鲁教版（五四学制）九年级数学上册《三角函数的应用》同步练习题及答案

鲁教版（五四学制）九年级数学上册《2.5三角函数的应用》同

步练习题及答案

一、单选题

1.如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为50米，若这个滑雪道坡度i=1:3（即

AB-.BC=1:3）,则滑雪道4c长为（）米

A.150B.150asC.50\/10D.至詈

2.人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若力8、"的长都为2m,当Q=65。时，人字梯顶

端离地面的高度约是m.（结果精确到0.1"?.参考依据：sin65°«0.91,

cos65°x0.42,tan65°=2.14）（）

A.2.1B.1.9C.1.8D.1.6

3.如图，两建筑物水平距离为a米,从点4测得点C的俯角为a,测得点。的俯角为/?,则较

低建筑物CD的高为（）

A.atana米B.(a•tana)米

C.，-米D.a(tan/?—tana)米

tana

4.如图，体育公园设置了一段爬坡路线4?,已知这段路线相关数据AB=30m,h=15m,

则下列说法错误的是（）

A.路线48的坡角是3。°B.路线48的坡度是1:2

C.4C的长度为15，5mD.路线4B的坡比是1:g

5.为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎.如图，

点。为跷跷板4B中点，支柱0C垂直于地面，垂足为C,跷跷板的一端4落到地面时与地面的

夹角4。/C=a,且?1C=1.5m,则点B与地面的距离是（）

A.pmB.l.StanamC.-^-mD.3tanam

sinacosa

6.如图，老师带领数学小组测量河里面一颗大树树顶离水面的高度E凡小高用高1.5m的测

量仪在点力处测得树顶的仰角为45。，在点8处测得树顶的仰角为28。，点4,B是水平地面上

两点，且与点E,F均在同一竖直平面内.已知水平地面离水面的高度为2m,48=5m,则

树顶离水面的高度“为（结果保留一位小数，sin28°«0.47,cos28°«0.88,tan28°«0.53）

（）

%

!\、、、、、

I、、

、'、、c'、、、、”

4......130水平地面

j水面B

""

A.9.1mB.7.6mC.8.6mD.8.1m

7.如图，艘客船A从码头点。由发，沿北偏东3（T方向航行，速度为20海里/时，2小时后

一艘快艇8也从同一码头出发，向正北方向航行2小时后，此时客船在快艇的正东方向,则

快艇航行的速度为（）

北

B.呼海里/时C.208海里/时D.40海里/时

二、填空题

8.沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i=.

9.如图，在离铁塔8C底部30米的。处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为a=30。，测

角仪高。。为1.5米，则铁塔的高BC为米.

10.如图，水平地面上护林员与树根的距离4c=30m,护林员的眼睛与地面距离84=1.6m,

在此处观测到树梢点。的仰角为30。，则树高C。=m.

11.如图，一艘船从力处向北偏西30。的方向行驶3海里到B处，再从B处向正东方向行驶5

海里到。处，此时这股船与出发点4处相距海里.

12.如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45。降至30。.已知滑梯的

长为2m,点D.B,C在同一水平地而卜,那么加长后的滑梯40的长是m.

A

三、解答题

13.如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角“ED=

60°,在离电线杆9米的8处安置高为a米的测角仪48,在4处测得电线杆上C处的仰角为30。.

（1）若a=1.5时求拉线CE的长；（结果保留根号）

⑵如果拉线CE与视线AC恰好相等时，求a的值；

（3）若&4=CE=CF,请你比较从/点到A点的两种连接方式：方式一：FtJA和方式二：

/哪种方式长度更短.（国"1.7）

14.如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A、C时，测得乙

在甲的北偏东60。方向上，乙留在原地休息，甲继续向前走了100米到B处，此时测得乙在

其北偏东45。方向上.求道路的宽是多少米（结果保留根号）.

