苏教版高一数学下册必修第二册-第二课时 平面与平面垂直的判定

第二课时平面与平面垂直的判定

课标要求素养要求

1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与

在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定

平面垂直的判定定理，并加以证明.

定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、

2.会应用平面与平面垂直的判定定理证明平

逻辑推理素养和直观想象素养.

面与平面垂直.

知识探究

自主梳理

1.二面角的概念

(1)定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两企坐壬面所组成的图形叫作二面角.

(2)相关概念：①这条直线叫作二面角的棱；②每个半平面叫作二面角的面.

(3)画法如图所示

(4)记法：如图棱为4B、面为风少的二面角，记作二面角也可以记作M-48-

N.

(5)二面角的平面角

一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线

所成的角叫作二面角的平面角.

如图，Q4JJ,0B11,故/4。8就是二面角a-一6的平面角.

⑹二面角的平面角a的范围：0°<a<180°.

2.面面垂直的定义

(I)平面角是直鱼的二面角叫作直二面角.

(2)一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直.

(3)画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成

垂直.

7

3.平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

用符号表示为(如上图),

平面与平面垂直的判定定理再理解

(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直=面面垂直.

(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为线线垂直问题来解

决.

自主检验

1.思考辨析，判断正误

⑴平面a和6分别过两条互相垂直的直线，则小以X)

提示不一定.反例：斜四棱柱中的底面和侧面.

(2)若平面a内的一条直线垂直于平面纳两条平行线，则。，队X)

提示不能保证直线和平面£垂直，则aJL£就不一定成立.

(3)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的叁线，

即实现面面垂直向线面垂直的转化.(J)

2.已知LLa,则过/与。垂直的平面()

A.有1个B.有2个

C.有无数个D.不存在

答案C

解析由面面垂直的判定定理知，凡过/的平面都垂直于平面a,这样的平面有无数个.

3.对于直线牡〃和平面a,/7,能得出a_L夕的一个条件是（）

A.m_L〃，in//a,n//fla^ft=m,〃ua

C.m//n,〃_L£,〃?uaD.m//n,ml.a,nLp

答案C

解析,:n邛，m〃n,：.m邛,又〃zua,由面面垂直的判定定理得a_LK

4.在正方体ABCD-A/CQi中，截面AiBD与底面ABCD所成的二面角Ai-BD-A的正切

值等于.

答案也

解析如图所示，连接AC交B。于0,连接A。，则NA0A为二面角A—8。一A的平面角.

设4A=〃，则A0=^a,所以tanNA|0A=-^"=啦.

课堂互动题型剖析

题型一二面角及其平面角的概念的理解

【例1】下列命题中：

①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线4〃分别和一个二面角的两个面垂直,

则。，》所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发.

分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置

没有关系.其中正确的是（）

A.①③B.②④

C.@@D.①②

答案B

解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①不

对，实质上它共有四个二面角；由m。分别垂直于两个面，则a,人都垂直于二面角的棱，

故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.

思维升华1.要注意二面角与两相交平面所成的角并不一致.

2.要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角的两边分别在二面角的面内的角的联系与区别.

3.可利用实物模型，作图帮助判断.

【训练1]若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两

个二面角()

A.相等B.互补

C.相等或互补D.关系无法确定

答案D

解析如图所示，平面平面ABC,当平面，DG绕OG转动时，平面"DG始终与平

面8CZ)垂直，因为二面角H—OG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.

题型二求二面角的大小

【例2】如图，四边形"C。是正方形，%"L平面相8,且以二八及

(1)求二面角A-PQ-C的平面角的度数；

⑵求二面角的平面角的度数；

(3)求二面角B-PA-C的平面角的度数.

解(1)・・・％_L平面4BCDCQu平面48CQ,

・•.必_LC。，又四边形A8C。为正方形，

：.CD±ADf又B4nAQ=A,PA,AOu平面以O,

平面PAD、又COu平面PCD,

・•・平面必。_L平面PCD.

・•・二面角4一尸。一。的平面角的度数为90°.

(2)'.•办_L平面ABC。，AB,AOu平面A8C。，

・・・A8_L必，AD±PA.

・・・N8A。为二面角B-PA-D的平面角.

又由题意知NZMQ=90。，

・•・二面角8一以一。的平面角的度数为90°.

(3)'・•%_L平面48c。，AB,ACu平面ABC。,

：.ABLPA,ACYPA.

・・・N84C为二面角3一%-C的平面角.

