上海市嘉定区某中学2025-2026学年高三年级上册期中考试数学试卷

上海市嘉定区中光高级中学2025-2026学年高三上学期期中考

试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知集合4=但可。},8:{-1,0,1,2},则AcB等于.

2.不等式土二＜0的解集是___.

x-2

o

3.若复数2=三3为虚数单位），则|z|=_____.

1+1

JI4

4.若一vav兀，且cosa=一一，则tana=.

25

5.已知一组数据8.6,8.9,9.1,9.6,9.7,9.8,9.9,10.2,10.6,10.8,11.2,11.7,则该

组数据的第80百分位数为.

6.两个球的体积之比为8：27,则这两个球的表面积之比为.

7.在二项式（2x7）5的展开式中，/的系数为

8.已知〃泊为正数，且2a+?=l,则f的最大值为___.

bb

9.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有2种玩偶,

小明依次购买3个盲盒，则他能集齐这2种玩偶的概率是.

10.已知双曲线「:二=1（。＞0）的左、右焦点分别为5、6.经过6且倾斜角为目的

直线与「交于第一象限的点A,延长45至8,使M同=|4用.若，弘迅的面积是36,则双

曲线的离心率为.

11.如图，自动卸货汽车采用液压机构.已知车厢的最大仰角为60“，油泵顶点8与车厢支

点A之间的距离为L95ni,AC的长为1.4ni,6c与过A的水平线交丁点D,AD的长为1.75w

则A8与水平线之间的夹角。的大小为.（以角度制表示，精确到0.01）

12.己知a,人均为单位向量，与共面的向量c满足J_(〃+〃).c+a-"=O，则口的最

大值为.

二、单选题

13.已知空间向量。=(/1,1,一2),〃=(%』」)，则"4=1”是“A_L户的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.直线4*-1=0与直线4"-6)，+2=0的夹角为()

71n兀八冗八兀

A.—B.-C.-D.一

2346

15.已知,f(x)=cos3x+$3>0.在xw[0,2句内的值域为-1,；，则。的取值范围是()

「24]「八I]

A.B.0,-

\_33jL3j

「八2]rI21

C.o,-D.

L3j|_33」

16.已知函数/*)=产一”+2工,则不等式/，—4)+/(2—3x)44的解集为().

A.[-L4JB.[-4,11

C.(-<JO,-1]U[4,+CO)D.ST

三、解答题

17.如图，一个圆锥的顶点是P,。是底面的圆心，是底面的一条直径，AB=2.

(1)若小和圆锥底面所成角大小是三，求该圆锥的表面积；

(2)若Q是以中点，C、。是底面圆上两点，劣弧AC的长为：，CD//A8,M是线段OC上

试卷第2页，共4页

一点，求证：平面QCO〃平面PB/）.

18.已知数列｛qj各项均为正数，且4=1,记其前〃项和为

（1）若数列色｝为等差数列，1=12,求数列也｝的通项公式：

⑵若数列｛q｝为等比数列，4=击，求满足工>15”.时〃的最小值.

19.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分

学生的成绩x（单位：分，40<x<100,得分x取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行

整理后，分为六组（如图）：

⑴求〃的值；

⑵如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为［60,70）和［70,80）的学生中共抽取6人,再从

6人中选2人，求2人中有来自［60,70）组的学生的概率；

⑶学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：苦，2，0，鸟），已知这10个成绩的平

均数工=90,标准差s=5,若剔除其中的98和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方

差.

20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆「：£+工=1（〃">0）的左、右顶点分别为A、8,

a~b~

右焦点为F，且椭圆「过点（0,75）、卜,过点尸的直线/与椭圆「交于P、Q两点（点P在

⑴求椭圆「的标准方程:

(2)若尸4_LPQ,求点尸的坐标；

⑶设直线8。的斜率分别为用、k2,是否存在常数％,使得勺+2e=0?若存在，清求

出4的值；若不存在，请说明理由.

21.已知/(x)=xTnx-2.

