数列选填常考题型归纳（题型专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题05数列选填常考题型归纳

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

U1典例引领臼方法透视臼变式演练

【选填题破译】

题型01等差数列、等比数列

题型02等差、等比数列的性质

题型03求数列的通项公式

题型04数列与函数的关系

题型05数列应用题

第二部分综合I凡固整合应用，模拟实战

题型01等差数列、等比数列

舞的和发

【例1・1】在正项等比数列｛〃"｝中，44=64,且%,牛，10成等差数列，则%的值为（）

8132

A.—B.—C.18D.24

29

【答案】C

【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可.

【详解】在正项等比数列｛4｝中，设公比为4国＞。，

则*=4%=64,「.叼=8,又外,甘，10成等差数列，

则学=%+10=18」/O=27,则43=①=?,，9='，

3a7（sz

故的=①=18,

q

故选：c

【例1・2](25-26高三上•湖北•月考)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且几=120,等比数列他｝的首

项为1，若4="，则1°8，为侬的值为_________.

2

【答案】-2024

【分析】根据等差数列的前，，项和公式，等差数列卜.标和的性质可得q=8,利用等比数列的通项公式结合

6="求出公比，继而可得/25,再根据对数运算即可求解.

【详解】设数列低｝的公比为人

由九=120可得S1s=曳生匈=15%=120,所以4=8,

故/=a=8=&/,则,/=2,

故log"%”=log，^，^2024=log,22024=-2024,

222

故答案为：-2024.

方收电视

1.等差数列的通项公式

(1)等差数列的通项公式

如果等差数列｛”“｝的首项为q,公差为d,那么它的通项公式是q=q+(〃-1M.

(2)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(rbtnwN").

2.等比数列的通项公式

(1)等比数列的通项公式

设等比数列｛为｝的首项为％,公比为虱夕工0),则它的通项公式=

q

(2)等比数列的通项公式推广形式：

【变式1・1】(2025・湖北•模拟预测)正项等比数列｛q｝的前〃项和为S"，$2=4,54=40,则%=()

A.6B.9C.8D.11

【答案】B

【分析】由等比数列求和公式求得4,进而可求解.

【详解】设等比数列的公比为夕国>0,

则S2=a｝+a2=4,S4=o)+a2+(4+叼)<7?=4()

即4+4g'=40,解得：4=3,

又4+死=4,

解得4=1，

则的=*=9,

故选：B

【变式1・2】（2025•江苏・模拟预测）（多选）记等差数列｛q｝的前〃项和为5.，公差为乩若54=火+7,%+1=2〃4,

则（）

A.d=2B.4,%,小成等比数列

C.S“没有最小值D.52d+1=（2/?+lX,+1

【答案】ABD

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d,根据题意，列出方程组，求得4=3,4=2,得到勺=2〃+1,结合等

比数列的定义，等差数列的性质及求和公式，逐项分析判断，即可求解.

【详解】对于A,设等差数列｛4｝的公差为"，因为邑=6+7,4+l=2q,

可得｛\'z二八，解得4二3/二2,所以A正确；

14+74+1=2（4+34）1

对于B,数列｛凡｝的通项公式为外=3+（〃-1»2=2〃+1,

可得％=3,%=9,%=27,则满足裙="小，所以%，%，%成等比数列，所以B正确；

对于C,由等差数列的前〃项和公式，可得5〃=/町+*=Dx2=〃2+2〃,,?eN,,

所以当〃=1时，S”取得最小值3,所以C不正确；

对于D,由等差数列的性质，可得2。向=4+%用，

则“用=（2〃+1）（;+5）=⑵?+1双+1,所以D正确.

故选：ABD.

【变式1・3］（25-26高三上•黑龙江•月考）（多选）设首项为1的数列｛叫前〃项和为S”，已知5,“=2S,,+〃-l,

则下列结论正确的是（）

A.数列｛Sn+〃｝为等比数列B.数列｛a,,｝的前〃项和S”=2"-〃

n

C.数列｛an｝的通项公式为4=2-'-lD.数列｛a„+1｝不是等比数列

【答案】ABD

【分析】条件可化为5用+5+1）=2（*+〃），结合等比数列定义可判断A正确，由A可求得｛SJ的通项公

式判断B,由｛，｝的通项公式可求得｛4｝的通项公式判断C,利用特殊值可判断D.