又四边形人8co为正方形，；.NBAC=45。,

即二面角8一必一C的平面角的度数为45°.

思维升华确定二面角的平面角的方法：

(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

(2)里面法：过棱上一点作好的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交

线所成的角，即为二面角的平面角.

(3)线面垂直法：该法就是利用线面垂直来寻找二面角的平面角，是最常用的也是最好用的一

种方法.由一个半平面内异于榜上的点A向另一半平面作垂线,垂足为点仅由4点向二面南

的棱作垂线，垂足为点0,连接40,则NA0B为二面便的平面角(或其补角).

【训练2】如图所示，4B是。。的直径，必垂直于。。所在的平面，C是圆周上异于4,

B上的一点,且附=4C,求二面角P-BC-A的大小.

解•・•必_L平面ABC,BCu平面ABC,

：.PA1BC.

〈AB是。。的直径，且点C在圆周上，：.ACYBC.

又・・・％nAC=A,PA,ACu平面FC,，8C_L平面布C

而PCu平面以C,：,PCA.BC.

义YBC是二面角P-BC-A的棱，

AZPCA是二面角P-BC-A的平面角.

由抬=4C知，是等腰直角三角形，

.•.ZPCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45。.

题型三平面与平面垂直的证明与探求

角度1证明平面与平面垂直

【例3】如图所示，在长方体48CQ-4SGOi中，AB=AO=1,A4=2,"是棱CG的

中点.证明：平面A8M_L平面481M.

证明由长方体的性质可知4由i_L平面BCGKi,又BMu平面BCCB,所以

又CG=2,M为CG的中点，所以GM=CM=L

在Rl△%GM中，BIMK&C+MC*®同理BM=NBC2+CM2=@,又B出=2,所以

BIM2+8M2=BI*从而BMYBiM.

又ASG8|M=3I,AIBI,B]MU平面4B]M,

所以BM_L平面49M.

因为BA/u平面人8M,所以平面A8^_1_平面人出|M.

角度2平面与平面垂直条件的探求

【例4】如图，在四棱锥P-A8C。中，底面48C。为菱形，ZBAD=60°,侧面△出。为

等边三角形.

⑴求证：ADLPB；

(2)若E为8c的中点，能否在棱PC上找到一点八使平面。E£l_平面A8C。？并证明你的

结论.

⑴证明设G为4。的中点，连接PG,BG,如图.

因为△以。为等边三角形，

所以PGA.AD.

在菱形A8CO中，/。八8=60。,

G为4。的中点，所以BG1AD

又因为BGAPG=G,BG,PGu平面PGB,

所以AO_L平面PGB.

因为08u平面PG8,所以AQ_LP8.

(2)解当尸为PC的中点时，满足平面平面ABCD.证明如下：

如图，设尸为PC的中点，连接OF,EF,DE,则在△P8C中，EF//PB,在菱形ABCD中，

GB//DE.

又正巴平面PGB,。口平面PGB,PB,G8u平面PGB,所以正尸〃平面PGB,DE〃平面PGB.

而E尸u平面OERQEu平面DE凡EFODE=E,

所以平面DE广〃平面PGB.

由(1),得AO_L平面尸G8,而AQu平面A3CD,

所以平面PG8J•平面ABCD.

所以平面平面ABCD.

思维升华证明面面垂直常用的方法：

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂

直.

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.

【训练3】过点S引三条线段S4SB,SC,其中N4SC=90。，NAS'C二NRSA=60。，且

SA=SB=SC=a.

求证：平面4BC_L平面8SC

证明如图，取BC的中点。，连接S。，A。，

由于NASC=N854=60。，且S4=S8=SC=a,

所以△SAC,△SAB为正三角形，

即有AB=AC=a,又BC=y[ia,

所以三角形ABC为等腰直角三角形，

所以AO_L8C,XSDYBC,

所以NADS恰好为二面角S-BC-A的平面角.

又SZ）=AO=]8C=苧”，而S4=a,

所以

所以NSD4为直角，

所以平面A8C_L平面8SC

・课堂小结・

一、牢记3个知识点

I.二面角的平面角概念.

2.面面垂直的定义.

3.而面垂直的判定定理.

二、掌握一种方法——转化法

三、注意1个易错点

面面垂直的判定定理中线垂直于面，线在面内.

分层训练素赤提升

基础达标

一、选择题

I.直线/，平面生上平面优则a与夕的位置关系是（）

A.平行B.可能重合

C.垂直D.相交不垂直

答案C

解析由面面垂直的判定定理，得。与户垂直.