(I)求曲线y=/(丫)在X=I处的切线方程：

⑵已知函数y=/W在区间伏,Z+l)(AtN)上有零点，求女的值；

⑶记g(x)=：x2-辰一2—/(X)，设4、天(与〈天)是函数y=g(x)的两个极值点，若8q，

且8您)-展幻2%恒成立，求实数&的取值范围.

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《上海市嘉定区中光高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷》参考答案

题号13141516

答案ABDA

L{L2}

【详解】试题分析：Ac3={%|x>0}c{-l,0,l,2}={L2}

考点：集合运算

【方法点睛】I.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条

件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.

2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解.

3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元

素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.

2.(1,2)

【分析】先根据分式不等式小于0的条件，把原不等式转化为分子、分母异号的不等式组,

然后解不等式组求出解集.

【详解】因为二二<0,所以、八或1c八，解得1。<2,

x-2[x-2>0(.v-2<0

所以不等式二<。的解集是(1.2).

故答案为：(1,2).

3.V2

【解析】由复数的运算法则得z=l-i,由复数模的概念即可得解.

【详解】由题意z=/=一,所以以|=4再下=JL

l+i(l+i)(l-i)11

故答案为：V2.

【点睛】本题考查了复数的运算和复数模的概念，属于基础题.

3

4.——/-0.75

4

【分析】根据同角三角函数的关系列式求解即可.

7F

【详解】因为

答案第1页，共10页

所以sina二Vl-cos2a=^'1--=—,

csina3

所以lana=----=——.

cosa4

3

故答案为：-了.

4

5.10.8

【分析】根据题设及百分位数的求法，得到第80百分位数所在的位次，找到对应位次上的

数，即为所求.

【详解】由题设知：数据共有12个，则12x0.8=9.6,即第80百分位数在第10位，

・•・第80百分位数是10.8.

故答案为：10.8.

6.4：9

4"3

一兀roo-24

【详解】试题分析：设两球半径分别为八R,由总［=5可得3=；，所以端=3.即

3

4

两球的表面积之比为3.

考点：球的表面积，体积公式.

7.-40

【分析】根据二项展开式的通项公式，结合题意求解即可.

【详解】二尸C；(2x广

令r=3可得C；x4/(-1丫=-40x2,

所以』的系数为T().

故答案为：-40.

8.-5-/0125

8

【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解.

【详解】因为。>0/>0,

11

即2*弓,可得济,

-2a-

bp>

当且仅当加得且勿+尹建即3丁力=2时等号成立.

答案第2页，共10页

故答案为：

O

9.-/0.75

4

【分析】设两种玩偶对应的盲盒分别为人。，用列举法得到所有的基本事件数，及能集齐这

2种玩偶的基本事件数，从而求出相应的概率.

【详解】设两种玩偶对应的盲盒分别为a8，小明依次购买3个盲盒，所有的基本事件有:

aaa、aab、aba、baa,abb、bab、bbabbb,共8种，

其中，事件“这2种玩偶齐全”所包含的基本事件有：aab、aba、baa,abb、bab、bba,共6种，

故所求概率为P=：=

84

3

故答案为：—

4

10.3

【分析】由题意作图，根据三角形面枳公式以及直线方程，得出点B坐标，再结合双曲线的

定义可得答案.

【详解】由题意可作图如下：

22

由-7=1,则〃2=9-々2,c-yja2+b2-3»

9-a~

则爪―3,0),5(3,0),

设B("B)，%V0,则S麻岛闾=3|%|=3万，解得力=々5,

由题意可得直线AB的斜率tan：=G,则方程为y=G(x-3),

将加=—G代入上式，则—6=6(/-3),解得4=2,即8(2,-旬,

由题意可得2a=|A£|—|A周=,回_|人修=忸修=J(2—3『+(-V3-O)2=2，

则a=1,e=—=3.

a

故答案为：3

答案第3页，共10页

11.6.39

【分析】首先在4a＞中求CD和—ADC,再在△49。中，根据正弦定理，即可求解.