【详解】•・・S.x=2S“+〃f.•.ST+(〃+1)=2(S.+〃)，

又，+1=4+1=2/0,，数列｛£+〃｝是首项公比都为2的等比数歹1],故选项A正确;

nn

由A知，Sn+n=2x2~'=2：$="〃,故B选项正确；

/,_|

又因为5“=2"-〃，当〃之2,an=Sn-Sn_t=2-1,当〃=1,片=1,

1,//=1

'T]>o,故选项C错误;

7:；〃：1/=月工芸=1,所以数列｛勺+1｝不是等比数列,故选项D正确.

•.q+l=«

2q+1Z生+1乙

故选：ABD

题型02等差、等比数列的性质

舞的和发

【例2・1】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261.则此数列

的项数为()

A.10B.19C.21D.29

【答案】B

【分析】设项数为2〃-1,则〃”=S奇-S隅=29,再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简

S2i=S奇+S偶=551=(2〃-1)%,然后计算可得.

【详解】设项数为2〃-1,

则％=S奇-S怏=29,

S2"T=S胥+S^=551=(2〃-1”“=2〃-1=*=19-

此数列共有19项.

故选：B

【例2・2](25-26高三上•江苏盐城•期中)设等比数列｛《,｝的前〃项和为S.，若公比2,贝]

SQ-S(,二

邑-----------

【答案】64

【分析】利用等比数列的性质求解即可.

【详解】由等比数列的性质得丛言=4_+3_+4二竺6+q2d+幺/=/，=巳.

aa+a+a

S3q++3\23

故答案为：64.

方收电视

1.等差中项

（1）若三个数a,A,〃成等差数列，则A叫做〃与力的等差中项，且有4="卫.

2

（2）在等差数列伍“｝中，当〃7+〃=〃+"时，=与+4（〃］，n,p,qeN'）.

特别地，若〃z+〃=2/,则〃,”+〃“=2q（〃?，〃，7€N*）.

2.等差数列的前n项和

（1）设等差数列｛”,｝的公差为d，其前〃项和S”=/9+若»d="（♦；”〃）.

（2），=旨/+（%_多〃.数列｛q｝是等差数列="=4〃2+加（44为常数）.

（3）S“，S2n-S0,%—$2“，…也成等差数列，公差为n'd.

3.等比中项

（1）等比中项；如果“，G,5成等比数列，那么G叫做“与％的等比中项.

即G是“与方的等比中项=〃，G,b成等比数列=G2=M.

2

（2）等比中项的推广：若加+〃=〃+“时，则4£二册与，特别地，当〃?+〃=2〃时，aman=ap.

4.等比数列的前n项和

（1）等比数列的前〃项和公式

〃4（9=1）

等比数列｛4｝的公比为夕（q工0）,其前”项和为S“=<q（l-g"）-anq

l-q―"q（_7t）

（2）S1n-S2m,为等比数列，公比为（当。=-1时，〃7不为偶数）•

陵式饿栋

【变式2・1】（25-26高三上•山西大同•月考）设各项为正数的等比数列｛《J中，4:8,则9%+外取最小

值时，的等于（）

2、8.4、16

AA.-B.—C.-D.-

927927

【答案】B

【分析】设公比为。（9>0），利用等比数列的性质得到9%+%=苧+6闻）再结合基本不等式求出公比，

然后利用等比数列的性质可得.

【详解】设公比为4（“>0）,

所以叫+%+A/=/+的2之2小子x8/=48,

当且仅当二二8/,即/=3时取等号，此时％=%=亍；.

qq27

故选：B.

【变式2・2】(25-26高三上•四川成都•期中)己知函数f(H=sinr+laiu,项数为2025项的等差数列｛%｝满

足且公差若〃4)+〃％)+…十025)=°，贝U当/(4)=。时，k=()

A.1012B.1013C.2024D.2025

【答案】B

【分析】先分析函数的单调性和奇偶性，利用函数性质来分析条件中所给的等式，然后得出结论.

【详解】因为〃x)=sim+tanY的定义域为卜+]/eZ关于原点对称，

又因为/(r)=sin(-力+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x),所以/(x)是奇函数：

因为奇函数在卜卦)上单调递增，等差数列｛%｝满足/(4)+/⑷+…+/(限)=0且40,在

(-py)内，/U)=0的唯一解为x=0,

故/(6)+/(%)+…+/(%)25)=。的充要条件是数列关于原点对称，

则中间项/13=0,且〃4)+/(/25)=。，/(%)+/(峻)=0,.，(-2)+/(〜4)=。，

则有/(qm)=°，即&=1013.

