苏教版（新课标）选择性必修一 第四章 数列

苏教版（新课标）选择性必修一第四章数列

一、单选题

1.在等比数列｛5｝中，。2=2,。4=8,Qn>0,则数列｛Iog2即｝的前n项和为（）

AM〃+l）B」T）2Qn（n-l）口S+D2

2222

n

2.已知数列｛%｝满足的=1,an+1=2an+2,且数列｛an｝的前n项和Sn,若及N九则实数4的范围为（）

A.(-oo,OjB.(—co,l]C.(—co,2]D.(—8,—1]

3.已知数列｛%J满足%=0,2an+1-an-an+1=1,nEN",则。2。26=()

A202420252025r、2026

A-20HC，D-2025

20242026

4.权是中国古代度量衡器具之一，“权”（秤锤）与“衡”（秤杆）配合使用，

用于测量物体的重量.古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制

成，并H常常由十个组成一套（如图所示）.已知十枚环权的质量（单位：铢）从

•ooOOOOOQ

小到大构成项数为10的数列｛册｝，该数列的前3项成等差数列，后8项成等比

数列，且=2,。4=6,。8=96,则%+。6=（）

A.25B.24C.16D.8

5.已知数列｛出/是各项均为正数的等比数列，数列｛%｝是等差数列，且。5=生，则（）

A.叼+工/+68B.a3+a7>b4+bsC.a3+a7b4+b8D.a3+a7=+b8

6.已知数列£a,J满足3%1+1+%=4（九A1,九€N*）,且%=9,其前九项之和为Sn,则满足不等式

Fn一九一6|<击的最小整数几是1）

A.5B.6C.7D.8

7.下列命题正确的有（）个

①若数列｛即｝为等比数列，Sn为其前n项和,则S,，S8-S4,S12-S8,…成等比数列；

②若数列｛斯｝为等差数列，则｛2"｝为等比数列；

③数列｛4J满足：的+号+袋+…+^r=八+1，则0n=2/1；

④已知7；为数列的前n项积，若工+喜=1,则数列｛〃｝的前几项和％=M+2TI；

an1n

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.已知数列3J的前几项和为&且满足即+3SnSn.!=0（n>2）,二'下列命题中错误的是（）

A.｛占是等差数列B.Sn="

C.«n=一茄%D.｛S3"｝是等比数列

9.已知数列｛Q“｝满足%+2a2+3a3+…+nan=（2n-1）-3".设%=孩，为数列独“｝的前n项和.若Sn<

A（常数），nwN2n>l,贝「的最小值是（）

A3Q9「31n31

A-2B4C-i2D-18

n

10.已知前n项和为%的数列（斯｝满足%=1，8=2,anan+1=22-，，则■=（）

A.62B.63C.64D.65

11.已知数列｛即｝满足的+2a2+3a3+…+叫=(2n-1)-3n.设为=为数列｛如｝的前n项和.若

an

Sn</1(常数)，71WN且九31,则入的最小值是()

A39「31八31

A2Bn4C-12D18

12.等比数列｛册｝满足各项均为正数，=2必=6,bn=伊2n,数列｛bn｝的前n项和

71—LK,Kt/V

为〃，则0-(mWN*)的取值范围为()

12m-1

A.[2,3]B.(2,3)C.(0,3]D.(0,3)

13.已知首项为1的数列｛的｝的前几项和为%，且an+i=〈S”，数列｛%｝满足%=1。83即，则当｛瓦｝的前几项和

取最小值时，孔的值为()

A.3B.4C.5D.6

二、多选题

14.已知正项数列｛%｝的前n项和为Sn,若2的%=1+庶，a=抽2锣,数列｛g｝的前n项和为g，则下

列结论正确的是

A.｛S高是等差数列B.Qn<册+i

C.Sn<e、^TD.满足〃>3的n的最小正整数解为10

15.已知等比数列｛%｝的首项内>1,公比为q,前n项和为入，前n项积为〃，函数/0)=%(%+%)。+

a2)-(x+an),若广(0)=1,则()