【详解】ACD中，根据余弦定理8?=］邛+1.752-2x1.4x1.75x1=2.5725,

I.752H-2.5725-1.42

cosZ.ADC=«0.6547,则NAOCu49,

2x1.75,J2.5725

ABIQSI75

△A8O中，根据余弦定理即.—=,得sin8*0.6763,

sin/ADRsinlisin131sinU

贝UBa42.6l,所以an49-42.61=6.39.

故答案为：6.39

12.V2

【分析】由题可得（c-根据垂直关系及向量运算画出图形，数形结合求解即可.

【详解】由题可得（cj）（。-8）=0,

所以

如图，设D4=a,Q4=〃,Z）C=c,

贝IJC-4=4C,C-〃=3C,可得4C_LBC，

则点。在以AB为直径的圆。上运动，

由图可得,当DC_LA5时，|DC|N|DC|,

设Z/WC=。，贝ij|Qq=|DO|+|AO|=cos9+sin，=&sin（，+q

所以当。=:时，同=|。。|取得最大值为血.

故答案为：&.

13.A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

答案第4页，共10页

【详解】当2=1时，«=(1,1,-2),/?=(1,1,1),所以a3=0,即a_Lb,故充分；

当々1b时,〃/=0,即无+1-2=0解得义=±1,故不必要;

故选：A

【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及空间向量的数量积运算，属于基础题.

14.B

【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角.

【详解】设两直线的倾斜角分别为见夕，由4：x-l=0,则a=],

由4：x-V5y+2=O,则tan/?=巫，即夕=^，

36

则两直线夹角为,_尸|=£==.

故选：B.

15.D

【分析】根据题意作出余弦函数图象，分析值域为7，；时对应的定义域，由此得到关于。

的不等式并求解出结果.

【详解】因为工目0,2可，所以(8+(%加+?，

又因为〃力的值域为，结合余弦函数图象(如下图)：

故选：D.

16.A

【分析】得出/。)=已1"-，+2工在R上单调递增，f(2-x)=4-f(x),然后将不等式等价

答案第5页，共10页

变形为f-4W3x即可求解.

【详解】设函数/。)=尸-"+2］，则函数/*)是定义域为R,

因为)，=e1是增函数，y=ei是减函数，y=2x是增函数，

所以/")=ei-3一，+2x在R上单调递增；

因为/(1+x)+/(1—x)=e1+v-,-eH，+t)+2(l+x)+e1^-1-eHl-x)+2(1-A)=4,

所以其图象关于点0,2)对称，即有/(幻+/(2-x)=4,gp/(2-x)=4-/(x).

由-4)+/(2-3劝44得/(x2-4)<4-/(2-3x),

即/12一4)《〃2—(2-3外)，

即/，-4)"(3x),所以X2-4<3X,解得-l<x<4.

故选：A.

17.(1)3兀

(2)证明见解析

【分析】(1)根据线面角的定义结合圆锥的表面积公式求解即可；

(2)根据弧长公式可得乙4。。=方，利用平行四边形的性质证明线线平行，再根据面面平

行的判定定理证明即可.

【详解】(I)连接0P,曰题可得NPAO=60，因为"=2,

所以24=24=2,

所以圆锥的表面积为7ix1x2+兀=3兀.

(2)

因为。，。分别为ARAB的中点,

所以OQ//PB,

乂因为OQu平面QCO,平面QCO,

答案第6页，共10页

所以PB//平面QC。，

劣弧AC的长为则4OC=W，则=

333

因为CO〃八所以OCO为等边三角形，

所以8=03=1,

所以四边形088为平行四边形，

所以OC7/6D,

又因为OCu平面Q。。，3。0平面QCO,

所以4力//平面QCO,

又因为PBc3D=6,PBBDu平面PBD,

所以平面PBD”平面QCO.

18.⑴。“=3〃-2

⑵5

【分析】（1）设出数列公差，借助等差数列及其前〃项和计算即可得；

（2）设出数列公比，由题意计算可得其通项公式及前〃项和，计算即可得.