故选:B.

【变式2・3】(25-26高三上•河北•期中)(多选)已知等比数列｛m｝的公比为外前〃项和为i心=4,则下

列结论中一定正确的是()

A.若仆=-32,贝1k=±2

B.

C.若&=万，则442a广。”的最大值为1024

D.S2，S4-S2，S6-S,构成等比数列

【答案】BC

【分析】利用等比数列的通项公式判断A、B；先根据J知条件求出首项和公比从而求得数列｛%｝和

””的公式，再根据指数函数和一元二次函数的性质求出最大值判断C；当夕=T时，邑=0,不能

构成等比数列可判断D.

【详解】在等比数列几｝中，4=4,4=一32,则/二"二-8,所以。=-2,A错误:

42a6%=4夕•，闯'）=C,B正确；

在等比数列｛4｝中，%=4,%=：，贝1」/=詈=(，q=；，q,=4xt[3=1['=2j,

2出2\27\2>

n(4+5-/r)n(9-n)

设[=­4,21-3+2+*i)_22_22

当〃=4或5时，中可取得最大值如此时，取得最大值2』。24,C正确;

当“=_］时，$2=%+%=4-4=0,不满足等比数列的定义，不能构成等比数列，D错误.

故选：BC

题型03求数列的通项公式

片例引襟

【例3-1］（25-26高三上•重庆•期中）已知数列｛q｝的前〃项和为S-若2s.=34-2，则q=（）

A.162B.54C.32D.16

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用〃之2,结合等比数列定义求解.

【详解】在数列｛/｝中，2S”=3《—2,当”22时，2S.T=3a“T—2,

两式相减得2a“=34-343则q=3%，而2q=2£=3q-2,解得4=2,

因此数列｛〃“｝是首项为2,公比为3的等比数列，%=6-33=54.

故选：B

【例3・2】已知数列｛q｝满足4=4,月.《加=2勺一3,则生”=（）

A.22|0-3B.22"-1C.22,0+3D.22）,+1

【答案】C

【分析】由％=24-3,得到%「3=23-3）,再利用等比数列的定义求解.

【详解】因为。向=2%-3,所以a向一3=2（%—3）.

因为4-3=1,所以数列｛q-3｝是首项为1,公比为2的等比数列，

所以%-3=2j所以%=2~+3,

故生“=22/3.

故选：C

方法密视

1、观察法:

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此

数列的一个通项.

2、公式法:

若已如数列的前〃项和S“与的关系，求数列心）的通项〃可用公式

（a"f

S、,（〃=1）构造两式作差求解.

勺二

1S……（〃之2）

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一"，即q和％合

为一个表达，（要先分，=1和〃22两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）.

3、累加法:

勺一-=/(”1)

%-%=/(〃—2)

形如《+/（〃）型的递推数列（其中/（〃）是关于〃的函数）可构造:

a2-a,=/(|)

将上述叫个式子两边分别相加，可得：/=/（〃-1）+/（〃-2）+.../（2）+/（1）+«,,（«>2）

4、累乘法:

-=/(«-I)

=4•/（〃）为■二/（〃）型的递推数列（其中/（〃）是关于“的函数）可构造：，—=/(n-2)

形如八%-2

将上述〃?2个式子两边分别相乘，可得:4=/(«-1)-f(n-2)•...•/(2)/(1)«,,(wS2)

5、构造数列法:

（1）形如〃,川=〃〃,,+“（其中〃国均为常数且〃工0）型的澧推式:

方法技巧：设4+]+A=p（atl+冗），展开移项整理得a“+i=pan+（p-1）2,与题设〃“+]=pa）t+q比较系

数(待定系数法)得义=/一,(〃关0)=a“+i+”=p(4+'')=。"+"=Ma”[+'')，即

/7-1p-1p-\p-1p-\

-%+—^―，构成以二为首项，以〃为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出

〃一1

,4+告1的通项整理可得明

、P-

【变式3・1］已知数列｛〃”｝满足％=1,4—则为=()

