得F,A,3,

C四点共面，故D正确；

故选:BD

1().ACD

【详解】以点Z为坐标原点,建立下图所示空间直角坐标系,

正方体ABCD-力蜴GR的棱长为1,

4(0,0,0),8(1,0,0),C(lJ0)，G”,1),4(0,1,1),

.•武二(0,1,1),西二(7,0,1),

殒西0x(-l)+lx0+lxl|

/.cosBC,CD、=

}|用H西「/M・"+(-I)2-5'

两条异面直线。。和BC、所成的角为三，故A正确;

••・平面48CQ的法向量万=(0,0,1),5D*=(-1,1,1),

设直线BD\与平面ABCD所成的角为«,

瓯臼_|0+0+lxl|_G

则cosg-a=|cosBD1,目

12）阿桐一不~3

...sina="w",故B车昔误;

32

•/4（1,0』）,。"0,1,1）,.•.福二（1,0,1）,函二（0』,1）,

设平面AB、D的法向量行=（x,乂z）,

-m=x+z=0/.

,令z=-l,则而二（1』,一1）,

g•而=y+Z=0

•.•元二（1,1,0）,•••点。到平面的距离如下，

,•司llxl+lxl+lxOl22-73

为“―一H--,~~rr~»故c正确；

lwl+f+（_］）・J33

而四面体阴独4为正方体力BCD-4B£A减去4个角剩余的部分,

即〃8-DACi=一（"四+%-%CQ+^C-BIK\+^A-A^D

1141

=l-4x-x-xlxlxl=l--=-,故D正确.

故选：ACD.

11.ACD

【详解】

对于A,因点48是椭圆上的两点，则于用+|/玛|=|m|+|5玛|=2a,

而从5玛的周长为|45|+|48|+|8玛|=|4号+|%|+|N玛|+|8玛|=4a,故A正确;

c1「［二+上=1

对于B,因e=£=:，则。=2c/=6,由4c23c2消去人

a2,,

y=Kx+kc

整理得（4代+3*+8〃&+4丘2_12。2=0,因直线/恒过点耳（-c,0）,则A>0,

8k%

x+x—E

设力（王，m），氏/，%），则有，

4k2c2-\2c2

(8k2cY.4k2c2-12c212c(1+用

则上川=Jl+〃22饮2+3

4k2+3

|J5|J2£L_!2L

设1+A」=f,贝股之1,且F="l，于是iI=4/-1=41，

t

因此1,易得4>4-「3,则有3CY|48|W4C,故B错误；

对干C,同B项，设必）,及々，%），则河（土井，三也），则上加二上^山小二』1二包，即得

22x}+x2x}-x2

b2h2

可得匚玉■+匚殳=o,整理得部,故有k-k=-—»即C正

q，b~0X1

对干D,依题意，力与=（一c一再,-必）,力a=（c一再，一必）,

则斯•丽=工；-。2+必2=402,则x；+y；=5c2(*),

由¥+4=1可得4=加(1—4),代入(*),可得父+/41_鸟)=5°2,解得$2=.2巴—〃)

，3a~a'c

因—aW$Wa,则0W-1"I。/,化简得045c2—从,

c

因/=/-2,贝IJ5c2w/46c工，即得5/K1K61,解得且KeK逝，故D正确.

65

故选：ACD.

12.[o,Vio]

【详解】因为直线/：»=MX-2）+2,所以直线/过定点。（2,2）,

所以当直线/与直线尸。垂直时，p(-1,1)到直线/的距离最大，

此时d=|PQ\=7(2+1)2+(2-I)2=M,

又因为当直线/过点P时，d=0,所以dw[0,丽].

故答案为：[。，布].

13.2石

【详解】点〃(2,7,3)关于平面。少的对称点4(2,1,3),点々关于平面的对称点2(2,1,3),

点鸟关于y轴的对称点八(-2,1,3),所以|2鸟|=J(-2-2)2+[l-(-l)F+(3-3尸=2右.

故答案为：2行

「，”1

14.l,y

【详解】如图，设直线/方程为x+2y=0,设P(xj)为圆上任意一点，

则伊川=弓|H,由图可知圆在直线的上方，且在第一象限，所以归旬二与|"二牛上・

1

而卜2

|P0yjx+/,W尚二需

所以要求Z的取值范围，只需求sin/PO/1的范围即可.

由图可知，过原点与圆相切的一条直线为V=0,设另一条切线为)，=",

那么sin/PCM的范围在sin/"08与sin/M20c之间,

4

化简得3"2-4%=0,解得出=]或〃=().

可以得到1%(2,0),联立直线y=与圆的方程得(x-2)2+[&x-1]=1,

313J

解得X=1,所以M2m

J'JJ

计算M同=gL=4,|0M|=2,此时sin/MQB=煦=与；

V5yJ53

计算|”|二单噬,|。也卜图f=2,此时M%"=器啜.