15.如图，A,B,C,。分别是某公园四个景点，8在A的正东方向，。在A的正北方向，

且在。的北偏西60。方向，C在A的北偏东30。方向，且在3的北偏西15。方向,48=2千米.（参

考数据：V2«1.41,6*1.73,V6«2.45）

(I)求8C的长度(结果精确到0.1千米)；

(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B,甲选择的路线为：D-C-B,乙选择的路线为：D-

A-B.请计算说明谁选择的路线较近？

16.如图，某校数学兴趣小组为了测得学校旗杆的高度A8,在点。处用高为1.2米的测角

仪CD,测得旗杆顶端A的仰角为22。，又测得30=30米，求这根旗杆的高度力从

（已知：sin220工0.3746.cos22°°0.9272,tan22°♦0.4040,结果精确到0.1米.）

参考答案

I.C

【分析】本题考查的是直角三角形的应用-坡度坡比问题，熟记坡度是坡面的铅直高度力和水

平宽度I的比是解题的关键.

根据坡度的概念求出8C,再根据勾股定理求出4c.

【详解】解：•・•滑雪道的坡度为i=1:3,即48:8C=1:3,

•••48=50米，

ABC=150米，

由勾股定理得：AC=7AB2+BC2=V502+1502=50国米，

故选：C.

2.C

【分析】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.通

过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得

出答案.

【详解】解：过点4作4D1BC于点D.

:AB=AC=2m,AD1BC,

:.△AOC是直角三角形，^ADC=90°.

在中，AC=2m,Z.C=a=65°,

•••AD

・sma=就，

AD=AC-sina=2xsin65°«2x0.91=1.82x1.8(m).

故选：C.

3.D

【分析】本题主要考查锐用三角函数的实际应用，矩形的判定和性质，正确理解俯仰角是解

题关键.过点。作CE14?于点£则四边形8DCE是矩形，由题意可知,3。=a米，乙1CE=a,

乙ADB=B，在直角三角形中，利用正切值，求出，/E=a-tana米，

在中，48=Q•tan/?米，即可求解.

【详解】解：如图，过点C作。E14B于点E,则四边形8DCE是矩形，

由题意可知，80=a米，Z.ACE=a,Z,ADB=p,

:.CE=BD=a米，CD=BE,

在RtA/lEC中，AE=CE-tanz/lCF=a-tana（米），

在RtaABZ）中，AB=BD-tanz.ADB=a-tan/7（米），

•••BE=AB-AE=a-tar.p-a-tana=a（tan/?-tana）（米）,

•••CD=a（tan/?—tana）（米），

故选：D.

【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距

离的比是解题关键.根据正弦的定义得出=%LBAC=30°,解直角三角形得出

AC=15gm,根据坡比的定义逐一判断即可得答案.

【详解】解：AB=30m,h=15m,

AC=30°,即路线AB的坡角是30°,故A选项正确，不符合题意，

••AC=AB-cos30°=30xY=15V3m,故C选项正确，不符合题意，

工路线48的坡度是整=得=1:百，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意.

AC15V3

故选：B.

5.D

【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判

定与性质，解直角三角形等知识.求出OC=ACtanzZMC=1.5tana(m),过点8作垂直

底面于点。，判断出。。是△AB。的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于

第三边的一半可得BD=20C,即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，0C14C,力C=1.5m,

在RtA/OC中，OC=ACtanzZMC=1.5tana(m),

如图，过点3作B0垂直底面于点。，

vBDlADtOC1AD,

•••BDWOC,

/.△AOCABD,

.AOAC

••二,

ABAD

,••点O为跷跷板AB的中点,

：.AC=-AD,

OC是△ABD的中位线,

•••BD-2OC=3tanam,

故选：D.

6.A

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定及解分式方程，熟练

掌握三角函数的定义是解题关键.根据题意可得MF=2m,乙ECH=45°,LEDH=28°,

AC=BD=HM=1.5m,AB=CD=5m,根据乙ECH=45°,得出△CHE是等腰直角三角

形,设==根据/川/的正切函数可得条10.53,解方程求出、的值.根据E昨

EH+HM+M尸即可得答案.