212w+,-l

A.«-'JB.广La

2+2n+l2"-1

【答案】D

【分析】先由%-。向=2%/用得到「-一'=2",利用累加法求出‘-=2"-1,则为=

。，田可氏2n-\

【详解】因为%-。向=2%%一所以一匚一'=2"即‘一1一=2小；

ananan-\

所以‘■一二一I一‘1+'=2"T+2"-2+…+2+1

++…+

(4%

Ilx(l-2")

即_=2n-l+2"2+...+2+1=—------L=2”-1；

%1一2

所以4="-?(〃之2)，而4=1也符号该式，故q二不二

2—12—1

故选：D

x〃+12S”+12

【变式3・2】(25-26高三上•安徽六安•月考)设数列｛%(｝的前〃项和为S“，q=1,且q向=亍4，则一^—

的最小值为()

A.45/3+1B.14C.9D.8

【答案】D

【分析】由题意可得%1=四，利用累乘法求得勺=〃，进而斗=空W,则至白2=〃+”+1.设

凡〃2ann

I?

/(.v)=x+-(x>0),利用导数研究函数/J)的性质即可求解.

X

【详解】由。”+1="^q，得甘=一，

na”〃

则'=JL,—=U,，竺=3,&=2

'%”1*〃-2生2%1,

各式相乘得出x—x…x&x^=」\x"x…x^x：,

的%生4〃-1〃-221

得今吟又6=1，所以(=〃，则｛%｝为等差数列，

得4=勤+“”妁罗.

,2S+12〃(〃+1)+12

所以一—=~---

^/（x）=x+-（x＞o）,则ra）=T=上乜,

XxX

令r（x）v0n0vxv26，r（x）＞i）=x＞2G,

所以〃x）在（0.26）上单调递减，在（26,+8）上单调递增.

25“+1212.

又〃eN"所以当〃=3或〃=4时，——=〃+—+1取至IJ最小值8.

为〃

故选：D

【变式3・3】（2025高三•全国•专题练习）已知数歹”｛4｝满足2%+4+。2-34=0,且q＞0,若数列｛为｝为

递增数列，则4的取值范围是（）

A.吗）B.（0,1）C.（0,1）D.（1,2）

【答案】C

【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围.

【详解】由数列｛%｝为递增数列，4＞。，得424＞0,由2〈%4+〃川一34“=。，

3aI2a,+1112,1,11

得“e=丁七，即—=一^一=不一+三，因此——1=i＜一_D，

2。〃+13。“3q33an

数列｛’t｝是以为首项，!为公比的等比数列，--^（--D-dr1,

与43443

1

整理得&=严，而〃向＞4＞（）,

q3

则1+（1-1）（；）"＞1+（1-1）于＞°，整理得•夫"I

因此解得0〈qv1,所以4的取值范围是（0,1）.

故选:C

题型04数列与函数的关系

共钠引名

【例4・1］（25-26高三上•湖北•期中）已知数列｛4｝是等差数列，公差为d,前〃项和为S“，旦4=2025,

色”<T,则使得S“<（）的〃的最小值为（）

生02s

A.4048B.4049C.4050D.4051

【答案】B

【分析】由q>0,<-I得到&24a2025<。，继而推出。2024+>。，再结合4>。，得至U“2024>°»“2025<°，

“2025

再结合求和公式即可判断.

【详解】由4=2025,得。初4。2025<（），则d<0，所以生024>°，，025<。

02025

由外1<一1和生025<。得陶必+外磔>。，

“2025

结合s'=+《稣）=2024x（生0”+%025）>。，

5«.,=-（广由）=4049娱<0，

故使得5.<0的〃的最小值为4049.

故选：B

【例4・2］（25-26高三上•河南郑州•期中）已知等比数列｛4｝的前〃项积为"，若

4>1，。2025，6026>1，（。2025-1乂%）26-1）<°，若使1成立的最大自然数为"，则〃=（）

A.2025B.2026C.4050D.4051

【答案】C

【分析】通过分析得等比数列｛4｝为单调递减，且前2025项大于1,2026项以后小于1,再结合等比数列

的性质可得.

【洋解】由（%）25一1）（4026一1）<0，所以。皿和。2026中一个大于1一个小于L

若公比4之1,而4>1,所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以4<1;

若公比4<0,则数列为摆动数列，因6>1,所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与4202sq026>1矛盾：

所以0<”1,%>1,等比数列｛为｝是单调递减数列，且a«5>1，%26<1.

