上海市松江区市级名校2026届高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

上海市松江区市级名校2026届高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在上是增函数的一个函数为（）A． B． C． D．2．在中，是的中点，是上的一点，且，若，则实数（）A．2 B．3 C．4 D．53．在中，、、分别是角、、的对边，若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形4．在锐角中ΔABC，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinA．π12B．π6C．π5．若对任意的正数a，b满足，则的最小值为A．6 B．8 C．12 D．246．在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定7．已知两个正数a，b满足，则的最小值是(

)A．2 B．3 C．4 D．58．已知的内角、、的对边分别为、、，边上的高为，且，则的最大值是（）A． B． C． D．9．如图所示，在中，，点在边上，点在线段上，若,则（）A． B． C． D．10．一个三棱锥内接于球，且，，则球心到平面的距离是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．正方形和内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设，若两正方形面积分别为=441，=440，则=______12．若数列的前项和，满足，则______．13．已知{}是等差数列，是它的前项和，且，则____.14．在平面直角坐标系xOy中，若直线与直线平行，则实数a的值为______.15．已知，则_________．16．数列满足，当时，，则是否存在不小于2的正整数，使成立？若存在，则在横线处直接填写的值；若不存在，就填写“不存在”_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示,函数的图象与轴交于点,且该函数的最小正周期为.(1)求和的值；(2)已知点,点是该函数图象上一点,点是的中点,当时，求的值.18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求A；已知，的面积为的周长．19．如图是某地某公司名员工的月收入后的直方图．根据直方图估计：（1）该公司月收入在元到元之间的人数；（2）该公司员工的月平均收入.20．已知函数，其中常数；（1）令，判定函数的奇偶性，并说明理由；（2）令，将函数图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，对任意，求在区间上零点个数的所有可能值；21．已知a，b，c分别为ΔABC三个内角A，B，C的对边，且.（1）求角A的大小；（2）若，且ΔABC的面积为，求a的值；（3）若，求的范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】由①得函数的最小正周期是，排除．对于B:，当时，，此时B选项对应函数是减函数，C选项对应函数是增函数，满足②，故选C．2、C【解析】

选择以作为基底表示，根据变形成，即可求解.【详解】在中，根据平行四边形法则，有，是的中点，，由题：，即，，，所以，所以解得：故选：C【点睛】此题考查平面向量的线性运算，根据平面向量基本定理处理系数关系.3、A【解析】

由正弦定理和，可得，在利用三角恒等变换的公式，化简得，即可求解.【详解】在中，由正弦定理，由，可得，又由，则，即，即，解得，所以为等腰三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角形形状的判定，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，合理利用三角恒等变换的公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、D【解析】试题分析：∵2a考点：正弦定理解三角形5、C【解析】

利用“1”的代换结合基本不等式求最值即可【详解】∵两个正数a，b满足即a+3b=1则=当且仅当时取等号．故选C【点睛】本题考查了基本不等式求最值，巧用“1”的代换是关键，属于基础题．6、C【解析】

通过正弦定理可得可得三角形为等腰，再由可知三角形是直角，于是得到答案.【详解】因为，所以，所以，即.因为，所以，又因为，所以，所以，故的形状是等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.7、D【解析】

根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．【详解】解：根据题意，正数，满足，则；即的最小值是；故选：．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件．8、C【解析】

由余弦定理化简可得，利用三角形面积公式可得，解得，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值．【详解】由余弦定理可得：，故：，而，故，所以：．故选．【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．9、B【解析】

本题首先可根据点在边上设，然后将化简为，再然后根据点在线段上解得，最后通过计算即可得出结果．【详解】因为点在边上，所以可设，所以，因为点在线段上，所以三点共线，所以，解得，所以，，故选B．【点睛】本题考查向量共线的相关性质以及向量的运算，若向量与向量共线，则，考查计算能力，是中档题．10、D【解析】由题意可得三棱锥的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体共顶点的三条面对角线的长分别为，设球的半径为，则有，在中，由余弦定理得，再由正弦定理得为外接圆的半径），则，因此球心到平面的距离，故选D.点睛：本题主要考查了球的组合体问题，本题的解答中采用割补法，考虑到三棱锥的三对对棱相等，所以可得三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，求出求出球的半径，进而求解距离，其中正确认识组合体的特征和恰当补形时解答的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