【详解】解：如图，过点.4作/MJ.EF于M,

小、

「'、、、、、

：'、、、、、、

小、、、C、、、、八

佐二二二±&现H

1永面/小

F

由题意得：MF=2m,Z.ECH=45°,乙EDH=28°,AC=BD=HM=1.5m,AB=CD=5m,

•:乙ECH=45°,乙EHC=90°,

•••ZiG/E是等腰直角三角形，

设E，=CH=x.

*：Z-EDH=28°,

AtanzEDH=^=—«0.53,

DHX+5

解得工«5.6m,

经检验，％、5.6m是分式方程的解，且符合题意，

:,EF=EH+HM+MF=5.6+1.5+2=9.1m.

故选：A.

7.C

【分析】本题考杳了解直角三角形的应用一方向角问题，连接48,由题意可得N48。=90。,

/-AOB=30°,。4=20X4=80海里，即得。B=OA-cos30°=40次海里，进而即可求解,

理解题意是解题的关键.

【详解】解：如图，连接48,

北

由题意可得，^ABO=90\^AOB=30°,。4=20x4=80海里，

：・OB=04•cos30°=80Xy=40百海里,

，快艇航行的速度为406+2=206海里/时，

故选：C.

8.a:4

【分析】本题考查了求坡度.

根据坡度的定义,坡度i是铅垂高度九与水平距离L的比,即i=

设沿一斜坡向上走3米，水平距离为L米，利用勾股定理可求水平距离L,再计算坡度.

【详解】解：设沿一斜坡向上走3米，水平距离为L米，根据勾股定理：

32=I2+L2

9=1+L2

L2=8

L=V8=2V2(米)

坡度i=h:L=1:2V2=V2:4,

故答案为：V2:4.

9.(106+1.5)

【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的正切值.解题的关键在于构造直角三角形.

如图所示，过点力作力E1BC,则四边形力OCE为矩形，AE=CD=30X,CE=AD=1.5米，

在&△ABE中，tana=啜=tan30。=立，求出BE的值，根据8C=BE+CE,计算求解即

AE3

可.

【详解】解：如图所示，过点A作AE_LBC,

B

：.AE=CD=30米，CE=AD=1.5米，

在RtA/BE中，tana=勺=tan30。=g

AE3

：,BE=^AE=10V3（米），

：.BC=BE+CE=10V5+1.5（米），

故答案为：（10国+1.5）.

10.1.6+108

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键.

过B作8E_LC0于£,则力C=8E=30m,AB=CE=1,6m,解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：如图，过B作8EJ.CD于E,

则4c=BE=30m,AB=CE=1.6m,

在Rt/kBDE中，tanZ.DBE=tan30°=—=—=^.,

BE303

：,DE=10V3m,

：,CD=CE+DE=（1.6+10V3）m

故答案为：1.6+10V5.

11.g

【分析】此题考查了方向用、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函

数得出/IE,8E解答.

根据直角三角形的三角函数得出4E,BE,进而得出CE,利用勾股定理得出4c即可.

【详解】解:如图:

vBC1AE,

•••Z-AEB=90。，

vZ-EAB=30°,AB=3海里，

••.8E=翔里，AE=¥海里，

.'.CE=BC-BE=5-^=^（海里），

AC=y/CE2+AE2=J+律=g（海里）,

故答案为：V19.

【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义及30。角的直角三角

形性质是解题的关键.先在含45。角的直角三角形中求出AC的长度，再在含30。角的直角三

角形中利用30。角的性质求出4。的长度.

【详解】解：在RtZk/gC中，^.ABC=45°,AB=2m,

vsinz.ABC=—,sin450=—,

AB2

AC=AB-sin450=2x曰=V2(m).

在中，Z.ADC=30°,

•••AD=2AC=2V2(m).

故答案为：2注.

13.⑴拉线CE的长为(6+⑹米

(2)3.9

(3)方式二的长度更短

【分析】本题考查解直角三角形，矩形的判定及性质，掌握解直角三角形的方法是解题的关

键.