2.（多选题）如图，已知直线AB_La,垂足为丛AC是平面a的斜线，COu。，CDLAC,则下

列判断正确的是（）

A.平面A6C_La

B.平面

C.平面ABCJ■平面ACD

D.平面ACQ_L平面A3。

答案ABC

解析A8u平面ABC,A3u平面480,故A,B正确；，：CDua,：.ABYCD,

又CQ_LAC,ABQAC=AfA8,4Cu平面48C,，CQ_平面A8c又「CQu平面AC。，

平面ACOJ_平面ABC,C正确；D错误.

3.一个二面角a（0。＜a＜90。）的两个半平面分别垂直于另一个二面角.（0。＜夕＜90。）的两个半平

面，则这两个二面角的关系是（）

A.相等B.互补

C.相等或互补D.既不相等也不互补

答案A

解析画出图象易得到a与夕相等或互补.而。，夕均为锐角，与夕相等.

4.从空间一点P向二面角a-/-/?的两个面a,£分别作垂线PF.E,尸为垂足,若NEPF

二60。，则二面角a-/-夕的平面角的大小是（）

A.60°B.1200

C.60。或120°D.不确定

答案C

解析・・・PE_La,PF邛,

AP,E,尸三点确定的平面垂直于。和£.

过点E作/的垂线，垂足为。，连接OF,易知/_LO尸且P,E,O,b四点共面，则/尸OE

为二面角的平面角，

如图I所示.

图1

此时，NFOE+/EPF=180。,

所以二面角。一/一£的平面角为120。.

当点P的位置如图2所示时，

a

图2

此时NFOE=NEPF,

所以二面角。一/一4的平面角为60。.

5.(多选题)如图所示，四边形ABC。中，AD//BC,AD=AB=1,NBCD=45。,NBA。=90。,

将aAB。沿8。折起，点A到达4的位置，此时4c=小，构成三棱锥4贝lj()

A.平面A'BO_L平面BDC

B.平面43Q_L平面A8C

C.平面4OC_L平面BDC

D.平面AOCJ_平面A'BC

答案AD

解析如图，在三棱锥A，一BOC中，AfD=A'B=\,故BD=取,DC=0又A，C=木,故

4。2=47)2+。。2,则c/)_LA。，又易知CD上BD,A'DC\BD=D,所以C7)_L平面/VB。，又

COu平面BDC,故平面ABO_L平面BDC.又平面A'BD,所以COJ_A'B.又A^LA'D,

A'DnCD=D.所以48_L平面ADC,又A'Bu平面ABC,故平面A'QC_L平面A'8C.

二、填空题

6.如图，在各棱长都相等的四面体P-ABC中，D,E,尸分别是A£BC,AC的中点，有下

列四个命题：①3c〃平面PDF；②平面夕。/口_平面ABC；③。口L平面PAE；④平面PAE1.

平面A8C其中正确命题的序号是_______(把所有正确命题的序号都填上).

F

B

答案①③④

解析因为。，尸分别是片氏AC的中点，所以。尸〃BC.又。Fu平面PDF,BCQ平面PDF,

所以BC〃平面尸DF,故①正确；因为E是8c的中点，所以BCJ_AE,BC_LP£因为AEG尸E

=E,AE,PEu平面PAE..配以BC_L平面外£因为BCu平面ABC,所以平面附E_L平面A8C,

故④正确；因为。尸〃8C,所以。凡L平面以E,故③正确；只有②不正确.故正确的命题为

®®®.

7.已知三棱锥。-A8C的三个侧面与底面全等，且A8=AC=小，BC=2,则二面角。-8C

-A的大小为.

答案900

解析如图，由题意知人6=人。=8。=。。=小，BC=AD=2.

取3。的中点£,连接。E,AE,

则A£_L3C,DE工BC,

所以/。£4为所求二面角的平面角.

易得AE=DE=巾,

又40=2,所以口炉+A序=4》，即/。£4=90。，即所求二面角的大小为90。.

8.如图所示，A8是圆。的直径，C是异于A,B两点的圆周上的任意一点，以垂直于圆。

所在的平面，则△以。AMC.△ABC,△P8C中，直角三角形的个数是_________二面角

B-PC-A的大小为.

答案4900

解析・・・/W是。。的直径，

・・・/ACB=90°,即BCJMC.

•••△A8C为直角三角形.