首先根据在正方形S1和S2内，S1＝441，S2＝440，分别求出两个正方形的边长，然后分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式，求出sin2α的值即可．【详解】因为S1＝441，S2＝440，所以FD21，MQ＝MN，因为AC＝AF+FC2121，AC＝AM+MCMNcosαcosα，所以：21cosα，整理，可得：（sinαcosα+1）＝21（sinα+cosα），两边平方，可得110sin22α﹣sin2α﹣1＝0，解得sin2α或sin2α（舍去），故sin2α．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的求值问题，考查了正方形、直角三角形的性质，属于中档题，解答此题的关键是分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式．12、【解析】

令，得出，令，由可计算出在时的表达式，然后就是否符合进行检验，由此可得出.【详解】当时，；当时，则.也适合.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题考查利用求，一般利用来计算，但需要对进行检验，考查计算能力，属于基础题.13、【解析】

根据等差数列的性质得，由此得解.【详解】解：由题意可知，；同理。故.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.14、1【解析】

由，解得，经过验证即可得出．【详解】由，解得．经过验证可得：满足直线与直线平行，则实数．故答案为：1．【点睛】本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．15、.【解析】

在分式中分子分母同时除以，将代数式转化为正切来进行计算.【详解】由题意得，原式，故答案为.【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要应用于以下两种题型：（1）弦的次分式齐次式：当分式是关于角的次分式齐次式，在分子分母中同时除以，可以将分式化为切的分式来求解；（2）弦的二次整式：当代数式是关于角弦的二次整式时，先除以，将代数式转化为关于角弦的二次分式齐次式，然后在分式分子分母中同时除以，可实现弦化切.16、70【解析】

构造数列，两式与相减可得数列{}为等差数列，求出，让=0即可求出.【详解】设两式相减得又数列从第5项开始为等差数列，由已知易得均不为0所以当n=70的时候成立，故答案填70.【点睛】如果递推式中出现和的形式，比如，可以尝试退项相减，即让取后，两式作差，和的部分因为相减而抵消，剩下的就好算了。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)..(2)，或.【解析】试题分析：(1)由三角函数图象与轴交于点可得，则.由最小正周期公式可得.(2)由题意结合中点坐标公式可得点的坐标为.代入三角函数式可得，结合角的范围求解三角方程可得，或.试题解析：(1)将代入函数中，得，因为，所以.由已知，且，得.(2)因为点是的中点，，所以点的坐标为.又因为点在的图象上，且，所以，且，从而得，或，即，或.18、（1）；（2）【解析】

（1）在中，由正弦定理及题设条件，化简得，即可求解．（2）由题意，根据题设条件，列出方程，求的，得到，即可求解周长．【详解】（1）在中，由正弦定理及已知得，化简得，，所以.（2）因为，所以，又的面积为，则，则，所以的周长为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19、（1）；（2）.【解析】

（1）根据频率分布直方图得出该公司月收入在元到元的员工所占的频率，再乘以可得出所求结果；（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得的积全部相加可得出该公司员工月收入的平均数.【详解】（1）根据频率分布直方图知，该公司月收入在元到元的员工所占的频率为：，因此，该公司月收入在元到元之间的人数为；（2）据题意该公司员工的平均收入为：（元）.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的计算以及平均数的计算，解题时要注意频数、平均数的计算原则，考查计算能力，属于基础题.20、（1）非奇非偶，理由见解析；（2）21或20个.【解析】

（1）先利用辅助角公式化简，再利用和可判断为非奇非偶函数.（2）求出的解析式后结合函数的图像、周期及给定区间的特点可判断在给定的范围上的零点的个数.【详解】（1），则，故不是奇函数，又，，故不是偶函数.综上，为非奇非偶函数.（2），的图象如图所示：令，则，则或，，也就是或者，，所以在形如的区间上恰有两个不同零点.把区间分成10个小区间，它们分别为：，及，根据函数的图像可知：前9个区间的长度恰为一个周期且左闭右开，故每个区间恰有两个不同的零点，最后一个区间的长度恰为一个周期且为闭区间，故该区间上可能有两个不同的零点或3个不同的零点.故在区间上可有21个或者20个零点.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、正弦型函数在给定范围上的零点个数，注意说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，可通过