苏教版高中数学必修第二册试题-第1课时 直线与平面平行

13.2.3直线与平面的位置关系

第1课时直线与平面平行

学习指导核心素养

1.理解直线与平面平行的定义，会用图形语后、文字语后、

符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线

直观想象、逻辑推

与平面平行的判定定理证明一叱空间线面位置关系.

理：直线与平面平

2.理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的

行的判定与性质.

条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行

问题.

【研读导学尝试1

1.直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直

文字语言

线与此平面平行

符号语言aQa,〃ua,且a

—2

图形语言b__/

・微思考

1.一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面一定平行吗？

提示：不一定，该直线也可能在平面内.

2.利用该定理证明直线与平面平行，需要具备哪几个条件？

提示：用该定理判断直线。和平面a平行时，必须同时具备三个条件：

①直线。在平面”外，即Ha.

②直线/?在平面a内，即

③两直线〃，〃平行，即

2.直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，

文字语言

那么该直线与交线酝

符号语言a//a,aCB=bna//b

图形语言

/b/7

管彼点拨：

(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个

①直线。与平面a平行，即。〃a；

②平面a,4相交于一条直线，即aCl/?=Z?；

③直线。在平面夕内，即。u£.

以上三个条件缺一不可.

⑵定理的作用

①线面平行=线线平行；

②画一条直线与已知直线平行.

(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平

行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化

与化归的思想.

舞：债嘘习：

1,判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()

⑵若直线I上有两点到平面口的距离相等，贝IJ/〃平面a.()

⑶若直线I与平面a平行，贝I"与平面a内的任意一条直线平行.()

(4)若直线〃〃平面4则直线〃与平面a内任意一条直线都无公共点.()

答案：⑴X(2)X⑶X(4)7

2.能保证直线。与平面Q平行的条件是()

A.bua、a//b

B.bua、c//a,a//b,a//c

C.bua,A,BEa,C,DEb,^.AC//BD

D.aQa,bua、a//b

答案:D

3.如图，在三棱锥S-ABC中，E,尸分别是SB,5C上的点，且)〃平面4BC,

则()

A

R

A.EF与BC相交

B.EF//BC

C.EF与RC异面

D.以上均有可能

解析：选B.因为平面SBCn平面ABC=BC,又因为EF//平面A8C,所以EF//BC.

4.已知直线。〃平面a,。〃平面夕，aCQ=b、则4与仇)

A.相交B.平行

C.异面D.共面或异面

解析：选B.因为直线a//f^所以在平面a,夕中必分别有一直线平行于

a,不妨设为〃7,n,所以a//n,所以〃7〃〃.又a,4相交，在平面。内，

〃在平面夕内，所以"2〃夕，所以相〃“所以

5.已知/,〃，是两条直线，。是平面，若要得到，则需要在条件“出ua,

l//nf中另外添加的一个条件是________.

解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“应"'.

答案：Ida

量」讲练互动

【解T探彘―突破「

探究点1直线与平面平行的判定

朗TT1如图，在正方体出中，E,F,G分别是8cCCi,33的中

点，求证：所〃平面ADiG.

［证明】连接8G,则由£产分别是8C,CG的中点，知所〃8cl.

又ABZAIBISOIC,所以四边形ABC\D\是平行四边形，

所以BCI〃4OI,所以ER〃ADi.

又七;飞平面AQiG,AQiu平面AUG,所以所〃平面AQiG.

回国感国

应用判定定理证明线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：

⑴空间直线平行关系的传递性法；

(2)三角形中位线法；

⑶平行四边形法；

(4)成比例线段法.

［提醒］线面平行判定定理应用的误区

(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”.

⑵不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.

跟踪训练;

1.如图，下列正三棱柱囱。中，若M,N,尸分别为其所在棱的中点,

则不能得出48〃平面MNP的是()

解析：选C.在图A,B中，易知A3〃43i〃MN,MM=平面MNP,ABQ平面

MNP、所以AB〃平面MNP;在图D中，易知48〃PN,PNu平面MNP,ABd

平面MNP,所以AB〃平面MNP.