所以当“K2025时，4>1,当〃22026时，为<1.

由等比数列性质，％）25・4026=勺4050=〃丁念乂9=>1，

所以（050~a\'ai“4050>1»4051=^4050，4431V^4050.

当“K2025时，«„>1,乙单调递曾且北>1；

当20264〃44050时，an<\,%>1工单调递减且）>।:

当心4051时,冬=%<1,即*<小所以〃24051时,7；单调递减,

乂^4051=a\'a2"°3"40SI=(4'"4051)(出,“4050)(〃2O2S,"2027)〃2026=⑸26,^2026。2026=(^2026•

所以］>小>小2>，即〃“⑹时，月单调递减且小于L

所以1>I最大的自然数为〃=4050.

故选:C.

，方依遗规

ci>0

1.在等差数列｛《,｝中，若4>0,d<(),则满足・'”一八的项数加使得S.取得最大值Sj若4<0,4>0,

a<0

则满足"'一八的项数，〃使得50取得最小值鼠.

&+R。

【变式4・1】(2025高三・全国•专题练习)记等比数列｛q｝的前〃项和与前〃项积分别为S.，人若同<华

则()

A.｛q｝为单调数列B.5｝为递增数列

c.｛SJ有最大值D.｛SJ有最小值

【答案】D

【分析】由同<《，可得-1<"。或。”<1,然后逐项讨论.

【详解】设等比数列｛七｝的公比为“(“¥0),

因为同<4，所以6>(),且一4<44<。或。,

即-IvqvO或Ovgvl.

当T<“<()时，｛〃”｝为正负交替的摆动数列，不单调，A错误；

因为凡=4/,所以雹=4.44..4/1=4阳+2+.小川=4“厂7~,

所以当-1<夕<。时，｛1｝为正负摆动的数列，故｛1｝不单调，B错误;

又=也二0,且

>o,

n«

"q"q

①当-lv”0时,由于S>2-邑=言"-广2)=言.夕"(1-7),

则与=q>S3>>>-^―,-^―>>S6>54>52=rt|+>0,

\-q\-q

所以｛s“｝有最小值邑，最大值H；

②当0<qv1时，Sn+1-Sn-q"")=,夕"。一")=%q">0,

所以｛s'｝为递增数列，所以其有最小值5,无最大值：

综上所述，6｝有最小值，C错误，D正确.

故选：D.

【变式4・2】(25-26高三•全国•假期作业)等差数列｛q｝中，/+%=T2,4+%=2.记数列｛q｝前〃项

和为S”，卜列选项止确的是()

A.数列也｝的公差为3B.S”取最小值时，〃=6

C.S4=S7D.数列｛I%|｝的前10项和为50

【答案】D

【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式检验各选项即可求解.

【详解】等差数列中,%+《=24+3d=-12,as+a7=2al+10d=2,

则<7=2,«|=-9,A错误；

所以q=一9+25-1)=2〃-11,

则％<0,«6>0,故〃=5时，3取得最小值，B错误；

S7—54=&+4+%=34>。,C错误；

数列｛”1｝的前10项和为9+7+5+3+1+1+3+5+7+9=50,D正确.

故选：D.

【变式4・3】(25-26高二I••贵州贵阳•期中)已知数列｛%｝的前〃项和为S“,4=1.%=5.2《”=«心+见.

若〃eN・，有恒成立，则实数，的最大值为()

l2215

A.3B.2V7+2C.—D.—

【答案】C

【分析】根据等差中项的应用可知｛%｝是以1为首项的等差数列，进而求出4,邑，代入题意中的不等式可

得云〃+Z+2,设/(〃)=〃+1，根据对勾函数的性质计算即可求解.

nn

［详解】由2。向=。”+2+4，%=1，

知数列伍“｝是以1为首项的等差数列，

又％=5,所以公差］=%幺=2,

得=q+(〃-l)d=2〃-1,S”=殳％+。”)=〃2.

由S“+。“+82/»得n2+2〃+7>；/7,

7,、7

即+—+2,设/'（x）=x+—,x>0,

nx

由对勾函数的图象与性质知，

*7

函数X+（在（0,近）上单调递减，在（J7,+8）上单调递增.

且"）=?>?=/⑶，

722

所以当〃=3时，”十一十2取得最/.、值二.

n3

所以即?2/的最大值为2彳?.