A.｛IgaJ为递减等差数列B.q>1

C.｛Sn-MT为递增等比数列D.7；取得最大值时"的值是1。

16.已知数列｛的｝的首项为4，且满足2(n+l)an-nan+1=0(nEAT),则()

A.｛，｝为等比数列

B.｛%｝为递增数列

C.｛册｝的前几项和%=(n-1)-2n+1+4

D.｛券｝的前n项和〃=争

17.将小个数排成行列的一个数阵(其中nN7,ne/V*),如图：该数阵第一列的n个数从上到二构成以m为

公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数歹U(其中m>0).已知处1=2,a13=

。6】+1，记这*个数的和为S.下列结论正确的有()

41an013..............a\n

al\。22423............02n

。31a32033.............。3n

an2%3...........ann

7

A.m=3B.a67=17x3

C.=(3i-l)x3，TD.S=in(3n+l)(3n-1)

三、填空题

18.已知数列｛“｝满足：&=1,%=4"+支+…+且=31+6(几22且几€N+),等比数列｛%｝公比q=2,

jQia?anan-i

则数歹”｛葛｝的前几项和S'=.

19.已知数列5｝满足％=:，a?t+i-an=2n+l,则数歹”｛丹的前100项和S®=____.

20.已知数列｛册｝满足：Qi=l,旬+1=肃，则数歹ij｛《｝的前n项和又=.

21.已知数列｛册｝满足，Qi=l,。2=16,净枕=：,则数列｛5｝的最大项为_______.

Qn+l1

81

A.29B.210C.2石D.211

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

22.

已知数列｛斯｝满足力=1,an+i=0n+2,数列｛"｝的前几项和为Sn，且Sn=2-bn.

(1)求数列｛即｝,｛%｝的通项公式；

(2)设％=an+bnt求数列｛7｝的前n项和R.

23.

已知等比数列｛Q"的前几项和为又，且=册+i-25为止整数上

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)在每与即+］之间插入n个数，使这ri+2个数组成一个公差为%的等差数列，在数列｛“｝中是否存在3项

dk,dp(其中m,k,p成等差数歹U)成等比数列?若存在，求出这3项;若不存在，请说明理由.

24.

己知数列｛册｝的前几项和为右，且叫Sn成等差数列，

同证明数列｛即+1｝是等比数列，并求数列｛斯｝的通项公式；

国记b=210g2(l+QQ-1，若数列｛%｝中去掉数列｛册｝的项后余下的项按原顺序组成数列｛金｝，求q+C2+

…+C100的值•

25.

已知各项为正的数列｛册｝的前n项和为Sn,且对任意正整数小有Q2Q“=S2+S〃

(1)求力的值；

(2)求数列｛Qn｝的通项公式：

(3)若数列｛/Ogi。四｝的前几项和为乙，求为的最大值.

an

26.

已知数列｛斯｝的前几项和为Sn，满足为=2册-1,nGN".数列｛%｝满足泌-—(n+l)bn=n(n+1),ne

N\且瓦=1.

(1)求数列｛卅｝和｛b｝的通项公式;

(2)若。=的•何，数列｛0｝的前n项和为7；,对任意的riEN*,都有TnVziSn-a,求实数a的取值范围；

(3)是否存在正整数m,九使打，勾(鹿＞1)成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m,n,若不存在，

请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】在等比数列｛%｝中,。2=2,。4=8,an>0,则数列。。g2On｝的前n项和为学也,故选：C.

2.【答案】B

n

【解析】数列｛an｝满足的=1,%+】=2斯+2，且数列｛%｝的前n项和土.若SnN九则实数/I的范围为

（一El］。故选B.

3.【答案】C

【解析】解：已知数列｛斯｝满足组=0,20n+i-0n•每+1=1，

an+l-1斯-1

即数歹MU，｝是以一1为首项，-1为公差的等差数列，

即」=一n，

Q”-l

即/=1-；，

即。2。26=1-康=徽・故选：C.