2.已知有公共边A8的两个全等的矩形48co和43EF不同在一个平面内，P,

。分别是对角线AE,8。上的点，且A尸二。0.求证：尸。〃平面CBE.

证明：如图，作PM//AB交BE于点M,作QN〃AB交BC于点N、连接MN,

则PM//QN,

PM=EPQN=毁

=EA'CD=BD-

因为B4=8D,AP=DQ,所以E尸=BQ.

又因为A8=co,所以PMZQN,

所以四边形PMNQ是平行四边形,

所以PQ//MN.

又因为PQC平面CBE,MNu平面CBE,

所以PQ〃平面CBE.

探究点2线面平行性质定理的应用

丽如图，尸是平行四边形ABC。所在平面外的一点，M是PC的中点，在

DM上取一点G,过点G和AP作平面，交平面BDM于G”.求证：AP//GH.

【证明］如图，连接AC,交8。于点0,连接M0.

因为四边形A8CO是平行四边形,

所以点。是AC的中点.

又因为点M是PC的中点,

所以AP〃OM.

又因为AR平面BDM,OMu平面BDM,

所以AP〃平面BDM.

因为平面出HGn平面3OM=G”，

APu平面心”G,即以AP//GH.

利用；赢乏，良谆荻二屋看我,后H二不乖亩

面

线5

行

平

活惠(/事宜区豆彖电显一且与夏不承百而

性

的5

:交的平面

定

质

解

理%良美陵

的

题*

骤

步、猛艮窟蓍山落至

跟踪训练;如图，在四棱锥P-A8CQ中，底面A8CO为菱形，£BAD=6O°,

。为AQ的中点，点M在侧楼PC卜目PM=/PC若布〃平面MQB试确定实

数，的值.

解：如图，连接8。AC,AC交8。于点N,交8。于点O,连接MN,易知0

为BD的中点、.

因为BQ,A。分别为正三角形A3。的边AZ),8。上的中线,

所以N为正三角形ABD的中心.

设菱形ABC。的边长为。，则47=半〃，AC=A/3a.

J

因为以〃平面MQB,%u平面以G平面以cn平面MQ8=MN,

所以PA//MN.

PM=AN_3-

所以=

~PCAC=而3'

I

-PC

3所以实数t的值为q.

探究点3直线与平面平行的综合应用

倒⑶如图所示，已知四边形ABCQ为梯形，AB//CDtCD=2AB,M为线段

PC上一点.

(1)设平面如80平面。。。=/,证明：A8〃/；

⑵在棱尸C上是否存在点加，使得附〃平面MBD,若存在，请确定点M的位

置；若不存在，请说明理由.

【解】(1)证明：因为A8〃CQ,ABQ平面PCD,CQu平面尸CO,

所以AB〃平面PC。又因为平面BABCI平面POC=/,且平面以8,

所以AB〃L

PM1

(2)存在点M,使得玄〃平面M8O,此时诉=7.

iVlCj

证明如下：连接AC交8。于点0,连接M0.

AftAn

因为A8〃C。，且CZ)=2AB,所以不=斤=彳.

PM1

又因为祝=21Pcnac=c,

所以PA//MO,因为月4。平面MBD,MOu平面MBD,

所以B4〃平面MBD.

回国国居

证明直线与平面平行的实质是证明直线与直线平行，将线线平行转化为线面平

行；而证明直线与平面平行的性质定理的实质是将线面平行转化为线线平行；实

现了线线平行与线面平行的相互转化.

逐那川练如图所示，户为平行四边形A8C。所在平面外一点，M,N分别为

AByPC的中点，平面以。G平面PBC=/.

⑴求证：BC//1；

⑵MN与平面出。是否平行？试证明你的结论.

解：（1）证明：因为8C〃AO,AOu平面出£）,

B。。平面必。，所以BC〃平面以D

又平面小。n平面PBC=l,3Cu平面PBC,所以BC//1.

（2）MN〃平面BAD证明如下:

如图所示，取尸。中点E,连接AE,EN.