(1)过点A作AH1C。于点H,可得四边形力8DH是矩形，因此HD=AB=a=1.5米，AH=

8。=9米，在中，解直角三角形得到CH=?!〃•tan4以14=3百米，因此C。二

CH+HD=3yf3+1.5（米），在Rt△CUE中，解直角三角形得到CE=—^―=6+百（米）,

sinzCED

即可解答；

（2）在Rta4C”中，解直角三角形得到4c="川=6圾（米），C”=；4?=3V5米，

从而CE=4C=6V5米，在Rt^CDE中，解直角三角形得到・・.C0=CE・sin/CED=9米，

因此，D=CD=9一3百（米），再由在矩形48DH得到=，。=9一3百（米），即

可解答；

（3）方式一的长度为FC+AC,方式二的长度为FD+6D+AB,分别求出它们的长度，再

进行比较即可解答.

【详解】（1）解：过点人作4H1CD于点H,

由题意得力B1BD,CDLBD,

・••四边形力是矩形，

：.HD=AB=a=1.5米，AH=BD=9米，

•・•在Rt/kACH中,Z-CAH=30°,

/.CH=AH-tanz.CAH=9tan30°=373（米）,

：,CD=CH+HD=3V34-1.5（米），

•••在RtZkCOE中，Z.CED=60°,

CD30+1.5

：,CE==6+V3（米）.

sinzCEDsin600

答：拉线CE的长为（6+次）米.

（2）解：•・•在RtZk/lC，中，A”=9米，/-CAH=30°,

.MC=E^7=磊^=675（米）,

CH=^AC=3百米，

：.CE=AC=6百米,

•••在RtZkCOE中，Z,CED=60°,CE=6g米，

:.CD=CE-s\nz.CED=6A/3•sin60°=9（米），

:.HD=CD-CH=9-3^3（米），

，在矩形ABDH中，4B="。=9-3百49一3x1.7=3.9（米），

即”的值为3.9.

（3）解：由（2）可得CE=4。=6百米，AB=9-3、”（米）

:.当&4=CE=CF时,CF=6百米，

工方式一的长度为FC+4C=6V3+6A/3=1273«12X1.7=20.4（米）.

•・,在Rt^CDE中，/-CED=60°,CE=6百米，

:.DE=CE-coszCEZ）=6A/3•cos60°=36（米），

•：CF=CE,CD1EF,

:.DF=/）/?=2百米.

・,・方式二的长度为广。+8。+AB=3V3+9+9-3V3=18（米），

V20.4>18,

・•・方式二的长度更短.

14.（50V3+50）m

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键.

作C。149于点O,设CO=x,由题意得，Z.CAD=30°,Z.CBD=45°,AB=100,进而得8。=

CD,在《△/ICO中，可利用正切函数列方程求出工的值即可得到答案.

【详解】解：作CD148于点D,设CO=x,

由题意知=30°,LCBD=45。,4?=100,

VzCDF=90°,

J.Z-CBD=乙BCD=45°,

:,BD=CD,

在Rt△力CD中，tan30°=

3一100+x,

**.x=50>/3+50,

答：道路的宽是（50g+50）m.

15.（1）BC的长度约为2.5千米

⑵甲选择的路线比较近，理由见解析

【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含30。角的直

角三角形三边的关系.

（1）过B作BE1ACTE,由NZMC=30°,可得4£718=60°,Z.EBA=30。，故4E=\AB=1

（千米），8E=V14E=石（千米），而。在3的北偏西15。方向，得△EBC是等腰直角三

角形，从而CE=BE=（千米），BC=V2BE=V2xV3=V6«2.5（千米）；

（2）过。作CF14。于F,rfME=1千米，CE=6千米，得AC=AE+CE={1+疗）千

米，在尸中，求出CF,4口根据。在C的北偏西60。方向，知NDCF=30。，可得D/,

进而可得CD=