JJ

故选：c

题型05数列应用题

上言例引布J

【例5・1］（25-26高三上•广东惠州•期中）如图，正方形4BCD的边长为2cm,取正方形ABCQ各边的中点

E,尸，G,H,作第2个正方形EPG”,然后再取正方形EAG”洛边的中点/,J,K,L,作第3个

正方形的〃KL,依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（）

AHD

G

C

3163

B.—C.—D.8

48

【答案】C

【分析】根据正方形的性质，结合等比数列的定义、性质、前一〃项和公式进行求解即可.

【详解】因为正方形从。8的边长为2cm,

所以正方形ABC。的对角线为万方=2夜，

所以第二个正方形EFG”的边长为：x2&=7^,

2

所以第二个正方形EFGH的对角线为应『=1,

所以第三个正方形MG"的边长为:xlQ

所以这些正方形的边长为2为首项日为公比的等比数列,

所以这些正方形的面积为4为首项，g为公比的等比数列

故选：C

【例5・2】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植

物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是：今有

蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺.蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞

长度相等，则所需的时间约为（）（结果保留一位小数.参考数据：怆2。0.30,1g3«0.48）

A.1.3日B.1.5日C.2.6日D.2.8日

【答案】C

【分析】由题可设蒲（水牛.植物名）的长度组成等比数列｛凡｝,莞（机物名）的长度组成等比数列｛2｝,然后利用等比数列

的前〃项和公式及对数的运算性质即得.

【详解】由题可设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列｛q｝,则％=3,公比为;，其前〃项和为

设莞（植物名）的长度组成等比数列｛4｝,则A=1,公比为2,

其前〃项和为8.，

所以=

由题意可得:二2"—1,

所以2"+g=7,

解得2"=6或2"-1（舍夫）.

（3估计2.6日前、莞长度相等.

故选：C.

陵式演稼

【变式5・1】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三

百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯

数的2倍，则塔的顶层的灯数是（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【解析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列{〃,},根据邑=381即可求出.

【详解】设顶层的灯数是％,则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{4},

由题可得邑=哗答=381，解得卬=3,

故塔的顶层的灯数是3.

故选：C.

【变式5・2】侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方

形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是〃?，

侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周氏之和）为，，则（）

A.Sn无限大B.Sn<3（3+逐）

C.Sn=3（3+6）〃？D.Sn可以取100阳

【答案】B

【分析】先找出规律，再用等比数列的求和公式可求解.

【详解】由题意可得，外围第2个正方形的边长为

3轲+（冢2=与晔

外围第3个正方形的边长为

小=3；

V33+43xq3]9

外围第〃个正方形的边长为（半严九

所以蜘蛛网的长度

夕】=4〃"1+半+在..+（半尸]

1-(T1

=4n/x-------/="<4/nxy[s

1-------

1------3

3

=3(3+6)/〃.

故选:B.

【变式5・3】如图，在一个7行8列的数表中，第i行第/列的元素为，=4%+4+%(i=12,7;j=l,2,,8),

)

D.2,6+2

【答案】B

【分析】根据题意可得1,从而得到只有C”及68两数是没有重复的，进而求解即可.

【详解】由已知有C产《勺+q+%=(q+。(/+1)-1=2,Q-1=2i+j-l,

故在7行8列的数表中，只有第1行第1列及第7行第8列两数是没有重复的,

则％+—=(22-1)+(215-1)=2,2.

一、单选题

1.(25-26高三上•北京海淀•月考)已知等比数列｛%｝,贝是"数列｛%｝为递增数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据递增数列的定义结合特例即可求解.

【详解】若有数列的｝为递增数列，则。2</<4，

当的</<为时，如：1，-：，!，-：，」，满足生<&<%，

24X16

但数列｛凡｝不是递增数列，

所以生<%<4是数列｛4｝为递增数列的必要不充分条件,

故选：B.

2.（2025•江苏•模拟预测）已知正项等差数列｛q｝满足：：：：：：：：：：=品（〃cN）则誓=（）

A.670B.675C.2025D.4050

【答案】B

【分析】根据题意结合等差数列性质可得J="-.利用累乘法运算求解即可.

%〃

【详解】因为数列｛q｝为正项等差数列，

则〃i+%+L=叫_4_〃即？啜

，3+〃s+L+生向nall+2an+2n+2

可得J，J，。2025_2025

生3a53“20232023

一,2025

累乘可得甫一丁-675

故选:B.