4.【答案】A

【解析】因为十枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为10的数列｛。"，该数列的前3项成等差数列,

后8项成等比数列，且&=2,。4=6,他=96,

设｛即｝的后8项成等比数列的公比为q，

则96=6q3解得q=2（-2舍去）,

所以。3=詈=3,。6=q2a4=24.

又因为｛小｝的前3项成等差数列，所以g-g=的一%，

解得%=1，所以%+。6=25.

故选:A.

5.【答案】B

n-14

【解析】an=a1（/,bn=仇+（n—l）d,a5=b6,:，a^=d+5d,

%+劭=%qZ+a1q6,n+%=2(b]+5d)=2b6=2a5

264222

a3¥a7—2a5=«i<?+a^—2aiq=aAq(q—l)>0

所以由+a7>b4+为故选B.

6.【答案】C

【解析】对30n+i+an=4变形得3(0n+i-1)=-(an-1),

又因为的-1HO,所以皿U=

的T3

所以数列｛an-1｝是首项为8.公比为一々的等比数列.

/[\八一1

所以册—1=8X-J,

/-I\n-1

所以Q"=8X(--J+1.

/

6-6X/-71+n

所以又\|

所以|Sn—n—6|=k6x(—J|v*，解得最小的正整数n=7.故选C.

7.【答案】B

【解析】对于①:设等比数列｛%J的公比为q，

若q=-l，则S2n=韦驴=。，

可得S2n=韦驴=0，

则S4—0»s4n+4-S4n—0»

故S4,S8-S4,S12-S8…不是等比数列，①错误；

对干②，设等差数列｛册｝公差为乙则册+i-册=乙

则务=2厮+「即=2日是个常数，所以｛2%｝为等比数列，故②正确；

对于③，依题意，Qi=2,它不满足斯=2n-\③错误；

对干④，；+京=1，当n=1时，QI=T「即/+怖•="!，解得A=3.

当於N2时，M=J于是午」+尚=1,即心一7几-1=2,

数列｛图｝是首项为3,公差为2的等差数列，

所以数歹iJ｛Tn｝的前〃项和Sn=3〃+笔3・2=层+2九，④正确.故选：B.

8.【答案】C

【解析】当九>2时，an=Sn-Sn-i，

,,,4+3Sn5n-l=。，即Sn—Sy1T+3SnSn-i=0»

S1H0,等式两边同时除以SnSri得

J---T-+3=0,即—T——=3,

因此，数列《■｝是等差数列；

由G1=如，数列｛总是以止=3为首项，以3为公差的等差数列，

己=3+3(n-1)=3几，则=总

On+3SnSn-i=0(n>2),得

111

Q，=-3SnSn_1=-3x-x福f=-拓f

由二^不适合即二一彳%.

.G，n=i

综上所述，Qn=1.

V3n(n-l),n>2

因为数列｛2｝是以［=3为首项，以3为公差的等差数列，

s］

所以又=；.所以铲=号巴=］所以百3司是等比数列：故选C

33x3n

9.【答案】C

【解析］因为&+2a2+3。3+…+=(2n—1),3n①，

所以当九二2时，有%+2a2+3a3+…+(九—l)an-i=(2n-3)•3〃T②.

由①一②得九%=4n-3n-1,即时=4•3nt.

当71=1时，%=304,所以即=41n3="11九>2'%=(w八，九=1、•/

,>n-L赤T，71>2

则&="|+*+…+券=3+条+|+总+…+券③，

衿=2+"+热+K+…+玄④,

③一④得,能号+今+3+a+条+…+/一费=£+m一式，

所以S.咻-震〈台

因为与V2(常数)，n6NjSn>1,所以入的最小值是言故选C.

10.【答案】D

1

Olt>-I

ccc~n—1

【解析】由—，。2〃+1_。2八。2八+1_/_4

，«2n-l-々2“一1°2“.24n-3"

可知数列｛Q，｝的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列.