又因为N为PC的中点，所以EN眼CD.

又因为AM4TCD、

所以AMZEN,

即四边形AMNE为平行四边形.

所以AE〃MN,又MW平面玄。AEu平面RW,

所以MN〃平面PAD.

自因国▼当堂达标

F证反馈达标］

1.已知人是平面a外的一条直线，下列条件中，可得出b〃。的是（）

A.〃与a内的一条直线不相交

B.b与a内的两条直线不相交

C.b与。内的无数条直线不相交

D.b与a内的所有直线不相交

解析：选D.若。与。内的所有直线不相交，即。与a无公共点，故。〃a.

2.给出下列命题：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；

②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；

③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1

C.2D,3

解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直

线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错.

3.在三棱台中，直线4B与平面4当。的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.在平面内D.不确定

解析：选B.在三棱台中，AB//A\B\,ABQ平面AiBiu平面

AIBICI,所以A3〃平面AiBCi.

4.已知平面a,夕，7,_a«A^=/,yC\p=niyyDa=ntl//m,试判断直线/,m,

〃的位置关系，并说明你的理由.

解：三条直线I,in,n相互平行，证明如下.如图，因为l//rn,may,IQ-y,所

以

又/ua,ar\y=n,所以/〃几

又/〃机，所以"2〃〃，

即直线/,〃2,〃相互平行.

应用昌▼巩固提升

［强化—litF通惠厂

［A基础达标］

1.下列选项中，一定能得出直线团与平面。平行的是（）

A.直线m在平面a外

B.直线〃?与平面。底的两条直线平行

C.平面«外的直线m与平面内的一条直线平行

D.直线m与平面a内的一条直线平行

解析：选C.选项A不符合题意，因为直线〃z在平面〃外也包括直线与平面相

交：选项B与D不符合题意，因为缺少条件相而：选项C中，由直线与平面平

行的判定定理，知直线〃？与平面a平行，故选项C符合题意.

2.如图，已知S为四边形A3CO外一点，G,"分别为S3,3。上的点，若GH〃

平面SCD,贝IJ（）

A.GH//SA

B.GH//SD

C.GH//SC

D.以上均有可能

解析：选B.因为G”〃平面SC。GHu平面SBD,平面S3OC平面SCO=S。

所以GH〃SO,显然GH与S4,SC均不平行，故选B.

3.（多选）在梯形A8CZ）中，AB//CD,平面aCZX平面见则直线C。与

平面。内的直线的位置关系只能是（）

A.平行B.异面

C.相交D.共面

解析：选AB.因为4B〃CD43u平面a,CDQ平面见所以C。〃平面区所

以直线CZ）与平面a内的直线没有公共点，直线CD与平面a内的直线的位置关

系可能平行，也可能异面，故选AB.

4.（多选）如图所示，尸为矩形A8CQ所在平面外一点，矩形对角线的交点为O,

M为P8的中点，给出以下结论，其中正确的是（）

M

DC

A.OM//PDB.平面PCD

C.OM〃平面PDAD.OM〃平面PBA

解析：选ABC.由题意知，OM是△8P。的中位浅，所以OM〃尸。，故A正确；

PDu平面PCD,OM。平面PCO,所以OM〃平面PCD,故B正确；同理，可得

OM〃平面PDA,故C正确；OM与平面084相交，故D不正确.故选ABC.

5.若直线/〃平面。，则过/作一组平面与a相交，记所得的交线分别为"

c,…，那么这些交线的位置关系为()

A.都平行

B,都相交且一定交于同一点

C,都相交但不一定交于同一点

D,都平行或交于同一点

解析：选A.因为直线/〃平面氏所以根据直线与平面平行的性质知/〃/

l//c,所以4〃/?〃。〃…，故选A.

6.如图，在长方体ABCD-Ab。。的六个面所在的平面中.

(1)与AB平行的平面是_________；

(2)与AA平行的平面是_________；

⑶与AD平行的平面是_________.

解析：(1)由于ABQ平面A'B'CQ',48u平面48'。'。，所以A8〃平

面A夕同理证得48〃平面DCCD1.