所以白*zM为解得I。?

故答案为：Ly].

15.(1)/«=2

(2)y=-x—6或y=-x+2

【详解】(1):/口/2，•1,々2=―，.•.直线4：X+N+2=O的斜率K=T,

•・•直线6的斜率M=£=1，解得用=2.

(.2)、「.4员—44=1x(―2)—〃?x1=0,解得加=—2,

•.直线4的方程-2x_2y+〃=0,即x+y_]=o,

又♦直线4:x+y+2=0,

当〃=-12时，直线4的方程为x+y+6=o,斜截式方程为y=-x-6；

当〃=4时，直线4的方程为、+尸2=0,斜截式方程为y=-x+2.

16.(l)w=12；

⑵公共弦所在直线方程为4x+3y-15=0,公共弦长为”.

【详解】(1)设圆M：X2+/-2X-6^+6=0,可化为(X-1)2+(»-3)2=4,

则圆心M(1,3),半径q=2.

设圆N：x2+/-10,v-12v+/;i=0,可化为(x-5)?+(y-6『=61-加，

则圆心N(5,6),4=y/6\—m(m<61),

由于圆心距IMN|=5,4V5,

解得执=12.

两圆的方程相减，可得8x+6y-30=0,即4x+3y-15=0,

则两圆的公共弦方程为4x+3y-15=0.

2

5

⑵半

⑶噜

【详解】(1)设4。的中点为N,连接AZM,则/MV〃星，

又MNQ平面％ED,4。匚平面4a，所以MV〃平面用£。；

连接GN,因为C\E〃ND且C、E=ND,

所以GNZ)£是平行四边形，所以GN//ZM,

又GN<z平面耳EO,OEu平面B/。，所以GN〃平面片E。；

又C、NcMN=N,且GNu平面C|MN,MNu平面C】MN,

所以平面GMN〃平面8声。,乂C[M<=平面C1M/V,

所以G/〃平面。8£；

(2)依题意，以。为原点，分别以而己的方向为x，y，z轴，建系如图,

得C(0,0,0),4(2,0,0),5(0,2,0),0(0,0,3),4(2,0,3),々(0,2,3),。(2,0,1),E(0,0,2),

所以方=(-2,2,0),DE=(-2,0,1),而=(0,-2,-1),

•n--2x+z=0

设平面。4E的法向量为万=(x,y,z),则

•n=-2y-z=0

令x=1,则平面DBXE的一个法向量为n=(1,-1,2),

于是cos(方向=丝"=-—

\AB\\n\3

所以，彳4与平面。片£所成角的正弦值为立

3

（3）设平面4WG的法向量为玩=m/,c）,

而=(-1/,3),酝=(-1,-1,0),

m-AM=一。+b+3c=0/、

则J一,取而=3,-3,2,

w-A/C,=-a-b=O

rfl（2）知，平面。四后的一个法向量为万=。,一1,2）,

„„/-八mn105而

则8s5,〃卜丽=反诉二三'

故平面4WG与平面DB.E所成锐二面角的余弦值为返.

33

18.(1)^+/=1

⑵x+&=0和工-4y+3^2=0

6-瓜6+76-

⑶

88

【详解】（1）根据题意，〃=正，

又为等腰直角三角形，所以6=c,

根据/=〃+°2,所以6=1,

所以椭圆C的方程为4y,；

（2）过点。-72,的直线斜率不存在时为x=-V2

此时直线与椭呜+上1显然相切，

当斜率存在时，设直线为y-茅今

、+r=】

联立方程组

得(1+2”21一+2&£(2左+1)1+(4/+4左-1)=0,

得A=8F（2%+l）2-4（2F+l）（4*+42-l）=0,

解得A=；,则直线方程为x-4y+3&=0,

所以过点。-&,*］且与椭圆C相切的直线方程为x+友=0即x-4y+3&=0；

（3）由（1）可知耳（一L0）,

设过左焦点E且与坐标轴不垂直的直线/：y=/；2(x+l)(7»*0),

4（和必）潭（七,为）,

X-+x=1

联立方程组2

y-=77/(.r+1)

得(1+2m2)x2+4m2x+(2/zr-2)=0,

所以…二-思

2/7i2m2ni'm

所以与"H'W=m1-,即A1--~2^,-2，

1+2w2)1+2小11+2〃r1+2n〃?",

又用（0,-1）,玛（1,0）,则限用=0,且L：x—"l=0,

2m2m15

4%+一

则点”到直线B£的距离为〃=1+2/M21+2"产\4m+加+116,

忑-形(1+2叫―@1+2叫

15

4%+,

所以53‘x庭164〃厂+〃？+l,

向1+2叫-2(l+2w2)

4"J+〃?+1/八\/、，

设)=2(1+2/)('〃工0)，则4(»_1)〃/_机+(z2)，_1)=0,

若y-1=0,即y=1时，m=1,

若y