产一加为奇数有】

可知a〃="―田为偶数

”212

2=工^=1+26=65.故选D.

561-26

1-2

11.【答案】C

【解析】因为由+2a2+3a3+•••+nan=(2n-1)•3"①,

所以当n>2时，有小+2a2+3a3+…+(八-l)an-i=(2n-3)-3时】②.

n-1n-1

由①一②得?ian=4n-3,即时=4•3.

(41

3,71=1§,n=l

当兀=1时，%=3H4,所以a?1=n1,

4.3-,n>2"〃=言”2

则5n=g+,+l+…+券=4+看+|+1+…+券③,

枭=2+3+1+最+…+击④,

③一④得，翱号+*+提+…++一京=|+苔一热

所以又姿-若4・

因为又<a（常数），ncMa^i,所以;i的最小值是瑞•故选c.

12.【答案】A

【解析】等比数列［｝满足各项均为正数，a2=2必=6,b=匕6二,数列闻）的前几项

Q/3几—ZAC,K亡/V

和为〃，则m叽（mEN*）的取值范围为［2,3］。故选A.

12m-l

13.【答案】C

【解析】由册+1=1s„,得〃>2时，册=：%—1，两式作差得与+1-O-n=|an=an+l=^an^又=1,。2=

JJDA

»I-2

(l,n=144n-l

n，bn10g

所以由?=g)-2n>2=3产，％+l=10g3—,

所以瓦=0,当nN2时，bn+1-bn=log3^>0,所以当九N2时，｛g｝递增，

又瓦=0也<b3<b4<b5<0而6>0，所以九=5时，｛b｝的前n项和取最小值,

故选C.

14.【答案】ACD

【解析】因为2%Sn=1+Q1

当八=1时，2a1S1=14-al，

乂5月是正项数列｛册)的前几项和，解得Si=%=1,

当”N2时，an=sn-sn.lt即2(Sn-Sn_i)Sn=l+(Sn-Sn_i)2,整理得凫-SM1=1,

所以数列｛Sa是首项为贷=1,公差为1的等差数列，

则黑=l+(n—l)xl=n,

又正项数列册的前n项和为右，所以又=/五，故A正确;

当">2时，an=Sn-Sn_i=y[n-Vn-1,

当n=1.时，%=1满足。篦=y/~n-y/n-1,

所以斯=衣_忻1=舄言,

a…百m一仃:舄F

因为y/71+1+>y[~n+VH—1♦

所以忌赤〈不看,即册+…即，故A错误；

要证外We擀T,由又=仃，即证令X=G—1(XNO),

原不等式即为e">x+l(x>0),即证e"-x-1>0(x>0),

令/(%)=e*-x-l(xZ0),所以/■'(%)=e*-1,

当xNO时，/一INO恒成立，所以/'(x)在[0,+8)单调递增，

则当％之0时，/(%)>/(0)=0,即婚一工一1之0成立，所以工工小膝一1成立，故C正确;

因为%=G，所以Sn+2=Vn+2,

则bn=10g2^=log2^^=log2(^)i=1log2^=1[log2(n+2)—log2n],

当九=1时，G=瓦=log2c<1<3,故n=1时不等式不成立；

当九>2时，〃=瓦+力2+匕3+……+bn-1+bn

1

=2[唾23-iog2l+log24-log22+log25-log23+••：..+log2(n4-l)-log2(n-1)+log2s+2)

-Iog2n]

=2[—1+log2(九+1)+log2(n+2)]

=：｛-1+logz[(n+1)(几+2)]｝，

因为心之3，即;｛-l+logz[5+l)(〃+2)]｝\3,化简整理得：n2+3n-126>0,

当九=9时，92+3X9-126=-18<0,

当?2=10时，IO2+3x10-126=4>0,

综上得满足3的九的最小正整数解为10,故。正确.