(2)由于44〃5夕，A4在平面BCCB1BB'u平面BCCB',所以4V〃平面5CC5.

同理证得AA'〃平面DCCD：

(3)由于AD//A,D,,AZX平面A'8'C。,AO'u平面A8'。'。'，所以AO〃平面AbC'D'.

同理证得A力〃平面BCC'B'.

答案：(1)平面AEC77,平面。CC77(2)平面BCC9，平面。CCO(3)平面

A'B'CD'、平面8CC9

7.如图，在正方体ABC。-48cl6中，A8=2,点£为4。的中点，点尸在C。

上.若石/〃平面ABC,则线段EF的长度等于.

解析：因为在正方体ABCQ-AIBICQI中，AB=2,所以AC=2地."E为AD的

中点，EF//平面AB\C,EFu平面ADC,平面ADCn平面48C=AC,所以EF//AC,

所以歹为。。的中点，

所以△户AC=y[2.

答案：啦

8.在直三棱柱A8CA血。中，。为AAi的中点，点尸在侧面8CGB上运动,

当点尸满足条件时，4P〃平面BCD.(答案不唯一，填一个满足

题意的条件即可)

解析：取CC的中点P,连接4P,

因为在直三棱柱/WCA13Q中，。为AAi的中点，点P在侧面上运动,

所以当点尸满足条件尸是CG的中点时，A\P//CD,因为4闪平面BCD,CDu

平面3C。所以当点P满足条件P是棱CC的中点时，AiP〃平面BCD

答案：。是CG的中点

9.在如图所示的几何体中，四边形ABC。为平行四边形，乙ACB=90。，EF//

AB,FG//BC,EG//AC,AB=2EF,M是线段AD的中点，求证：GM〃平面

ABFE.

证明：因为FG//RC,EG//AC,

N4C8=90。，所以△4BCS/\E/7G,NEGF=90。,由于AB=2EF,因此BC=

2bG.如图，连接AF,

由于fG〃8C,FG=|BC,在口A8CO中，M是线段A。的中点，则AM〃8C,

且BC,

因此bG〃/AM且/G=AM,

所以四边形AR7M为平行四边形，因此GM〃雨.

又EAu平面ABbE,GMQ平面48户£

所以GM〃平面45FE.

10.如图，在四棱锥P/BCQ中，底面ABCO为梯形，AB//CD,AB=4,CD=2,

点M在棱PO上.

(1)求证：。。〃平面PAB；

(2)若PB〃平面MAC,求悠的值.

解：(1)证明：因为CD；/AB、CZXJ平面PAB,A8u平面附3，所以CO〃平面PAB.

⑵连接8。交AC于O,连接OM,

因为PB〃平面MAC,且PBu平面PBD,平面尸BOD平面MAC=MOt所以

PB//MO,所以△OOMS2XOBP,所以悠=卷,

因为C£）〃48,易得△CO£）s/\AO3,则器=然=2,因此蒋/=2.

fB能力提升］

11.如图，在长方体A8CO-48G"中，E,尸分别是棱A41和88的中点，过

EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.平行或异面

解析：选A.在长方体A8CQ-A出GU中，因为£,尸分别为AAi,

3囱的中点，所以4E43f所以四边形ABFE为平行四边形，所以石尸〃A瓦

因为ER：平面ABC。，ABu平面ABC7）,所以E产〃平面ABCD,

因为EFu平面EFGH,平面EFGHC平面ABCD=GH,所以EF//GH,

又E/〃AB,所以GH〃A8,故选A.

12.（多选）在空间四边形A3CO中，E,F,G,〃分别是A3,BC,CD,D4上

的点，当80〃平面EFG”时，下面结论正确的是（）

A.E,F,G,"一定是各边的中点

B.G,“一定是CD,D4的中点

C.AE：EB=AH：HD,且BF：FC=DG：GC

D.四边形E9G”是平行四边形或梯形

解析：选CD.由BD〃平面EFGH,所以由线面平行的性质