【详解】（1）设数列｛4｝的公差为d,则有区=3%+3"=3+34=12,即d=3,

故q=1+（7Z-1）X3=3??-2；

（2）设数列｛/｝的公比为小则有即

则凡=lx*=广，则s“二I

*2

令2-击>9，即2“T>23,故〃>4,即"的最小值为5.

19.（1）0.03

⑵3

（3）89,5；21

【分析】（1）利用频率之和为1即可求解；

（2）利用分层抽样，排列组合，结合古典概型的概率公式求解；

（3）由平均数和方差公式求解即可.

答案第7页，共10页

【详解】（1）10x（0.01+0.015+0.015+4+0.025+0.005）=1,解得“=（）.03.

（2）0（）；）；；（）3*6=2,所以抽取的6人中，2人来自［60,70）,4人来自［70,80）,

所以2人中有来自［60,70）组的学生的概率为尸=1-?^=1-«=（

133

10x90-98-86_

（3）剩下8人成绩的平均数为=o9n.59

8

25=*［；+4+

••4-10X902),

所以x；+x；+4=81250,

所以剩下8人成绩的方差为：1X(81250-982-862-8X89.52)=1X168=21.

88

20.(1)—+-^=1

95

\_

(3)2=-

5

【分析】（1）代入已知两点坐标求得椭圆方程;

（2）设尸（x,y）,由Q4J,PQ,得所以又点P在椭圆上，解方程组即可

得解;

（3）设存在常数丸，使得仁+双2=（）.由题意可设直线尸。的方程为x=〃?.v+2,点

22

P（X|,y）,Q（X2，%），且，尸”）’2#°.彳=冲+2与+联立，韦达定理求出另十乃，另%,

用。（4,），|）,。（天，必）表示出勺，消去牛犬2，将X+）'2，，M代入化简即可得解.

K2

y=5

【详解】（I）因为椭圆「可点（0.逐）、（2q），则有，4—，解得川=s,『=9,

t+^=1

所以椭圆的标准方程为寸+?=1.

95

（2）设P（x,），）（x#±3）,由（1）知尸（2,0）,人（一3,0）,所以皿二（一3-苍-力尸尸=（2-%,一丁）

因为P41PQ,所以PA_L0户，贝IJPAP尸=0即（一3—工）（2—力+），2=0,

UPx2lx6Iy2=0,/.y2=x1xI6.

答案第8页，共10页

3

4

又点尸（工〉）在5+1~=|上，将丁=一/r+6（xw±3）弋入[+!=1，解得，

*5后'

产士丁

乂点尸在x轴的上方，所以点尸的坐标为

（3）假设存在常数4,使得K+%&=0.

由题意可设直线P。的方程为x=/〃v+2,点2（戈1，），1）,。（与,%），且）'产°,必工°.

1=冲+2与上+上=1联立得，（5〃/+9）./+20冲-25=0,则

20m-25

）1+力=一，)1%=

5m2+95m2+9

又因为4=告=号的=春=+,,3=产7L〃一

X)+3殴+59-3tny2-1K2(/期+5)必加XM+S%

-2520〃?-5in

m——=+——：+%

，孙必一（）1+）’2一）’2）5〃/+95〃广+9-5m2+9+2

-955

利y%+5%m+5),m一F-+5y

5m2+9力W+9,22

k.111

所以各=〒即人=三3卜三卜=0.

K?）55

所以存在常数4=—使得4+九0=（）

21.⑴y=-i

⑵0或3；

(40

(3)1--21n3

【分析】（1）由题意可得切点为代入中可求出团的值;

（2）对函数求导，然后求出函数的单调区间和极值，再利用零点存在性定理可求出零点的

范围，从而可求出k的值;

（3）对函数求导后，由题意可得方程丁-（6+1）X+1=0有两个不相等的正实根%当,则

西+与=〃+1,XR=1，再结合可得0<%工：，则g（x1）-g（X2）=2皿内-：x,2--1,

构造函数有'（X）=2-x-!=TX：l）2<0,利用导数求出其最小值即可求出k的取值范围，从

XJC

而可求出k的最大值.

答案第9页，共10页

【详解】(1)因为/*)=》-Inx-2,