故选ACZX

15.【答案】AC

【解析】由求导法则:f'(x)=(X+%)(%+。2)…(X+%1)+X•[(X4-%)(%+。2)…(%+。11)「所以r(0)=

axa2…=研iq55=1»

所以％=去，由%>1得。<q5V1得。<q<1.

Alg0n=lg(%qnT)=Iga1+(n-l)lgq,nGN*,

故数列｛lg%｝为首项为]g%公差为Igq的等差数列，又0<q<1,

所以lgq<0,故数列｛lgQ,J为递减的等差数列，故选项4正确；

%由0<qVI知选项B错误；

C.曰5“一言二哗/一言=言•q"知数列｛s“一£｝为等比数列，

由言<0及ovqVI知数列｛Sn-言｝递增，故选项C正确；

。.易知数列｛册｝各项为正且单调递减，由…=1得。6=1，

故数列｛时｝前5项大于1,第6项等于1,从第7项开始小于1,

故加取最大值时九的值为5或6,故选项。错误.

故选AC.

16.【答案】ABD

【解析】由2(n+l)an-nan+1=0(neN*)得鬻^=2x*

所以｛甘｝是以?=%=4为首项，2为公比的等比数列，故人正确，

因为孽=4x2n-i=2"1,所以每=展2计1,显然递增，故。正确；

设多=1x22+2x23+3x2,+…+nx2n+1,

所以2Sn=lx23+2x24+-+(n-1)2"+】+nx2n+2,

两式相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-nx2n+2=曳哥-nx2n+2,

所以=(n-1)x2n+2+4,C不正确；

因为，d为=半丁=n,故｛建r｝的前几项和Tn==岑‘，。正确；

故选ABD.

17.【答案】ACD

【解析】选项A:由题意，该数阵第一列的几个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行口勺几个数从左

到右构成以m为公比的等比数列，且°”二2,a”-41*1，

可得知才=2才，aM=all+5rf=2+5m,所以2M?=2+5/w+l，

解得m=3或m=-：(舍去)，所以选项A是正确的；

选项8：又由(2+5x3)x3*I7x3\所以选项B不正确；

选项C:又由叼=a^m^1=[tin+(i-1)xTH]xm7-1

=[2+(i-1)x3]x3)T=(3i-1)x3人],所以选项。是正确的;

选项。:又由这，个数的和为S,

则5=(«n+a12+…+aln)+(a21+a22+…+a2n)+…+(ani+即2+…+«nn)

1-31-31-3

n(2+3”-1加

22

=1I),所以选项。是正确的.

4

故答案选4C7).

18.【答案】(2九一3)・2计】+6

【解析】因为%=1,a2=p竺+丝+…+如=皿+6(九22且n£N+),①

当n=2时,兴■+'=：+6,即瓦+3与=4+6,

由等比数列｛g｝的公比为q=2,

即瓦+6瓦=4bl+6,解得瓦=2,

n

所以bn=2,

当於=3时，5+”+力="+6,即2+3x4+g=3x16+6,

a

Qla2。3。23

解得

又打+丝+...+=二4+6(九23,且〃WN+),②

«1«2即-1«n-2'-

①一②可得，^=^±1_22_,

即二二空一2L,化为工+」_=二_,

“n。〃-1。〃-2。八-2Q〃-1

又…=6=2,

«1。3a2

所以f；］为等差数列，且公差d=L—工=2,

la；Ja2a1

则止=^-+2(n-l)=2n-l,

所以皿=(2n—l),2%

%

23n

Sn=1-24-3•2+5•2+-+(2n-1)-2,

2%=1・2?+3•23+5•24+…+(2n-1)-2n+1,

71n+1

上面两式相减可得一Sn=2+2(22+23+…+2)-(2n-1).2

=2+2-4(1二二)-(2n-1)-2n+1,

所以Sn=(2n-3)-2n+1+6.

故答案为：(2n-3)-2n+1+6.

19.【答案】端

(解析】•••an+i-an=2n+1,：.n>2时，-QN-I=2n-1.