3.（2025•四川凉山•一模）已知等比数列｛《,｝的前4项是关于x的方程3-6戊+8。（/一9枕+8/）=0的根,

则数歹出的前4项和为（）

【答案】D

【分析】借助韦达定理求出方程根的关系，再将数列•，的前4项和通分计算即可.

【详解】设方程x2-6a+8/=0的根分别为芭，“2，方程f-9/x+8/=0的根分别为七，七，

则数列｛凡｝的前四项组成的集合为｛2/，知Z｝，

根据韦达定理可知K+工2=6f,X]-2=8/,七+七=%,七・七=8,

1111x.+x7x.+x,6/9t15…J1）,,、，~,15

+

所以一+—+—+-x=----+-----=—~=~,故数列的前4项和为y，

内x2434%/玉％818f8[wj8

故选:D.

,、2cos〃冗+乙],〃为奇数

4.（25-26高三上•福建福州•月考）已知数列｛%｝满足q=2,对任意〃eN，有I

4+2,〃为偶数

则数列｛《,｝的前2〃+1项和SM=（）

A.0B.2/1+3C.2〃+lD.2

【答案】D

【分析】根据条件研究里,+外用，进而可得S2向.

【详解】因为⑸=2cos[(2〃-l)7i+m=-2COS^=-I,

=%”+2=7+2=1,

所以。2”+*=0.

所以Szw=q+3+%)+(%+&)++3"+%”+J=2+0X〃=2.

故选：D

5.(25-26高三上•山东济宁•月考)已知等差数列｛6｝满足6=2必+6=10,数列低｝满足

。=4也+i=2d+2""(〃wN)则｛4｝的前”项和S”为()

A.2间一2〃B.2nC.(«+1)2,,_|D.(〃-1)2向+2

【答案】D

【分析】先根据条件求解出｛q｝的通项公式，再利用构造法求解出也｝的通项公式，最后根据错位相减法

求解出S”.

,、(4二2

【详解】设4的公差为4,因为4=2必+6=10,所以;所以d=l,

所以4=2+(〃—l)xl=〃+l,所以A=2,%=次+2"+1

所以黜=冬+1且a=1，所以｛/〔是百项为I公差为I的等差数列,

所以2=l+(〃-l)xl=〃,所以“=小2”,

乙

所以S.=lx2i+2x22+3x23+-+〃x2”,

=Ix22+2x23+3x24+---+nx2,1+l,

所以一S0=2+2?+2,+…+2”-〃义2同，

所以_s=叱2_)_〃*2向=(1一〃)22一2，

”1-2l7

所以5,二(〃-1)2川+2,

故选：D.

6.(2025・江苏•模拟预测)一个棱长为2的正方体内有一个内切球。|,若球。2与正方体的三个面和球。|相

切，球。3与正方体的三个面和球。2相切，依次类推，球。间与正方体的三个面和球。”相切〃GN”，设球。“

的半径为此，体积为匕，则下列结论不正确的是()

A.6=2-6B.数列｛凡｝为等比数列

1+J3（10+6⑸兀

c.鸟+叫+氏+•D.K+K+V+…+匕＜1-----------!_

21-3n15

【答案】C

【分析】根据已知条件得到递推关系百（凡1-6）=（产6，进而推得｛4｝是等比数列，逐项分析即可.

【详解】因为正方体棱长为2,所以内切球。1的半径4=1（内切球直径等于正方体棱长），

对于球0“（〃22）：球。“与正方体的三个面相切，故其球心坐标为（凡,凡,凡）；

球0“与球0,』相切，两球心距离为6（6t-凡），该距离等于凡

由此得到递推关系：同R-m”,

整理得力=需=（2-,

所以｛凡｝是首项a=1,公比〃=2-石的等比数列.

对于A：凡=%（2-6）=2-6,A正确；

对于B：以上已证明，B正确；

对于C：等比数列前〃项和§=上式=匕色包，因为q=2-百＜1,

"\-q75-1

所以邑＜7匕=今它，所以品，＜♦?，c错误；

对于D：球的体积匕乂+匕+匕++K=gMR：+Rj+R；++R。,

因为代?是首项为1，公比为乡:仁-6）’的等比数列，

1_5+3>/3

所以；

Rj+lV+R1-（2-73）5=-^

所以"-k#噌