又加_L(DO所在平面，AC,AB,BC都在。O所在平面内，

，F_LAC,PAYBC,

AAMC,是直角三角形，

又以CAC=A,.•・8。_1_平面PAC.

YPCu平面阴C,：,BC工PC,

•••△PBC是直角三角形，

从而△加8,ABAC,△ABC,△P8C均为直角三角形.

由以上分析知8C_L平面PAC,从而平面P8C_L平面PAC,故二面角B~PC~A的大小为90°.

三、解答题

9.如图，四面体ABC。中，△ABC是正三角形，△AC。是直角三角形，NABD=NCBD,AB

=BD.

证明：平面ACOJ•平面ABC

证明由题设可得△A6O且△C8Q,

从而AO=CO,又△人CO为直角三角形，

所以N4QC=90。.

取AC的中点。，连接80,贝IJOOIAC,D0=A0,

又由于△48C是正三角形，故80_LAC,

所以/。08为二面角D-AC-B的平面角.

在RtAAOB中，BO1JrOAL=AB1,

又AB=BD,所以故NOO8=90。，所以平面AQC_L平

面ABC.

10.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-44G中，A8=4,AC=BC=3,D为

AB的中点.

(1)求点C与平面的距离；

⑵若ABtlAtC,求二面角At-CD-Ct的平面角的余弦喳.

解(1)由4C=8C,。为AB的中点，得CDJ_A8,又CD1A41，ABClAAi=A,AB,AAiC

平面得CD_L平面所以点。到平面4A的距离为CD=7BC2-小.

(2)如图，取。为A向的中点，连接。功，

则DD\〃M〃CC\.

又由(1)知C£>J_平面44BB1,

乂A。，OD|U平面AiA8&,故CO_LA。，CD±DD]f

又。Gu平面COG,

所以N4OU为所求的二面角Ai-CD-G的平面角.

因为CD_L平面AiABS,A3|U平面A1A881,

所以A8|_LCD,

又已知ASJ_AC,AiCOCD=CtAC,CQu平面AC。，

所以/Wi_L平面人CD,又AiOu平面4cO,故八8|_1_人|。，从而/AMS,ZAiDA都与NA/8

互余，因此N4AB|=N4iD4,

所以RtAAi/lD^RtABiAiA.

因此禁=4空，即AA彳=AD4S=8,

/I/>/1/11

得4/1=26.从而AiO="｛不不而=2小.

所以，在Rt^Ai。。中，

,.nnDDiA4m

COSNAODLAQFO-3.

故所求二面角的余弦值为坐

能力提升I

11.如图，二面角a-/-S的大小是60。,线段ABua,BEl,AB与/所成的角为30。，则48

与平面4所成的角的正弦值是

答案乎

解析如图，作AO_L夕于O,AC_L/于C,连接08,0C,则OC_L/,则NACO为二面角a

一/一/7的平面角，NA8C为/W与/所成的角.

设48与少所成的角为仇则NABO=。.

AO_ACAO_.Qno.,no_^3

由图得sin0=AB~AB'AC~S}n30，s,n60-4-

12.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面4BC。为菱形，ZDAB=60°,侧面南。为正三角形,

且平面以D_L平面A8CQ,则二面角P-BC-A的大小为.

Pl

AB

答案450

解析如图，取A。的中点M,连接PM,BM,

,/侧面办。为正三角形，

.\PM1AD,又底面A8C7)是菱形，NDAB=60。,

•••△A3。是等边三角形，

.\AD±BM,又PMABM=M,PM,8Mu平面PM8,

・・・AOJ_平面PBM.

•:BC"AD、平面P6M.

*：PB,8Mu平面PBM,

:.BC工PB,8c_L8M,・・./P8M是二面角P—8C—A的平面角.设AB=1,则8M=坐，PM

=◎

一2，

又平面力。_L平面A8c。，平面以。G平面A8CO=A£>,PM±ADtPMu平面以。，

平面A8C。，又8Wu平面A4c。，

PM

在RtZkPBM中，tanZP«Af=-^r:=l,即NP8M=45。，故二面角P-8C-A的大小为45。.

13.由四棱柱A8CQ-ABG。截去三棱锥G-SCn后得到的几何体如图所示.四边形八BCD

为正方形，。为AC与BD的交点，E为A。的中点，4E_L平面4BCD

⑴证明:AQ〃平面BiCDi；

⑵设M是。。的中点，证明：平面4EM_L平面BCG.

证明(1)取的中点。连接CO”AiOi,

由于A8CO-A4IGQI是四棱柱，

所以4