册=(°n-Q/i-l)+…+(“2-cl)+al

3

=(2〃-1)+…+(2x2-1)+4

=，2_(,(n>2)

当九=1时臼=，也满足上式，

•••0n=公一%(„6N*)

吟=舟=2+一由,”N)

•・•数歹。唁;｝的前几项和Sm=2[(1-^+(|-1)+-+(2^-焉)]

1

=2(1-271+1)

4n

所以数列｛2｝的前100项和&。。=蒜=黑，

14^2JUUT，<4>U1

故答案为：黑

20.【答案】2n+1-2-n

【解析】由g+1=怎，得"=宇=1+：,

斯+2an-ianan

所以1+工=2+2=2(1+2)，

4t+l即an

又为=1,所以1+2=2,

所以数列｛1+2｝是以2为首项，2为公比的等比数歹U，

an

所以1+"=(1+A-)qn-i=2x2n-1=2n,

所%=2”-1,

因此％W+T?(2】+22+…—n==2…—2f

故答案为：2*1-2-九.

21.【答案】2】。

【解析】因为呼拄二：,所以皿=；x皿；

a„+l2Q"12an

/1\n-1

n5n

因为%=lfa2=16,所以肝=16x(-)=2-；

-n2+lln-10

6n43

丝=2:丝=23,…,，s-=2~,以上各式相乘可得>=2x2xx267=24+3+-+6-n=2------2------

ala2an-lal

-M+iin-io

所以册=22,nwN”,由于y=—滔+llzi—10有最大值20,

所以即的最大值为21。.

故答案为21。.

22.【答案】解：（1）由题知，的=1,0n+i-0n=2,

所以数列｛4J是首项为1，公差为2的等差数列，

所以册=l+（n-l）x2=2n—1,

又当n=1时,瓦=Si=2一瓦，

所以九=1,

当九》2时，Sn=2-bn®,

Sn—i=2-b-i②，

_

由①②得，bn=-bn+心-1，

畔H（"2）,

所以数列仍〃｝是首项为1,公比为;的等比数列，

故儿=（旷\

Z1\〃一1

（2）由（1）知，cn=an+bn=2n-1+,

利用分组求和可得，

Tn=^|^+粤32-(广

23•【解析】⑴由国=。n+1-2得:

Sn-i=an-2(n>2),两式相减得:

an+l=2Q,I(71>2)»

所以，等比数列｛a〃｝的公比为2,

又因为+2=2%,所以%=2,

所以数列｛Q〃｝的通项公式为册=2n

nn+1

(2)由(1)得：an=2,an+1=2

所以即+i=an+(n+l)d〃,

所以时=方

假设在数列｛%｝中存在3项dm，盛，dp（其中m,k,p成等差数列）成等比数列,

22k7m7p

则以=d♦d,即----7=FT•FT，

mpP（/c+1）2m+1p+1

因为TH,k,p成等差数列，所以2k=m+p,

所以(k+I)2=(p+l)(7n+1),BR/c2=mp,

由仁广四1得：忆=m=P与己知矛盾，

所以在数列｛4｝中不存在3项dm，四，dp(其中m,k,p成等差数歹U)成等比数歹U.

24.【解析】(1)因为九,“，5九成等差数列,

所以%+九=2M，①

所以S〃_i+n-1=2an_i(〃>2)②

由①一②，得册十1=2an—2Q“_I，

所以“+1=2(an_]+l)(n>2),

又当ri=1时,S1+1=2%,

所以%=1,所以%+1=2,

故数列｛an+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以斯+1=2,2吁1=2匕

即5=2n-1；

n

(2)据(1)求解知，bn=210g2。+2-l)-l=2n-l,仇=1,

所以8n+l-bn=2,

所以数列｛b｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

乂因为臼=1,“2=3,。3=7,。4=15,a5=31,

。6=63,a7=127,a8=255,o64=127,blQ6=211,bl07=213,

所以Q+c2+…+c100

=(瓦+b2+…+=07)-(%+a2+—+a7